第八章 多元函数积分学
第八章 多元函数积分学
§1 曲线积分 曲面积分 重积分
I 基本概念与主要结论
一 曲线积分
1第一型曲线积分的定义
背景：求空间某一曲线段物体的质量
定义1 设L为平面上可求长度的曲线段，f?x,y?为定义在L上的函数，对曲线L作分割T，它把L分成n个可求长的小曲线段Li（i?1,2,?,n），Li的弧长记为?si，分割
T的细度T?max?si，在Li上任取一点??i,?i?（i?1,2,?,n）．若极限
1?i?nlimT?0?f??i?1ni,?i??si?I
且I的值与T及点??i,?i?的取法无关，则称此极限为f?x,y?在L上的第一型曲线积分，记作
?Lf?x,y?ds．
第一型曲线积分具有与定积分完全类似的性质． 2 第一型曲线积分的计算 定理1 设有光滑曲线
?x???t?L：?，t???,??，
???y??t函数f?x,y?为定义在L上的连续函数，则
?Lf?x,y?ds????22f???t?,??t?????t?????t?dt．
注1 当曲线方程为y???x?，x??a,b?，则有
?Lf?x,y?ds??baf?x,??x??1???2?x?dx
?x???t??注2 当曲线为空间曲线L：?y???t?，t???,??，则有
?z???t???
Lf?x,y,z?ds???f???t?,??t?,??t??1
?222???t?????t?????t?dt．
3 第二型曲线积分的定义
第八章 多元函数积分学
背景：变力做功
定义2 设函数P?x,y?、Q?x,y?定义在平面有向可求长度曲线L：AB上，对L的任一分割T，它把L分成n个小曲线段：Mi?1Mi（i?1,2,?,n），其中M1?i?n0?A，Mn?B，
记各小曲线段Mi?1Mi的弧长为?si，分割T的细度T?max?si，又设T的分点Mi的坐标为?xi,yi?，并记?xi?xi?xi?1，?yi?yi?yi?1（i?1,2,?,n）．在每个小曲线段
Mi?1Mi上任取一点??i,?i?，若极限
limT?0nn?P??i?1i,?i??xi?limT?0?Q??i?1i,?i??yi
存在且与分割T及点??i,?i?的取法无关，则称此极限为函数P?x,y?，Q?x,y?沿有向曲线
L上的第二型曲线积分，记为
?LP?x,y?dx?Q?x,y?dy或?Pdx?Qdy． （1）
L若L为封闭曲线，则记为
??若记F?x,y???P?x,y?,Q?x,y??，ds??dx,dy?，则（1）式可写为
??． F?ds?L?LPdx?Qdy．
注1 同理可定义空间曲线L上的第二型曲线积分?Pdx?Qdy?Rdz；
?L注2 第二型曲线积分与曲线L的方向有关；
注3 第二型曲线积分关于函数和积分区域的具有线性可加性． 4 第二型曲线积分计算 定理2 设有光滑曲线
?x???t?L：?，t???,??，
?y???t?且A，B的坐标分别为?????,?????与?????,?????，又设P?x,y?、Q?x,y?为L上的连续函数，则沿L从A到B的第二型曲线积分为
?LPdx?Qdy????P???t?,??t?????t??Q???t?,??t?????t??dt．
?二 曲面积分
1 第一型曲面积分的定义 背景：求曲面块的重量
定义3 设S是空间中可求面积的曲面，f?x,y,z?为定义在S上的函数．对曲面S作出分割T，它把S分成n个小曲面块Si（i?1,2,?,n），以?Si记小曲面块Si的面积，分割T的细度T?max?Si的直径1?i?n?，在Si上任取一点??i,?i,?i?（i?1,2,?,n），若极
限
lim
T?0?f??i?1ni,?i,?i??Si
2
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存在且与分割T及??i,?i,?i?（i?1,2,?,n）的取法无关，则称此极限为f?x,y,z?在S上的第一型曲面积分，记作
??f?x,y,z?ds．
S特别地，当f?1时，??ds?S（面积）．
S2 第一型曲面积分的计算
定理3 设有光滑曲面
S：z?z?x,y?，?x,y??D， f?x,y,z?为S上的连续函数，则
??Sf?x,y,z?ds???Df?x,y,z?x,y??1?zx?zydxdy．
22定理4 若光滑曲面S由参数方程给出：
?x?x(u,v),?S：?y?y(u,v),?z?z(u,v),?(u,v)?D,
f?x,y,z?为S上的连续函数，则
??f?x,y,z?dsS???f?x(u,v),y(u,v),z?u,v??DEG?Fdudv，
2其中
E?xu?yu?zu，
222F?xuxv?yuyv?zuzv， G?xv?yv?zv．
222这里还要求Jacobi行列式
?(x,y)?(y,z)?(z,x)中至少有一个不等于零。 ,,?(u,v)?(u,v)?(u,v)3 第二型曲面积分的定义
定义4 设P,Q,R为定义在双侧曲面S上的函数，在S所指定的一侧作分割T，它把S分成n个小曲面S1,S2,?,Sn，分割T的细度T?max?Si的直径1?i?n以?S?，
zyi、?Sizx、
?Sixy分别表示Si在yz、zx和xy坐标平面上的投影区域的面积，它们的符号由Si的方向
来确定．如Si的法线正向与z轴正向成锐角时，Si在xy平面投影区域的面积?sixy为正，反之为负．在各个小曲面Si上任取一点??i,?i,?i?，若
limT?0nnn?P??i?1i,?i,?i??Siyz?limT?0?Q??i?1i,?i,?i??Sizx?limT??R??i?1i,?i,?i??Sixy
存在，且与曲面S的分割T和??i,?i,?i?在Si上的取法无关，则称此极限为函数P,Q,R在曲面S的指定的一侧上的第二型曲面积分，记作
??P?x,y,z?dydzS?Q?x,y,z?dzdx?R?x,y,z?dxdy （1）
3
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若以?S表示S的另一侧，则
??P?x,y,z?dydz?SS?Q?x,y,z?dzdx?R?x,y,z?dxdy????P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dzdx?R?x,y,z?dxdy．
此外，（1）式可表为??Pdydz?S??QdzdxS???RdxdyS．
4第二型曲面积分的计算计算
定理5 设R?x,y,z?是定义在光滑曲面
S：z?z?x,y?，?x,y??Dxy，
上的连续函数，以S的上侧为正侧（这时S的法线与z轴成锐角），则有
??R?x,y,z?dxdyS???R?x,y,z?x,y??dxdyDxy．
定理6若光滑曲面S由参数方程给出：
?x?x(u,v),?S：?y?y(u,v),?z?z(u,v),?(u,v)?D,
P,Q,R为S上的连续函数，若在D上各点它们的Jacobi行列式
?(x,y)?(y,z)?(z,x),,?(u,v)?(u,v)?(u,v)不同时为零，则分别有
??SPdydz????P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))D?(y,z)?(u,v)?(z,x)?(u,v)?(x,y)?(u,v)dudv， dudv， dudv，
??SQdzdx????Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v))D??SRdxdy????R(x(u,v),y(u,v),z(u,v))D其中正负号分别对应曲面S的两个侧：当uv平面的正方向对应于曲面S所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号。
三 重积分
1 二重积分的定义 背景：曲顶柱体的体积
定义5 设D为xy平面上可求面积的有界闭区域，f?x,y?为定义在D上的函数，用任意曲线把D分成n个可求面积的小区域
?1,?2,?,?n， 以??i表示小区域?i的面积．这些小区域构成D的一个分割T，以di表示?i的直径，T?maxdi为T的细度，在每个?i上任取一点??i,?i?，作和式
1?i?n 4
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?f??i?1ni,?i???i
称为f在D上属于分割T的一个积分和，记为??f,D?．若milT?0??f,D??J，且J与
T及??i,?i?的选取无关，则称f?x,y?在D上可积，J称为f在D上的二重积分，记为
??f?x,y?d?D?J．
注：二重积分具有与定积分完全类似的性质，且在可积情形下，可选取特殊分割，如平行于坐标轴的直线网分割D，则????x?y，因此，通常情形下，二重积分常记为
??f?x,y?dxdyD．
2 二重积分的计算
定理7 设f?x,y?在D??a,b???c,d?上可积，且对每个x??a,b?，积分?f?x,y?dycd存在，则累次积分
?也存在，且
badx?dcf?x,y?dy
??Df?x,y?dxdy??badx?f?x,y?dy．
cd关于另一累次积分有相同的结论．特别地，当f?x,y?为D??a,b???c,d?上连续函数时，则有
??f?x,y?dxdyD??badx?f?x,y?dy?cd?dcdy?f?x,y?dx．
ab定义6 称平面点集D???x,y?y1?x??y?y2?x?,a?x?b?为x型区域；称平面点
集??x,y?x1?y??x?x2?y?,c?y?d?为y型区域．
定理8 设f?x,y?在x型区域上连续，其中y1?x?、y2?x?在?a,b?上连续，则
f?x,y?dxdy?bay2?x?y1?x???D?dx?f?x,y?dy．
在y型区域上有类似的结果．
3 二重积分的变量变换
定理9 设f?x,y?在有界闭区域D上可积，变换T：x?x?u,v?，y?y?u,v?，将uv平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域?一对一地映成xy平面上的闭区域D，函数x?u,v?，y?u,v?在?内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
J?u,v????x,y???u,v??0，?u,v???，
则
??f?x,y?dxdyD???f?x?u,v?,y?u,v???J?u,v?dudv?．
特别地，对于极坐标变换：?
?x?rcos??y?rsin?，J?r，因此有
5
第八章 多元函数积分学
??f?x,y?dxdyD???f?rcos?,rsin??rdrd??．
4．三重积分的定义
背景：空间几何体的质量
定义6 设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V上的函数，J是一个确定的常数。若???0,???0，使得对于V的任何分割T，只要T??，属于分割T的所有积分和都有
n?i?1f(?i,?i,?i)?Vi?J??，
则称f(x,y,z)在V上可积，数J称为函数f(x,y,z)在V上的三重积分，记作
J????Vf(x,y,z)dV， 或 J????Vf(x,y,z)dxdydz。
三重积分和二重积分一样，可建立类似的可积准则和类似的积分性质，这里不再叙述。事实上，定积分，第一型曲线，第一型曲面积分和重积分都可化归为“分割，求和，取极限”，因此它们都是属于同一类型的积分，从而具有相同的积分可积准则和积分性质。
5 三重积分的计算
定理10 若函数f(x,y,z)在长方体V?[a,b]?[c,d]?[e,h]上的三重积分存在，且对任何x?[a,b]，二重积分
I(x)???Df(x,y,z)dydz，
存在，其中D?[c,d]?[e,h]，则积分
?也存在，且
badx??f(x,y,z)dydz，
D???Vf(x,y,z)dxdydz??badx??f(x,y,z)dydz。
D对于一般区域上的三重积分的计算，总是化为累次积分来计算，这时要根据积分区域的形状和被积函数的形式，灵活地采取不同的积分次序，通常情况下化为三次积分，但特别注意，有时化为先一后二或先二后一更简单，即化为以下两种形式：
?badz??f(x,y,z)dxdy， （1）
Dz??Dxydxdy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz， （2）
第一种情况是：首先将积分区域V向Z轴投影，确定z的变化范围；对给定区域内的任一z值，积分区域V的截面Dz是规范图形（如圆，椭圆，矩形，三角形等）且积分
??Dzf(x,y,z)dxdy，
易于计算；对于（2）式，往往是积分区域V向xy平面的投影区域的面积很容易计算，而且积分
6
第八章 多元函数积分学
?是常数。
6 三重积分的变量替换 设变换
z2(x,y)z(x,y)f(x,y,z)dz，
?x?x(u,v,w),??y?y(u,v,w), ?z?z(u,v,w),?将uvw空间中的区域V?一对一地映射成xyz空间中的区域V，并设函数x(u,v,w)，y(u,v,w)，z(u,v,w)及它们的一阶偏导数在V?内连续，且函数行列式
?(x,y,z)?(u,v,w)?0,(u,v,w)?V?。
则有
???Vf(x,y,z)dxdydz????Vf(x(u.v.w),y(u,v,w),z(u,v,w))?(x,y,z)?(u,v,w)dudvdw。
7 几个常用的坐标变换 （1）柱面坐标变换
?x?rcos?,0?r???,?T：?y?rsin?,0???2?,J?r,?,z??r．
?z?z,???z???,?（2）球面坐标变换
?x?rsin?cos?,0?r???,?2T：?y?rsin?sin?,0????, J?r,?,???rsin?．
?z?rcos?,0???2?,?（3）广义球坐标变换
?x?arsin?cos?,?T：?y?brsin?sin?,，J?r,?,???abcr?z?crcos?,?2sin?．
四 几类积分之间的联系
1 两类曲线积分间的联系
设L为从A到B的有向光滑曲线，它以弧长s为参数，即
?x?x?s?L：?，0?s?l，
?y?y?s?其中l为曲线L的全长，且A?x?0?,y?0??，B?x?l?,y?l??．曲线l上每一点的切线方向指向
???弧长增加的方向，以?t,x?，?t,y?分别表示切线方向t与x轴、y轴正向的夹角，则在曲线每一点的切线的方向余弦是
7
第八章 多元函数积分学
dx??dy?cos?t,x?，?cos?t,y?． dsds若P?x,y?，Q?x,y?为L上的连续函数，则有
?LPdx?Qdy???P?x?s?,y?s??cos?t,x??Q?x?s?,y?s??cos?t,y??ds
0l?? ???P?x,y?cos?t,x??Q?x,y?cos?t,y??ds
L??2 两类曲面积分之间的联系
设S为光滑曲面，并以上侧为正，R为S上连续函数，曲面积分在S的正侧进行，则
??R?x,y,z?dxdyS???R?x,y,z?cos?SdS，
其中?为曲面S的正侧与z轴正向的夹角．一般地
??PdydzS?Qdzdx?Rdxdy????Pcos?S?Qcos??Rcos??dS，
其中?cos?,cos?,cos??为S上的法线的方向余弦函数．
3 第二型曲线积分与重积分的关系 （1）格林（Green）公式
定理11 若函数P?x,y?，Q?x,y?在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏函数，则
?LPdx?Qdy???D??Q?P??????dxdy， ?y???x这里L为区域D的边界，并取正方向．
（2）曲线积分与路经的无关性
定理12 设D是单连通闭区域．若P?x,y?，Q?x,y?在D内连续，且具有一阶连续偏导数，则下列四个条件等价：
10 对D内任一按段光滑封闭曲线L，有?Pdx?Qdy?0；
L20 对D内任一按段光滑曲线，曲线积分?Pdx?Qdy只与L的起点及终点有关，
L而与路线无关；
30 Pdx?Qdy是D内某一函数u?x,y?的全微分，即在D内有du?Pdx?Qdy；
40 在D内处处有
0?Q?x??P?y．
注：满足条件3中的函数u(x,y)，称为Pdx?Qdy。求原函数可用特殊路线． 4 第二型曲线积分与第二型曲面积分的关系（Stokes公式）
Q，R在S（连同L）定理13 设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线．若P，
上连续，且具有一阶连续偏导数，则
?LPdx?Qdy?Rdz???S??R?Q????z??y???Q?P???P?R????dydz??dzdx???????dxdy ?x??y???z???x 8
第八章 多元函数积分学
???Sdydz??xPdzdx??yQdxdy??zR
其中S的侧与L的方向按右手法则确定．
定理14 设??R3为空间单连通区域．函数P、Q、R在?上连续，且有一阶连续偏导数，则下列四个条件是等价的：
（1）对于?内任一按段光滑的封闭曲线L有：
?LPdx?Qdy?Rdz?0；
L（2）对于?内任一光滑（按段）的曲线L上的曲线积分?Pdx?Qdy?Rdz与路线无关；
（3）Pdx?Qdy?Rdz是?内某一函数的全微分；
（4）
?P?y??Q?x，
?Q?z??R?y，
?R?x??P?z在R内处处成立．
5 第二型曲面积分与三重积分之间的联系（高斯公式Gauss）
定理15 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成．若函数P，Q，R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则
??SPdydz?Qdzdx?Rdxdy????V??P?Q?R???????dxdydz． ?y?z???x其中S取外侧．
五、重积分的应用
1 曲面的面积
设D为可求面积的平面有界区域，函数f?x,y?在D上具有连续的一阶偏导数，则由方程
z?f?x,y?，?x,y??D 所确定的曲面S的面积?S为
?S?22??D1?fx?fydxdy???Ddxdy， ?cos?n,z??cos?n,z?为曲面法向量与z轴正向夹解的余弦．
若空间曲面是以参数方程
x?x?u,v?，y?y?u,v?，z?z?u,v?，?u,v??D 表示，其中x?u,v?，y?u,v?，z?u,v?在D上具有连续的一阶偏导数，且
??x,y???u,v??S?
，
??y,z???u,v?，
??z,x???u,v?
中至少有一个不为零，则曲面面积公式为
??DEG?Fdudv，
9
2第八章 多元函数积分学
其中E?xu?yu?zu，F?xuxv?yuyv?zuzv，G?xv?yv?zv．
2 重心坐标
设V是密度函数为??x,y,z?的空间物体，??x,y,z?在V上连续，则V的重心坐标为
222222???x?VVx??x,y,z?dV???，y?VVy??x,y,z?dV???，z?VVz??x,y,z?dV?????x,y,z?dV?????x,y,z?dV?????x,y,z?dV．
3 转动惯量
在前面的假设条件下，物体V关于x轴，y轴，z轴的转动惯量为
Jx?Jy?Jz?????yV2?z?z?y2???x,y,z?dV???x,y,z?dV???x,y,z?dV， ， ．
????xV22????xV22对于坐标平面的转动惯量分别为
Jxy?Jyz?Jzx????Vz??x,y,z?dV，
2???Vx??x,y,z?dV，
2???Vy??x,y,z?dV．
24 引力
密度为??x,y,z?的立体V对体外质量为1的质点的引力为
????F?Fxi?Fyj?Fzk，
y??r3其中Fx?k???Vx??r3?dV，Fy?k???V?dV，Fz?k???Vz??r3?dV，而??,?,??为质点的坐标，k为引力系数，r?
?x???2??y?????z??2?2．
10
