7．1 空间几何体的结构及其三视图和直观图
[知识梳理] 1．多面体的结构特征
2．旋转体的结构特征
3．直观图
(1)画法：常用斜二测画法． (2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴与y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴(或y′轴)垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段的长度在直观图中变为原来的一半．
4．三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
(2)三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．
②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线． [诊断自测] 1．概念思辨
(1)棱锥的侧棱都相等．( )
(2)圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的直线都是母线．( )
(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝ 90°，则在直观图中，∠A＝45°.( )
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．教材衍化
(1)(必修A2P15T4)如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的几何体是( )
答案 A
解析 对于A，该几何体的三视图恰好与已知图形相符，故A符合题意；对于B，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是虚线，故不符合题意；对于C，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是从左上到右下的方向，故不符合题意；对于D，该几何体的侧视图的矩形中，对角线应该是虚线，而且应该是从左下到右上，不符合题意．故选A.
(2)(必修A2P28T3)如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是( )
答案 C
解析 由直观图和俯视图知，正视图中点D1的射影是B1，侧棱BB1是看不见的，在正视图中用虚线表示，所以正视图是选项C中的图形．故选C.
3.小题热身
(1)(2017·长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A－BCD的正视图，俯视图是(注：选项中的上图是正视图，下图是俯视图)( )
答案 A
解析 正视图是等腰直角三角形，且AD属于看不见的线段，用虚线表示，俯视图也是等腰直角三角形，且BD属于看不见的线段，用虚线表示．故选A.
(2)(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )
A．32 C．22 答案 B
解析 在正方体中还原该四棱锥，如图所示， 可知SD为该四棱锥的最长棱． 由三视图可知正方体的棱长为2， 故SD＝2＋2＋2＝23. 故选B.
2
2
2
B．23 D．2
题型1 空间几何体的结构特征
典例 下列结论正确的个数是________．
(1)有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； (3)有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
(4)直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； (5)若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线． 举反例法． 答案 0个
解析 (1)(2)(3)(4)的反例见下面四个图．
(5)平行于轴的连线才是母线． 方法技巧
空间几何体结构特征有关问题的解题策略
1．关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．
2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意应用“还台为锥”的解题策略．
冲关针对训练
下列结论正确的是________．
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥．
②若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱． ③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形． ④一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 答案 ③
解析 ①错误，如图1；②错误，若两个垂直于底面的侧面平行，则可为斜棱柱；③正确，如图2，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，那么四棱锥P－ABCD四个侧面都是直角三角形；④错误，当截面与底面不平行时，不正确．
题型2 空间几何体的直观图
典例 (2018·桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△
A′B′C′的面积为( )
A.32
a 4
B.32
a 8
C.
62
a 8
D.
62a 16
根据平面图形的原图形与直观图的关系求解． 答案 D
解析 如图(1)所示的是△ABC的实际图形，图(2)是△ABC的直观图．
13
由图(2)可知A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图(2)中作C′D′⊥A′B′于D′，
24则C′D′＝
261166
O′C′＝a.∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.故选D. 2822816
[条件探究] 若将典例条件变为“△ABC的直观图△A1B1C1是边长为a的正三角形”，则△ABC的面积是多少？
解
在△A1D1C1中，由正弦定理＝，
sin45°sin120°得x＝
616a，∴S△ABC＝×a×6a＝a2. 222
用斜二测画法画直观图的技巧
1．在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中仍然与x′轴或y′轴平行． 2．原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．
3．原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点，然后用平滑曲线连接．
冲关针对训练
用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为22cm，则原平面图形的面积为( )
A．4 cm C．8 cm 答案 C
解析 依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm.故选C.
2
22
2
2
ax方法技巧
B．42 cm D．82 cm
2
题型3 空间几何体的三视图角度1 已知几何体识别三视图
典例 (2018·湖南长沙三校一模)已知点E，F，G分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱
AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上．以M，N，Q，P为顶
点的三棱锥P－MNQ的俯视图不可能是( )
答案 C
解析 当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与B1重合时，三棱锥P－MNQ的俯视图为A；当M，N，Q，P是所在线段的中点时，三棱锥P－MNQ的俯视图为B；当M，N，Q，
P位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥P－MNQ，使其俯视图为D.不管M，N，P，Q在
什么位置，三棱锥P－MNQ的俯视图都不可能是正三角形．故选C.
角度2 已知三视图还原几何体
典例 (2018·河北名师俱乐部模拟)某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则 ( )
A．3∈A C．26∈A 答案 D
解析 由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中底面是边长为4的正方形，
B．5∈A D．43∈A
AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AF＝2，DE＝4，可求得BE的长为43，BF的长为25，EF的长
为25，EC的长为42.故选D.
方法技巧
1．已知几何体，识别三视图的技巧
已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚．
2．已知三视图，判断几何体的技巧
(1)一般情况下，根据正视图、侧视图确定是柱体、锥体还是组合体．
(2)根据俯视图确定是否为旋转体，确定柱体、锥体类型、确定几何体摆放位置． (3)综合三个视图特别是在俯视图的基础上想象判断几何体．
提醒：对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同．
冲关针对训练
(2017·文登市三模)空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为( )
答案 A
解析 由已知三视图的上部分是锥体，是三棱锥，三棱锥的底面是等腰三角形，但不是直角三角形，排除B，C.等腰三角形的一个顶点在正方体一条棱的中点，故排除D.故选A.
1．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A．10 C．14 答案 B
解析 观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中共有2个梯形，且这两个梯形全等，1
梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2××(2＋4)×2＝12.
2故选B.
2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互28π
相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是( )
3
A．17π C．20π 答案 A
1
解析 由三视图可知，该几何体是一个球被截去后剩下的部分，设球的半径为R，则
874328743712
该几何体的体积为×πR，即π＝×πR，解得R＝2.故其表面积为×4π×2＋3×
8338384×π×2＝17π.选A.
3．(2014·湖北高考)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
A．①和② C．④和③ 答案 D
解析 设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)．
∵B，C，D在平面yOz上的投影的坐标分别为(0,2,0)，(0,2,1)，(0,2,2)，点A(0,0,2)在平面yOz上，又点C的横坐标小于点B和D的横坐标，∴该几何体的正视图为题图④.∵点A，C，D在平面xOy上的投影的坐标分别为(0,0,0)，(1,2,0)，(2,2,0)，点B(2,2,0)在平面xOy上，∴该几何体的俯视图为题图②.故选D.
B．③和① D．④和②
2
B．12 D．16
B．18π D．28π
4．(2018·济宁模拟)点M，N分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过A，M，N和D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图2中的 ( )
A．①②③ C．①③④ 答案 B
解析 由正视图的定义可知：点A，B，B1在后面的投影点分别是点D，C，C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为②；同理可得侧视图为③，俯视图为④.故选B.
[基础送分 提速狂刷练]
一、选择题
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )
答案 D
解析 由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，故选D. 2．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，E是AB的三等分点，G，N是CD的三等分点，F，H分别是BC，MN的中点，则四棱锥A′－EFGH的侧视图为 ( )
答案 C
解析 在侧视图中A′E，A′G重合，A′H成为A′N，A′F，A′B重合，侧视图为向左倾斜的三角形．故选C.
3．(2017·临沂模拟)如图甲，将一个正三棱柱ABC－DEF截去一个三棱锥A－BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是( )
答案 C
解析 由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF是等边三角形，所以
B．②③④ D．②④③
CD在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直．故选C.
4．(2018·江西景德镇质检)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1上、下底面中心分别为
O1，O2，将正方体绕直线O1O2旋转一周，其中由线段BC1旋转所得图形是( )
答案 D
解析 由图形的形成过程可知，在图形的面上能够找到直线，在B，D中选，显然B不对，因为BC1中点绕O1O2旋转得到的圆比B点和C1点的小．故选D.
5．(2017·内江模拟)如图，已知三棱锥P－ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝π
，侧面PAB⊥底面ABC，AB＝PA＝PB＝2.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分2
别是( )
A.3，1，2 C．2,1，2 答案 B
π
解析 ∵三棱锥P－ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝，侧面PAB⊥底面ABC，
2
B.3，1,1 D．2,1,1
AB＝PA＝PB＝2；
∴x是等边△PAB边AB上的高，x＝2sin60°＝3，
12
12
y是边AB的一半，y＝AB＝1，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，z＝AB＝1；
∴x，y，z分别是3，1,1.故选B.
6．(2017·南昌二模)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是
?1?(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，?，1，0?，绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向?2?
画正视图，则得到侧(左)视图可以为( )
答案 B
解析 满足条件的四面体如下图，
依题意投影到yOz平面为正投影，所以侧(左)视方向如图所示，所以得到侧(左)视图效果如上图．故选B.
7．(2018·湖南郴州模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )
A．①② C．③④ 答案 D
解析 由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，连接AC1，则
B．①③ D．②④
AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对
应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.
8．(2018·江西赣州模拟)某几何体的正视图和侧视图如图1，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图2，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为( )
A．48 C．96 答案 C
解析 由题图2及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形OABC，设CB与y轴的交点为D，则易知CD＝2，OD＝2×22＝42，∴CO＝CD＋OD＝6＝OA，∴俯视图是以6为边长的菱形，由三视图知几何体为一个直四棱柱，其高为4，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96.故选C.
A．1.2 C．1.8 答案 B
解析 由三视图知，商鞅铜方升是由一个圆柱和一个长方体组合而成的，利用体积及1?1?2
已知线段长度即可求出x.故其体积为(5.4－x)×3×1＋π×??×x＝16.2－3x＋πx＝
4?2?12.6，又π＝3，故x＝1.6.故选B.
10．(2018·辽宁六校联考)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是( )
答案 B
解析 根据所给的三视图可知原几何体是倒放的圆锥，设圆锥的底面半径为R，高为H，33vH2t1?h?22
水流的速度是v，则由题意得vt＝π??Rh.当vt>0时，解得h＝2，这是一个幂
3?H?πR3
型函数，所以容器中水面的高度h随时间t变化的图象类似于幂函数y＝x的图象，故选B.
二、填空题
11．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.
答案 8
解析 根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC为平行四边形，且有OB⊥OA，
B．1.6 D．2.4
2
2
B．64 D．128
OB＝22，OA＝1，所以AB＝3.从而原图的周长为8 cm.
12．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为平面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是 (填出所有可能的序号)．
答案 ①②③
解析 空间四边形D′OEF在正方体的平面DCC′D′上的投影是①；在平面BCC′B′上的投影是②；在平面ABCD上的投影是③，而不可能出现的投影为④的情况．
13．一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是________．
答案 23
解析 由三视图可知该四面体为D－BD1C1，由直观图可知面积最大的面为△BDC1.在正132
三角形BDC1中，BD＝22，所以面积S＝×(22)×＝23.
22
14．(2018·大连模拟)某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是________．
答案 27 解析
由三视图可知该四面体为V－ABC，如图所示．其中AE⊥BE，VC⊥平面ABE.EC＝CB＝2，
AE＝23，VC＝2，所以VB2＝VC2＋CB2＝8，VB＝22，AC2＝AE2＋EC2＝(23)2＋22＝16，所
以VA＝AC＋VC＝16＋2＝20，VA＝20＝25.AB＝AE＋EB＝(23)＋4＝28，所以AB＝28＝27>25>22，所以该四面体的六条棱的长度中，最大的为27.
三、解答题
15．已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积．
解 (1)如右图所示．
(2)根据三视图间的关系可得BC＝ 23，
∴侧视图中VA＝
3?2?22
4－?××23?
?32?＝23.
1
∴S△VBC＝×23×23＝6.
2
16．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S.
解 由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．
1
(1)V＝×(8×6)×4＝64.
3
(2)四棱锥的两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，取BC的中点E，连接OE，VE，则△VOE为直角三角形，VE为△VBC边上的高，VE＝ VO＋OE＝42.
同理侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h＝ 1?1?∴S侧＝2×?×6×42＋×8×5?＝40＋242. 2?2?
2
2
?6?22
4＋??＝5.
?2?
