?3???2?1??2?cos60??1??2，解得：??3． 3【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量. 【名师点睛】
????????b＝abcos?，其中?是a与b的夹角，要注意夹角的定义1.平面向量a与b的数量积为a·和它的取值范围：0????180?.
?????????a·ba，cos????，a·2.由向量的数量积的性质有|a|=a·b＝0?a?b，因此，利用平面
ab向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立?的方程.
【2017山东，文17】（本小题满分12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
????????b=3,AB?AC??6,S△ABC=3,求A和a.
【答案】A=【解析】
3π,a=29. 4?3ccosA??6?试题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得,?1,由此求A,再利用余弦定
?3csinA?3??2理求a.
????????试题解析：因为AB?AC??6，
所以bccosA??6， 又S?ABC?3，
所以bcsinA?6，
因此tanA??1，又0?A??， 所以A?3?， 4又b?3，所以c?22，
由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA， 得a2?9?8?2?3?22?(?所以a?29.
【2017天津，文15】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
2)?29， 2asinA?4bsinB，ac?5(a2?b2?c2).
（I）求cosA的值； （II）求sin(2B?A)的值.
【答案】(Ⅰ)?【解析】
525 ；(Ⅱ)? . 55试题解析：（Ⅰ）解：由asinA?4bsinB，及
ab?，得a?2b. sinAsinB由ac?5(a2?b2?c2)，及余弦定理，得cosA?b?c?a?2bc222?5ac55??. ac5（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sinA?25asinA5，代入asinA?4bsinB，得sinB?. ?54b5425.于是sin2B?2sinBcosB?，
55由（Ⅰ）知，A为钝角，所以cosB?1?sin2B?cos2B?1?2sin2B?3，故 54532525. sin(2B?A)?sin2BcosA?cos2BsinA??(?)????55555【考点】1.正余弦定理；2.三角恒等变换.
【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式
28.【2017北京，文16】已知函数f(x)?3cos(2x-（I）f(x)的最小正周期； （II）求证：当x?[??3)?2sinxcosx.
??1,]时，f?x???． 442【答案】（Ⅰ）? ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】
试题解析： （Ⅰ）f(x)?3313πcos2x?sin2x?sin2x?sin2x?cos2x?sin(2x?). 222232π?π. 2所以f(x)的最小正周期T?（Ⅱ）因为?ππ?x?， 44ππ5π所以??2x??.
636ππ1所以sin(2x?)?sin(?)??.
362ππ1所以当x?[?,]时，f(x)??.
442【考点】1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.
【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的y?Asin??x???的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值.
31.18】=sin2x–cos2x– 【2017浙江，（本题满分14分）已知函数f（x）（x?R）．23 sin x cos x
（Ⅰ）求f(2?)的值． 3（Ⅱ）求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为?，单调递增区间为[【解析】
试题分析：（Ⅰ）由函数概念f(?6?k?,2??k?]k?Z． 32?2?2?2?2?)?sin2?cos2?23sincos，分别计333332?可得周期，利用正弦
算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得y?Asin(?x??)，结合T?函数的性质求函数的单调递增区间．
?
【考点】三角函数求值、三角函数的性质 【名师点睛】本题主要考查
高三期中复习(三)平面向量
????1.【2017课标3，文13】已知向量a?(?2,3),b?(3,m)，且a?b，则m= .
2.【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=(?1,?) ,若a||b,则?? . 3.【2017北京，文7】设m, n为非零向量，则“存在负数?，使得m=λn”是“m·n<0”的 条件。
4.【2017课标1，文13】已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=___．
5.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .
6. 【2017山东，理12】已知e1,e2是互相垂直的单位向量，若3e1?e2与e1??e2的夹角为60?，则实数?的值是 .
????????7. 【2017天津，理13】在△ABC中，∠A?60?，AB?3，AC?2.若BD?2DC，
????????????????????AE??AC?AB(??R)，且AD?AE??4，则?的值为___________.
8. （2017苏锡常镇一模11）在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P
满足
=+，且?=1，则实数λ的值为 ．
????????????????????8．【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC????????????????????的夹角为?,且tan?=7,OB与OC的夹角为45°.若OC?mOA?nOB(m,n?R), 则
m?n? .
9.【2017课标II，理12】已知?ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则
????????????PA?(PB?PC)的最小值是
????????10.O为原点，【2017北京，文12】已知点P在圆x?y=1上，点A的坐标为(-2,0)，则AO?AP22的最大值为_________．
11.【2017浙江，14】已知向量a，b满足a?1,b?2,则a?b?a?b的最小值是________，
最大值是_______．
12．（2017苏锡常镇二模12）．在△ABC中，AB⊥AC，AB=，AC=t，P是△ABC
所在平面内一点，若
二．解答题
=，则△PBC面积的最小值为
13．（2017苏锡常镇二模15）．已知向量（1）当x=的值．
14．【2017江苏，16】 已知向量a?(cosx,sinx),b?(3,?3),x?[0,π].
．
时，求的值；（2）若，且，求cos2x
（1）若a∥b,求x的值；（2）记f(x)?a?b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
15．【2017山东，文17】（本小题满分12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
????????b=3,AB?AC??6,S△ABC=3,求A和a.
16．【2017天津，文15】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
asinA?4bsinB，ac?5(a2?b2?c2).
（I）求cosA的值； （II）求sin(2B?A)的值.
17．【2017北京，文16】已知函数f(x)?3cos(2x-（I）f(x)的最小正周期；（II）求证：当x?[?
18.18】=sin2x–cos2x– 【2017浙江，（本题满分14分）已知函数f（x）（x?R）．23 sin x cos x
（Ⅰ）求f(?3)?2sinxcosx.
??1,]时，f?x???． 4422?)的值． 3（Ⅱ）求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
19．a，b，c分别为角A，B，C的对边．（2017苏锡常镇一模15）．在△ABC中，若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长； （2）求角B的大小．
15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=
（1）求边c的长；
（2）求角B的大小．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加即可得出c．
a2﹣b2=8．（2）由（1）可得：由正弦定理可得：可得A=B+﹣16sin2B=
C=，
，可得sinC=sin，化简即可得出．
=3，b×
=1，
==，又A﹣B=，
．代入可得
【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a×化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c． 相加可得：2c2=8c，解得c=4． （2）由（1）可得：a2﹣b2=8． 由正弦定理可得：又A﹣B=
，∴A=B+
=
=
，
，C=π﹣（A+B）=，可得sinC=sin ．
∴a=，b=．
∴∴1﹣
=
∴﹣2∴解得：B=
﹣16sin2B=
，
，即cos2B﹣
﹣（1﹣cos2B）=
， ═
=0或．
=1，B∈
，
．
11．AC=2，在△ABC中，已知AB=1，∠A=60°，若点P满足则实数λ的值为 ﹣或1 ． 【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把来，再求
?
即可．
、
=+，且?=1，
用、与λ表示出
【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足∴∴又∴=λ
﹣=λ=??
=λ； ﹣=λ
=（?[
+λ
）﹣
=]
+（λ﹣1）
，
，
=+，
+（λ﹣1）
+λ（λ﹣1）
=λ×2×1×cos60°+λ（λ﹣1）×22=1， 整理得4λ2﹣3λ﹣1=0， 解得λ=﹣或λ=1， ∴实数λ的值为﹣或1． 故答案为：﹣或1．
12．在△ABC中，AB⊥AC，AB=，AC=t，P是△ABC所在平面内一点，若=
，则△PBC面积的最小值为 ．
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算得出P的坐标， 利用基本不等式求得△PBC面积的最小值． 【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系， 可得A（0，0），B（，0），C（0，t）， ∵
=
+
=（4，0）+（0，1）=（4，1），
∴P（4，1）； 又|BC|=
，BC的方程为tx+=1，
∴点P到直线BC的距离为d=，
∴△PBC的面积为 S=?|BC|?d
=??
=|4t+﹣1|≥?|2﹣1|=，
当且仅当4t=，即t=时取等号， ∴△PBC面积的最小值为． 故答案为：．
6.【2017课标II，理12】已知?ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则
????????????PA?(PB?PC)的最小是（ ）
A.?2 B.?【答案】B 【解析】
34 C. ? D.?1 23【考点】 平面向量的坐标运算；函数的最值
【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决。
9.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= . 【答案】23 【解析】
??2?2???2试题分析：|a?2b|?|a|?4a?b?4|b|?4?4?2?1?cos60??4?12 ??所以|a?2b|?12?23. ??秒杀解析：利用如下图形，可以判断出a?2b的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，
则为23.
【考点】平面向量的运算.
【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.
????????10.【2017天津，理13】在△ABC中，∠A?60?，AB?3，AC?2.若BD?2DC，
????????????????????AE??AC?AB(??R)，且AD?AE??4，则?的值为___________.
【答案】
3 11
【考点】向量的数量积
【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任
????????一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的AB,AC已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.
11.【2017山东，理12】已知e1,e2是互相垂直的单位向量，若3e1?e2与e1??e2的夹角为60?，则实数?的值是 . 【答案】
3 3【解析】试题分析：
??????????????2?????????????2 3e1?e2?e1??e2?3e1?3?e1?e2?e1?e2??e2?3??，
????????3e1?e2??????e1??e2????????3e1?e22?2??2????????2?3e1?23e1?e2?e2?2，
?????e1??e2??2????????22?e1?2?e1?e2??e2?1??2，
