一、等差等比数列基础知识点
（一）知识归纳： 1．概念与公式：
①等差数列：1°.定义：若数列{an}满足an?1?an?d(常数),则{an}称等差数列；
2°.通项公式：an?a1?(n?1)d?ak?(n?k)d; 3°.前n项和公式：公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d. 22②等比数列：1°.定义若数列{an}满足an?1，则{an}称等比数列；2°.通项公式：?q（常数）
anan?a1qn?1?akqn?ka1?anqa1(1?qn)?(q?1),当q=1时Sn?na1. ;3°.前n项和公式：Sn?1?q1?q2．简单性质：
①首尾项性质：设数列{an}:a1,a2,a3,?,an,
1°.若{an}是等差数列，则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??; 2°.若{an}是等比数列，则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??. ②中项及性质：
1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且A?a?b; 22°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且G??ab. ③设p、q、r、s为正整数，且p?q?r?s, 1°. 若{an}是等差数列，则ap?aq?ar?as; 2°. 若{an}是等比数列，则ap?aq?ar?as; ④顺次n项和性质：
1°.若{an}是公差为d的等差数列，则?a,?a,?akkk?1k?n?12nk?2n?13nnkkn2n3nk组成公差为n2d的等差数列；
2°. 若{an}是公差为q的等比数列，则偶数时这个结论不成立）
⑤若{an}是等比数列，
?a,?a,?ak?1k?n?1k?2n?1k组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为
1
则顺次n项的乘积：a1a2?an,an?1an?2?a2n,a2n?1a2n?2?a3n组成公比这qn的等比数列. ⑥若{an}是公差为d的等差数列,
1°.若n为奇数，则Sn?na中且S奇?S偶?a中(注:a中指中项,即a中?an?1,而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶
22数项的和）；
2°.若n为偶数，则S偶?S奇?nd. 2（二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或
a，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为q“a,a?m,a?2m,a?3m(或a?3m,a?m,a?m,a?3m);”④四数成等比数列，可设四数为“a,aq,aq,aq(或23aa3,?,aq,?aq),”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. 3qq[例1]解答下述问题：
111,,成等差数列，求证： abcb?cc?aa?b,,（1）成等差数列； abcbbb（2）a?,?,c?成等比数列.
222（Ⅰ）已知
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，
112a?c2?????2ac?b(a?c),acbacbb?ca?bbc?c2?a2?abb(a?c)?a2?c2(1)????acacac2(a?c)22(a?c)??.b(a?c)b
b?cc?aa?b?,,成等差数列;abcbbbb2b(2)(a?)(c?)?ac?(a?c)??(?)2,22242bbb?a?,?,c?成等比数列.222?（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2?1,2Sn?n(an?1),
2
（1）求证：{an}是等差数列； （2）若数列{bn}满足:
b1?3b2?5b3???(2n?1)bn?2n?1an?6
求证：{bn}是等比数列.
?2Sn?n(an?1)[解析]（1）??2Sn?1?(n?1)(an?1?1)① ②
②－①得2an?(n?1)an?1?nan?1?(n?1)an?1?nan?1,
令n?1得a1??1,?a2?1,?令n?2得a3?3,猜想an?2n?3,用数学归纳法证明:
1）当n?1时,a1??1?2?1?3,a2?1?2?2?3,结论正确; 2）假设n?k(k?2)时结论正确,即ak?2k?3,
?当n?k?1时,?(k?1)ak?1?kak?1?k(2k?3)?1?2k2?3k?1?(2k?1)(k?1) ?k?2,?ak?1?2k?1?2(k?1)?3,结论正确.
由1）、2）知，当n?N?时,an?2n?3,
?an?1?an?(2n?1)?(2n?3)?2,即{an}是公差为2的等差数列;(2)设Tn?2n?1an?6?2n?1(2n?3)?6,?当n?2时(2n?1)bn?Tn?Tn?1?2n?1(2n?3)?2n(2n?5)?(2n?1)?2n,?bn?2n(n?2),而b1?4?(?1)?6?2,也适合,?当n?N?时bn?2n,?bn?1?2,即{bn}是公比为2的等比数列.bn
[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归 纳猜想”并证明.
[例2]解答下述问题：
（Ⅰ）等差数列的前n项和为Sn,若SP?求SP?Q(用P,Q表示).
[解析]选择公式\Sn?an?bn\做比较好，但也可以考虑用性质完成.
3
2QP,SQ?(P?Q), PQ
?Q2?aP?bP?P?2[解法一]设Sn?an?bn,???P?aQ2?bQ??Q①
②
Q2?P2①－②得：?(P?Q)[a(P?Q)?b],?P?Q,
PQ?P?Q,?a(P?Q)?b??P?Q,PQ(P?Q).PQ2
?SP?Q?(P?Q)[a(P?Q)?b]??[解法二]不妨设P?Q,?QP??SP?SQ?aQ?1?aQ?2???aP PQ?(P?Q)(aQ?1?aP)2(P?Q).PQ2P?Q(P?Q)(a1?aP?Q)P?Q???SP?Q,P?Q2P?Q
?SP?Q??（Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为
1282，求项数n.
[解析]设公比为q,?n?12a1a3a5?an1024??42
a2a4?an?11282?a1?q?42(1)
35252而a1a2a3?an?1024?1282?2?(a1?q?n?1n2352?a1?qn3521?2?3??(n?1)?2352)?2,将(1)代入得(2)?2,
5n35?,得n?7.22（Ⅲ）等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：
ak1,ak2,?,akn恰为等比数列,其中k1?1,k2?5,k3?17,
求数列{kn}的前n项和.
[解析]?a1,a5,a17成等比数列,?a5?a1?a17,
2 4
?(a1?4d)2?a1?(a1?16d)?d(a1?2d)?0?d?0,?a1?2d,?数列{akn}的公比q?a5a1?4d??3,a1a1①②
?akn?a1?3n?1?2d?3n?1而akn?a1?(kn?1)d?2d?(kn?1)d由①，② 得kn?2?3n?1?1,3n?1{kn}的前n项和Sn?2??n?3n?n?1.3?1[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题：
（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.
[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a－d, a, a+d，则有
22???(a?d)(a?d?32)?a?d?32d?32a?0???22??(a?4)?(a?d)(a?d)??8a?16?d826?3d2?32d?64?0,?d?8或d?,得a?10或,
39226338?原三数为2,10,50或,,.999（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析]设此四数为a?15,a?5,a?5,a?15(a?15),
?(a?152)?(a?5)2?(a?5)2?(a?15)2?(2m)2(m?N?)?4a2?500?4m2?(m?a)(m?a)?125,?125?1?125?5?25,?m?a与m?a均为正整数,且m?a?m?a,?m?a?1?m?a?2????m?a?125??m?a?25 解得a?62或a?12(不合),?所求四数为47，57，67，77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主
要方法.
二、等差等比数列复习题
一、 选择题
1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）
（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在
5
2.、在等差数列
（A）an?an?中，a1?4,且a1,a5,a13成等比数列，则?an?的通项公式为 （ ）
?3n?1 （B）an?n?3 （C）an?3n?1或an?4 （D）an?n?3或an?4
ac?的值为 （ ） xy 3、已知a,b,c成等比数列，且x,y分别为a与b、b与c的等差中项，则
（A）
12 （B）?2 （C）2 （D） 不确定
y是b,c的等比中项，那么x2，b2，y2三个数（ ）
4、互不相等的三个正数a,b,c成等差数列，x是a,b的等比中项，
（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列 （C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列
?an?的前n项和为Sn,S2n?1?4n2?2n,则此数列的通项公式为 （ ）
?2n?2 （B）an?8n?2 （C）an?2n?1 （D）an?n2?n
2（A）an6、已知(z?x)?4(x?y)(y?z)，则 （ ）
111111,,成等差数列 （D）,,成等比数列 xyzxyz（A）x,y,z成等差数列 （B）x,y,z成等比数列 （C）
7、数列
?an?的前n项和Sn?an?1，则关于数列?an?的下列说法中，正确的个数有 （ ）
①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
8、数列1
1111,3,5,7,?,前n项和为 （ ） 248161111112222（A）n?n?1 （B）n?n?1? （C）n?n?n?1 （D）n?n?n?1?
2222229、若两个等差数列
?an?、?bn?的前n项和分别为An 、Bn，且满足An87 （C）
Bn78
?4n?25n?5，则
a5?a13b5?b13的值为 （ ）
（A）
10、已知数列
79 （B）
1920 （D）
?an?的前n项和为Sn?n2?5n?2,则数列?an?的前10项和为 （ ）
?an?的通项公式an?n?5为, 从?an?中依次取出第3，9，27，…3, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列
n
（A）56 （B）58 （C）62 （D）60
11、已知数列
的前n项和为 （ ）
n(3n?13)3n?10n?33n?1?10n?3n（A） （B）3?5 （C） （D）
22212、下列命题中是真命题的是 ( )
6
A．数列
?an?是等差数列的充要条件是an?pn?q(p?0)
?an?的前n项和为Sn?an2?bn?a,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列
B．已知一个数列C．数列
?an?是等比数列的充要条件an?abn?1 D．如果一个数列二、填空题
?an?的前n项和Sn?abn?c(a?0,b?0,b?1),则此数列是等比数列的充要条件是a?c?0
?an?，公比q?1a5,a7,a8,成等差数列，则公比q=
a2?a6?a18=
13、各项都是正数的等比数列
14、已知等差数列
?an?，公差d?0,a1,a5,a17成等比数列，则a1?a5?a17415、已知数列
?an?满足Sn?1?1an,则an= ?an?是公差d不为零的等差数列，数列?ab?是公比为q的等比数列，b1?1,b2?10,b3?46 ，求公比q及bn。
n16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17、已知数列
18、已知等差数列
19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。 20、已知
21、数列（Ⅰ）求
?an?的公差与等比数列?bn?的公比相等，且都等于d(d?0,d?1) ,a1?b1 ，a3?3b3,a5?5b5,求an,bn。
?an?为等比数列，a3?2,a2?a4?20，求?an?的通项式。
3?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1?n?1? ?an?的通项公式；
?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b1,a2?b2,a3?b3成等比数列，求Tn
（Ⅱ）等差数列
22、已知数列
?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*). ?an?的通项公式； ?bn?满足4b?1.4b?1...4b?1?(an?1)b(n?N?)，证明：?bn?是等差数列；
12nn（I）求数列
（II）若数列
第九单元 数列综合题
一、选择题 题号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7
答B D C A A A C A D D D D 案 二、 填空题 13.
1?52 14. 2629 15. 43(?13)n 16. ?63
三、解答题
17.ab1=a1,ab2=a10=a1+9d,ab3=a46=a1+45d
由{abn}为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1 ∴bn=3·4n-1-2
18.∴ a3=3b3 , ?a1+2d=3a1d2 , ?a1(1-3d2)=-2d ① ?a5=5b5, ?a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d ②
②1?5d422155① ,得1?3d2=2，∴ d=1或d=5,由题意，d=5,a1=-5。∴an=a1+(n-1)d=5(n-6) 19.设这四个数为
aq,a,aq,2aq?a ?①则?a?q·a?aq?216 由①，得a3=216,a=6 ③ ??a?aq?(3aq?a)?36②③代入②，得3aq=36,q=2 ∴这四个数为3，6，12，18
20.解: 设等比数列{aan}的公比为q, 则q≠0, a2=32
q = q , a4=a3q=2q
所以 220q + 2q=3 , 解得q1
1=3
, q2= 3,
当q11－18－
1=3, a1=18.所以 an=18×(3)n1=3n－1 = 2×33n.
当q=3时, a22－
1= 9 , 所以an=9
×3n－1=2×3n3.
21.解：(I)由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1?n?2?，两式相减得
an?1?an?2an,an?1?3an?n?2?
又a2?2S1?1?3 ∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3得等比数列 ∴an?1n?3
bn=a1dn-1=-5·(5n-1 5)8
（Ⅱ）设?bn?的公差为d
由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?5 故可设b1?5?d,b3?5?d 又a1?1,a2?3,a3?9
由题意可得?5?d?1??5?d?9???5?3?2 解得d1?2,d2?10
∵等差数列?bn?的各项为正，∴d?0 ∴d?2
∴Tn?n?1?n?3n?2?2?n2?2n 22（I）：
an?1?2an?(1n?,)N*
?an?1?1?2(an?1), ??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列。 ?ann?1?2.
即 a*n?22?1(n?N). （II）证法一：
4b1?14b2?1...4bn?1?(an?1)bn.
?4(b1?b2?...?bn)?n?2nbn.
?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn, 2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1. ②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn, 即(n?1)bn?1?nbn?2?0,
③
nbn?2?(n?1)bn?1?2?0. ④
④－③，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0,
即 bn?2?2bn?1?bn?0,
①
② 9
?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*),
??bn?是等差数列。
10
