（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；
（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=
，求此圆直径．
（第1题图） 考点： 相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形 分析： （1）只需找到两组对应角相等即可． （2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题． （3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长． 解答： 解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC， ∴∠BDF=∠CEF=90°． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°． ∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C， ∴△BDF∽△CEF． （2）∵∠BDF=90°，∠B=60°， ∴sin60°=∵BF=m， ∴DF=m，BD=． =，cos60°==． ∵AB=4， ∴AD=4﹣． ∴S△ADF=AD?DF
=×（4﹣）×=﹣m2+m m． 同理：S△AEF=AE?EF =×（4﹣=﹣m2+2）×． （4﹣m） ∴S=S△ADF+S△AEF =﹣=﹣=﹣∵﹣m2+m+2 （m2﹣4m﹣8） （m﹣2）2+3．其中0＜m＜4． ＜0，0＜2＜4， ． ∴当m=2时，S取最大值，最大值为3∴S与m之间的函数关系为： S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）． ． 当m=2时，S取到最大值，最大值为3（3）如图2， ∵A、D、F、E四点共圆， ∴∠EDF=∠EAF． ∵∠ADF=∠AEF=90°， ∴AF是此圆的直径． ∵tan∠EDF=∴tan∠EAF=∴=． ， ． ∵∠C=60°， ∴=tan60°=． x，EA=2x． 设EC=x，则EF=
∵AC=a， ∴2x+x=A． ∴x=． ∴EF=，AE=． ∵∠AEF=90°， ∴AF=∴此圆直径长为=． ． 点评： 本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键．
14. （2014年江苏南京，第26题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O为△ABC的内切圆．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
（第2题图）
考点：圆的性质、两圆的位置关系、解直角三角形
分析：（1）求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径．
（2）考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切．所以我们要分别讨论，当外切时，圆心距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差．分别作垂线构造直角三角形，类似（1）通过表示边长之间的关系列方程，易得t的值．
解答：（1）如图1，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，
则AD=AF，BD=BE，CE=CF． ∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°． ∵∠C=90°，
∴四边形CEOF是矩形， ∵OE=OF，
∴四边形CEOF是正方形．
设⊙O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm， ∴AB=
=5cm．
∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r，BD=BE=BC﹣EC=3﹣r， ∴4﹣r+3﹣r=5，
解得 r=1，即⊙O的半径为1cm．
（2）如图2，过点P作PG⊥BC，垂直为G． ∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC． ∴△PBG∽△ABC，∴
．∵BP=t，
∴PG=，BG=．
若⊙P与⊙O相切，则可分为两种情况，⊙P与⊙O外切，⊙P与⊙O内切． ①当⊙P与⊙O外切时，
如图3，连接OP，则OP=1+t，过点P作PH⊥OE，垂足为H． ∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°， ∴四边形PHEG是矩形， ∴HE=PG，PH=CE， ∴OH=OE﹣HE=1﹣在Rt△OPH中， 由勾股定理，解得 t=．
②当⊙P与⊙O内切时，
如图4，连接OP，则OP=t﹣1，过点O作OM⊥PG，垂足为M． ∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°， ∴四边形OEGM是矩形， ∴MG=OE，OM=EG， ∴PM=PG﹣MG=在Rt△OPM中， 由勾股定理，
综上所述，⊙P与⊙O相切时，t=s或t=2s．
点评：本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，总体题目难度不高，是一道非常值得练习的题目．
15.（2014?呼和浩特，第24题8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．
（1）求证：∠ACM=∠ABC；
（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．
，解得 t=2．
，OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣
=2﹣
，
，
，PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣
=2﹣
．
圆的有关性质
一、选择题
1. （ 2014?珠海，第5题3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
160° A．
考点： 圆周角定理；垂径定理． 分析： 利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案． 150° B． 140° C． 120° D． 解答： 解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB， ∴=， ∵∠CAB=20°， ∴∠BOD=40°， ∴∠AOD=140°． 故选：C． 点评： 此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．
2. （ 2014?广西贺州，第11题3分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=
，CE=1．则弧BD的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算．
分析：连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故
=
，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC
的长，再根据弧长公式即可得出结论． 解答：解：连接OC，
∵△ACE中，AC=2，AE=∴AE2+CE2=AC2，
∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD， ∵sinA=
=，
，CE=1，
∴∠A=30°， ∴∠COE=60°， ∴
=sin∠COE，即
=
，解得OC=
，
∵AE⊥CD， ∴
=
，
∴===．
故选B．
点评：本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．
3．（2014?温州，第8题4分）如图，已知A，B，C在⊙O上，∠AOB相等的是（ ）
为优弧，下列选项中与
A．2∠C
考点： 圆周角定理． 分析： 根据圆周角定理，可得∠AOB=2∠C． 解答： 解：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C． 故选A． 点评： 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
4.（2014?毕节地区，第5题3分）下列叙述正确的是（ ） A． 方差越大，说明数据就越稳定 B． 在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变 C． 不在同一直线上的三点确定一个圆 D． 两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 考点： 分析： 方差；不等式的性质；全等三角形的判定；确定圆的条件 利用方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项． 解答： 解：A、方差越大，越不稳定，故选项错误； B、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，故选项错误； C、正确； D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故选项错误． 故选C． 点评： 本题考查了方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件，属于基本定理的应用，较为简单． B． 4∠B C． 4∠A D． ∠B+∠C
5.（2014?毕节地区，第6题3分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A． 6 考点： 分析： 垂径定理；勾股定理 5 B． 4 C． 3 D． 过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可． 解答： 解：过O作OC⊥AB于C， ∵OC过O， ∴AC=BC=AB=12， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC=故选：B． =5． 点评：
6.（2014?毕节地区，第15题3分）如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（ ）
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长． A． 1
B． 3 C． D．
考点： 分析： 圆周角定理；解直角三角形 由以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD=，BC=4，即可求得答案． 解答： 解：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B=90°， ∴∠B=∠ACD， ∵cos∠ACD=， ∴cos∠B=， ∴tan∠B=， ∵BC=4， ∴tan∠B=∴AC=． ==， 故选D． 点评： 此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
7.（2014?武汉，第10题3分）如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（ ）
∴==， ∵AD=2，PD=1 ∴BD=4，AB=2AP， ∴BP=BD﹣DP=3， ∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°， ∴∠APD=∠APC， ∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E， ∴PAD=∠PCA， ∴△ADP∽△CAP， ∴=， ∴AP2=CP?PD， ∴AP2=（3+AP）?1， 解得：AP=∴BC=AB=2AP=1+或AP=． （舍去），x§k§b 1 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和切线的判定与性质等知识，熟练利用相似三角形的判定与性质得出是解题关键．
10.（2014?孝感，第20题8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
考点：作 图—复杂作图；直线与圆的位置关系． 分析：（ 1）根据角平分线的作法求出角平分线BO； （2）过O作OD⊥AB交AB于点D，先根据角平分线的性质求出DO=CO，再根据切线的判定定理即可得出答案． 解答：解 ：（1）如图： （2）AB与⊙O相切． 证明：作OD⊥AB于D，如图． ∵BO平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB， ∴OD=OC， ∴AB与⊙O相切． 点评：此 题主要考查了复杂作图以及切线的判定等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键．
11.（2014?孝感，第24题10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．
考点：切 线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质 分析：（ 1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB； （2）由AD⊥PD，AB为⊙O的直径，易证得CE平分∠ACB，继而可得∴∠PFC=∠PCF，即可证得PC=PF，即△PCF是等腰三角形； （3）首先连接AE，易得AE=BE，即可求得AB的长，继而可证得△PAC∽△PCB，又由tan∠ABC=，BE=7，即可求得答案． 解答：解 ：（1）∵PD切⊙O于点C， ∴OC⊥PD． （1分） 又∵AD⊥PD， ∴OC∥AD． ∴∠ACO=∠DAC． 又∵OC=OA， ∴∠ACO=∠CAO， ∴∠DAC=∠CAO， 即AC平分∠DAB．（3分） （2）∵AD⊥PD， ∴∠DAC+∠ACD=90°． 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠PCB+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO， ∴∠CAO=∠PCB．…（4分） ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACF=∠BCF， ∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF， ∴∠PFC=∠PCF，…（5分） ∴PC=PF， ∴△PCF是等腰三角形．…（6分） （3）连接AE． ∵CE平分∠ACB， ∴∴=， ． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°． 在Rt△ABE中，∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P， ∴△PAC∽△PCB，（8分） ∴． ． （7分） 又∵tan∠ABC=， ∴∴， ． 设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7， ∵PC2+OC2=OP2， ∴（4k）2+72=（3k+7）2， ∴k=6 （k=0不合题意，舍去）． ∴PC=4k=4×6=24． （10分）
点评：此 题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 12．（2014?浙江湖州，第19题分）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： （1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，
从而得到AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论． 解答： （1）证明：作OE⊥AB， ∵AE=BE，CE=DE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；
（2）∵由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6， ∴CE=
=
．
=2
，AE=
=
=8，
∴AC=AE﹣CE=8﹣2
点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 13. （2014?湘潭，第25题） △ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC， （1）求证：△BDF∽△CEF；
F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．
考点： 圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 综合题；存在型；分类讨论．
分析： （1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．
（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．
（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣
．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，
对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．
解答： 解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示． ∵PH∥OA， ∴△CHP∽△COA． ∴
=
=
．
∵点P是AC中点， ∴CP=CA．
∴HP=OA，CH=CO． ∵A（3，0）、C（0，4）， ∴OA=3，OC=4． ∴HP=，CH=2． ∴OH=2．
∵PH∥OA，∠COA=90°， ∴∠CHP=∠COA=90°． ∴点P的坐标为（，2）． 设直线DP的解析式为y=kx+b，
∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，
∴
∴
∴直线DP的解析式为y=x﹣5．
（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示， ∵△DOM∽△ABC， ∴
=
．
∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5）， ∴BC=3，AB=4，OD=5． ∴=∴OM=
． ．
∵点M在x轴的正半轴上， ∴点M的坐标为（
，0）
②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示， ∵△DOM∽△CBA，
∴=．
∵BC=3，AB=4，OD=5， ∴=∴OM=
． ．
∵点M在x轴的正半轴上， ∴点M的坐标为（
，0）．
，0）或（
，0）．
综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°， ∴AC=5．
∴PE=PF=AC=． ∵DE、DF都与⊙P相切， ∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°． ∴S△PED=S△PFD． ∴S四边形DEPF=2S△PED =2×PE?DE =PE?DE =DE． ∵∠DEP=90°， ∴DE2=DP2﹣PE2． =DP2﹣
．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得： 当DP⊥AC时，DP最短，
此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小． ∵DP⊥AC， ∴∠DPC=90°． ∴∠AOC=∠DPC．
∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，
∴△AOC∽△DPC． ∴
=
．
∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9， ∴
=．
．
∴DP=
∴DE2=DP2﹣=（=∴DE=
）2﹣．
，
∴S四边形DEPF=DE =
．
．
∴四边形DEPF面积的最小值为
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．
6.（2014年广东汕尾，第20题11分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E． （1）求证：点E是边BC的中点； （2）求证：BC2=BD?BA；
（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．
分析： （1）利用切线的性质及圆周角定理证明；（2）利用相似三角形证明； （3）利用正方形的性质证明．
证明：（1）如图，连接OD．∵DE为切线，∴∠EDC+∠ODC=90°； ∵∠ACB=90°，∴∠ECD+∠OCD=90°．又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD， ∴∠EDC=∠ECD，∴ED=EC；∵AC为直径，∴∠ADC=90°， ∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，∴∠B=∠BDE，∴ED=DB．
∴EB=EC，即点E为边BC的中点；
（2）∵AC为直径，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠B=∠B ∴△ABC∽△CDB，∴
，∴BC2=BD?BA；
（3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD=45°；∵AC为直径， ∴∠ADC=90°，∴∠CAD=∠ADC﹣∠OCD=90°﹣45°=45° ∴Rt△ABC为等腰直角三角形．
点评：本题是几何证明题，综合考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形、正方形、等腰直角三角形等知识点．试题着重对基础知识的考查，难度不大．
7.（2014?毕节地区，第26题14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD；
（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．
考点： 分析： 切线的判定 （1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A； （2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切． 解答： （1）证明：∵AC为直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠DCA=90°，
∵∠ACB=90°， ∴∠DCB+∠ACD=90°， ∴∠DCB=∠A； 新*课*标*第*一*网 （2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切； 解：连接DO， ∵DO=CO， ∴∠1=∠2， ∵DM=CM， ∴∠4=∠3， ∵∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴直线DM与⊙O相切． 点评： 此题主要考查了切线的判定，以及圆周角定理，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
8.（2014?武汉2014?武汉，第22题8分）如图，AB是⊙O的直径，C，P是AC=5．
（1）如图（1），若点P是（2）如图（2），若点P是
的中点，求PA的长； 的中点，求PA的长．
上两点，AB=13，
考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理 分析： （1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，p是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得． （2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA． 解答： 解：（1）如图（1）所示，连接PB， ∵AB是⊙O的直径且P是的中点， ∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°， 又∵在等腰三角形△ABC中有AB=13， ∴PA= （2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N， ==． ∵P点为弧BC的中点，
∴OP⊥BC，∠OMB=90°， 又因为AB为直径 ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠OMB， ∴OP∥AC， ∴∠CAB=∠POB， 又因为∠ACB=∠ONP=90°， ∴△ACB∽△0NP ∴=， ， 又∵AB=13 AC=5 OP=代入得 ON=， ∴AN=OA+ON=9 ∴在RT△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36 在RT△ANP中 有PA=∴PA=3点评： ． ==3 本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．
9.（2014?襄阳，第25题10分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D． （1）求证：△ADP∽△BDA；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．
考点： 圆的综合题
分析： （1）首先作⊙O的直径AE，连接PE，利用切线的性质以及圆周角定理得出∠PAD=∠PBA进而得出答案； （2）首先在线段PC上截取PF=PB，连接BF，进而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC； （3）利用△ADP∽△BDA，得出则===，求出BP的长，进而得出△ADP∽△CAP，，则AP2=CP?PD求出AP的长，即可得出答案． 解答： （1）证明：作⊙O的直径AE，连接PE， ∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线， ∴∠DAE=∠APE=90°， ∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°， ∴∠PAD=∠E， ∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA， ∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA， ∴△ADP∽△BDA； （2）PA+PB=PC， 证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF， ∵PF=PB，∠BPC=60°， ∴△PBF是等边三角形， ∴PB=BF，∠BFP=60°， ∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°， ∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°， ∴∠BPA=∠BFC， 在△BPA和△BFC中，∴△BPA≌△BFC（AAS）， ∴PA=FC，AB=BC， ∴PA+PB=PF+FC=PC； （3）解：∵△ADP∽△BDA， ，
