各地中考压轴题汇编（3）
10、（嘉兴）如图，已知A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向
（→O→A→B→O→）运动，开始时点P在点B位置，点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位． （1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；
（2）在前10秒内，求P、Q两点之间的最小距离，并求此时点P、Q的坐标；
（3）在前15秒内，探究PQ平行于△OAB一边的情况，并求平行时点P、Q的坐标．
y
B xOA 11、（湖北武汉）如图①，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A(－1，0)、B(0，2)，抛
物线y＝ax2＋ax－2经过点C。 (1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图②，E为BC延长线上一动点，过A、B、E三点作⊙O’，连结AE，在⊙O’上另有一点F，
且AF＝AE，AF交BC于点G，连结BF。下列结论：①BE＋BF的值不变；②其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。
y F B A O x E A (第25题图②) O x C O’ G B y BFBG，?AFAGC D (第25题图①)
，AB?6，AD?4，DC?3，12、（广东梅州）如图12，直角梯形ABCD中，AB∥CD，?A?90°动点P从点A出发，沿A?D?C?B方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动．设点P移动的路程为x，点Q移动的路程为y，线段PQ平分梯形ABCD的周长．
（1）求y与x的函数关系式，并求出x，y的取值范围；
D C
P A Q
图12
B
（2）当PQ∥AC时，求x，y的值；
（3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．
解：（1）过C作CE⊥AB于E，则CD?AE?3，CE?4，可得BC?5， 所以梯形ABCD的周长为18． ··································································· 1分 PQ平分ABCD的周长，所以x?y?9， ···················································· 2分 因为0≤y≤6，所以3≤x≤9，
D C
3≤x≤9． · 所求关系式为：y??x?9，·········· 3分
（2）依题意，P只能在BC边上，7≤x≤9．
P
xBQ?6?，y PB?12?， 因为PQ∥AC，所以△BPQ∽△BCA，所以
A
Q
B
BPBQ?，得 ······················· 4分 BCBA12?x6?y?，即6x?5y?42， 56 解方程组??x?y?9，8712，y?． · 得x?·········································· 6分 1111?6x?5y?42 （3）梯形ABCD的面积为18． ································································· 7分
当P不在BC边上，则3≤x≤7，
（a）当3≤x?4时，P在AD边上，S△APQ? 如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有
1xy． 21xy?9 ··································· 8分 2 可得：??x?y?9，?x?3，解得?（x?6，y?3舍去）． ··································· 9分
?xy?18.?y?6；1?4(x?4?y)． 2 （b）当4≤x≤7时，点P在DC边上，此时SADPQ? 如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有
1?4(x?4?y)?9， 2 可得??x?y?9，此方程组无解．
?2x?2y?17. 所以当x?3时，线段PQ能平分梯形ABCD的面积． ··································· 11分 13、（湖北仙桃）如图①，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4.
（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标；
（2）如图②，若AE上有一动点P（不与A、E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒(0?t?5)，过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M的坐标.
y y C E B D O 图① A
M D P · C N E B x O 图② A x 解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt?ABE中，AE?AO?5，AB?4
∴BE?AE2?AB2?52－42＝3 ∴CE?2
∴E点坐标为(2,4)………………………………………………………（2分）
222在Rt?DCE中，DC?CE?DE 又∵DE?OD
222∴(4?OD)?2?OD 解得：OD?5 252 （2）如图①∵PM∥ED ∴?APM∽?AED
5PMAP?∴ 又知AP?t，ED＝，AE?5 EDAE2t5t∴PM??? 又∵PE?5?t
522而显然四边形PMNE为矩形
t125 ∴S矩形PMNE?PM?PE??(5?t)??t?t…………………（5分）∴
22215255S矩形PMNE??(t?)2? 又∵0??5
2282525∴当t?时，S矩形PMNE有最大值（面积单位）…………………（6分）
28（3）（i）若ME?MA（如图①）
在Rt?AED中，ME?MA，?PM?AE,∴P为AE的中点 又∵PM∥ED ， ∴M为AD的中点
15515 ∴AP?AE? ∴AP?t? ∴PM?t?
22224∴D点坐标为(0,)………………………………………………………（3分）
又∵P与F是关于AD对称的两点
55 ，yM? 2455ME为等腰三角形 ∴当t?时（0??5），?A2255此时M点坐标为(,)………………………………………………（9分）
24（ii）若AM?AE?5（如图②）
∴xM?55 2APAM? ∵PM∥ED ，∴?APM∽?AED，∴ AEAD1AM?AE5?5 ∴t?AP???25 ∴PM?t?5
52AD52同理可知：xM?5?25 ， yM?5
在Rt?AOD中，AD?OD?AO?()?5?222252∴当t?25时（0?25?5），此时M点坐标为(5?25，5)
综合（i）、（ii）可知：t?5或t?25时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M2点的坐标为(,)或(5?25，5)………………………………………（12分）
5524
14、（山东济宁）如图，A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点。OA、OB的长分别是方程x2－14x
＋48＝0的两根(OA＞OB)，直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒 1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动。
(1)设△APB和△OPB的面积分别为S1、S2，求S1∶S2的值； y (2)求直线BC的解析式；
B (3)设PA－PO＝m，P点的移动时间为t。
①当0＜t≤45时，试求出m的取值范围； P ②当t＞45时，你认为m的取值范围如何(只要求写出结论)？
x O C A
15、（山东临沂）如图①，已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。
(1)求抛物线的解析式； y y A A (2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以x B O O O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存
图① 图② (第26题图) 在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P
点的坐标；若不存在，说明理由。
B x
16、（广东深圳）如图7，在平面直角坐标系中，抛物线y?121x?6与直线y?x相交于A，B两42点．
（1）求线段AB的长．
（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？
（3）如图8，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出
OM，OC，OD的长，并验证等式
y 111??是否成立． OC2OD2OM2y B A O x A D M B OC x 图7 图8
?（4）如图9，在Rt△ABC中，∠ACB?90，CD?AB，垂足为D，设BC?a，AC?b，
AB?c．CD?b，试说明：
111??． a2b2h2b A C h
（1） ∴A（-4，-2），B（6，3）
a B
c 图9
D
分别过A、B两点作AE?x轴，BF?y轴，垂足分别为E、F ∴AB=OA+OB?42?22?62?32 ?55
（2）设扇形的半径为x，则弧长为(55?2x)，扇形的面积为y
则y?15552125x(55?2x)??x2?5x??(x?)? 22416∵a??1?0 ∴当x?12555时，函数有最大值y最大?
164（3）过点A作AE⊥x轴，垂足为点E
∵CD垂直平分AB，点M为垂足
∴OM?1555AB?OA??25? 222∵?AEO??OMC,?EOA??COM ∴△AEO∽△CMO ∴
OEOM?AOCO ∴4255?CO ∴CO?52?25?154?4 2同理可得 OD?52 ∴11422OC2?OD2?(5)?(22045)?25?5 ∴1OM2?45 ∴111OC2?OD2?OM2 （4）等式111a2?b2?h2成立．理由如下：
∵?ACB?90?,CD?AB
∴
112ab?2AB?hAB2?a2?b2
∴ab?c?h
∴a2b2?c2?h2 ∴a2b2?(a2?b2)h2
a2b2(a2?b2)h2 ∴a2b2h2?a2b2h2 1a2?b2∴h2?a2b2 ∴
111h2?a2?b2
17、（芜湖）已知圆P的圆心在反比例函数y?
k
x
(k?1)图象上，并与x轴相交于A、B两点． 且始终与y轴相切于定点C(0，1)．
(1) 求经过A、B、C三点的二次函
数图象的解析式;
(2) 若二次函数图象的顶点为D，问
当k为何值时，四边形ADBP为菱形．
解：(1)连结PC、PA、PB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H． …………………1分 ∵⊙P与y轴相切于点C (0，1)， ∴PC⊥y轴． ∵P点在反比例函数y?k的图象上， x∴P点坐标为（k，1）． …………………2分 ∴PA=PC=k．
在Rt△APH中，AH=PA2?PH2=k2?1， ∴OA=OH—AH=k－k2?1． ∴A
（
k
－
k2?1，
0）． ……………………………………………………………………3分
∵由⊙P交x轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知， PH垂直平分AB． ∴OB=OA+2AH= k－k2?1+2k2?1=k+k2?1，
∴B(k+k2?1，0)． ……………………………………………………………………4分 故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k．
可设该抛物线解析式为y=a(x?k)2+h． …………………………………………………5分 又抛物线过C(0，1)， B(k+k2?1，0)， 得：
?ak2?h?1;? ?22??a(k?k?1?k)?h?0.解得a=1，h=1－k． …………………7分 ∴抛物线解析式为y=(x?k)2+1－k．……8分 （2）由(1)知抛物线顶点D坐标为（k， 1－k） ∴DH=k－1．
若四边形ADBP为菱形．则必有PH=DH ．………………………………………………10分 ∵PH=1，∴k－1=1．
又∵k＞1，∴k=2 …………………………………………………………11分 ∴当k取2时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形． …………………12分 [注：对于以上各大题的不同解法，解答正确可参照评分！]
22222
18、（永州）23．AB是⊙O的直径，D是⊙O上一动点，延长AD到C使CD＝AD，连结BC、BD。 (1)证明：当D点与A点不重合时，总有AB＝BC。
(2)设⊙O的半径为2，AD＝x，BD＝y，用含x的式子表示y。
(3)BC与⊙O是否有可能相切?若不可能相切，则说明理由；若能相切，则指出x为何值时相切。
18、（永州）23．AB是⊙O的直径，D是⊙O上一动点，延长AD到C使CD＝AD，连结BC、BD。 (1)证明：当D点与A点不重合时，总有AB＝BC。
(2)设⊙O的半径为2，AD＝x，BD＝y，用含x的式子表示y。
(3)BC与⊙O是否有可能相切?若不可能相切，则说明理由；若能相切，则指出x为何值时相切。
