2015年春季高考模拟试卷20141202
一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
?i?2?1、计算Im??? ．
?1?2i?12、已知函数f(x)?的定义域为M，函数g(x)?2x的值域为N，则
1?xM∩N? ．
3、已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长是3，点M、N分别是棱AB、AA1的中点，则异面直线MN与BC1所成角的大小等于 ．
4、若抛物线y2?2px的焦点与双曲线x2?y2?2的右焦点重合，则p? ．
开始 5、已知数列{an}是无穷等比数列，其前n项和是Sn，
S?1,i?1 若a2?a3?2, a3?a4?1，则limSn? ．
n??i＜① 是 否 6、圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为2?cm，
半径为2cm，则该圆锥的体积等于 cm3． 7、阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处
应填的自然数为 ． 8、已知函数f(x)?sinx?acos2S?S?2i i?i?1输出S 结束 （第7题图）
x? (a为常数,a?R)，且x?是方程f(x)?0的解．当x??0,?? 22时，函数f(x)值域为 ． 9、若二项式(x?12x)n的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中x6的
系数为 ．（用数字作答）
10、已知a,b为正实数，函数f(x)?ax3?bx?2x在?0,1?上的最大值为4，则f(x)在??1,0?上的最小值为 ．
x?(x?0)?211、设函数f(x)?? ，函数y?f?f(x)??1的零点个数为 个．
(x?0)logx??212、已知O为?ABC的外心，AB?4,AC?2,?BAC为钝角，则AM?AO M是边BC的中点，
的值等于 ．
二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
4，且sin??0，则tan?的值为（ ） 2524242424A．? B. ? C. ? D.
25777114、函数f(x)?x2?1(x??2)的反函数是（ ）
213、已知cos??A．y?2x?2(1?x?3) B. y?2x?2(x?3)
C．y??2x?2(1?x?3) D. y??2x?2(x?3)
11”是“存在n?N?，使得()n?a成立”的充分条件；②“a?0” 22111是“存在n?N?，使得()n?a成立”的必要条件；③“a?”是“不等式()n?a对
22215、下列命题：①“0?a?一切n?N?恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是（ ） A．③ B. ②③ C. ①② D. ①③
2216、如果函数y?x?2的图像与曲线C:x??y?4恰好有两个不同的公共点，则实数?
的取值范围是（ ）
A．[?1,1) B. ??1,0? C. (??,?1][0,1) D. [?1,0]17、直线?
(1,??)
?x?1?2t
的倾斜角等于（ ）
y?1?t?
1 D.arctan2
632??118、已知函数y?2sin(x?)cos(x?)与直线y?相交，若在y轴右侧的交点自左
222A.
? B.
? C.arctan向右依次记为M1，M2，M3，……，则M1M13等于（ ）
A.6? B. 7? C.12? D.13?
19、若??2????2，0????，m?R，如果有?3?sin??m?0，
(?2． ??)3?cos??m?0，则cos(???)值为（ ）
A. ?1 B. 0 C.
1 D.1 220、正方体ABCD?A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，（ ） CC1的距离相等的点的个数为．．
A.2 B.3 C.4 D.5
21、下列命题中正确的是（ ）
A.函数y?sinx与y?arcsinx互为反函数
B.函数y?sinx与y?arcsinx都是增函数 C.函数y?sinx与y?arcsinx都是奇函数 D.函数y?sinx与y?arcsinx都是周期函数
122、数列?an?前n项和为Sn，已知a1?，且对任意正整数m,n，都有am?n?am?an，若Sn?a5恒成立，则实数a的最小值为（ ）
134A. B. C. D.4
443x223、直线x?2与双曲线C:?y2?1的渐近线交于A,B两点，设P为双曲线C上的任
4意一点，若OP?aOA?bOB(a,b?R,O为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）
1A.a2?b2?2 B.a2?b2?
21C.a2?b2?2 D.a2?b2?
224、已知集合M?(x,y)y?f(x)，若对于任意(x1,y1)?M，存在(x2,y2)?M，使得
??x1x2?y1y2?0成立，则称集合M是“?集合”. 给出下列4个集合：
① M??(x,y)y???1?x? ② M?(x,y)y?e?2 x???③ M?(x,y)y?cosx ④ M?(x,y)y?lnx 其中所有“?集合”的序号是（ ） A.②③ B.③④ C.①②④ D.①③④．
????三、解答题 25、（本题满分7分）
2x05x?23，三阶行列式D?0b元素b?b?R?的代数余子式为H?x?，P??xH?x??0?，
13x函数f?x??log2ax2?2x?2的定义域为Q,若P?Q??,求实数a的取值范围.
26、（本题满分7分）
如图，PA?平面ABCD，矩形ABCD的边长AB?1，BC?2，E为BC的中点． 若PA?2，求异面直线AE与PD所成的角的大小．
??PADECB27、（本题满分10分）
在?ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，，向量m?(2sinB,2cosB)，
n?(3cosB,?cosB)，且m?n?1．
（1）求角B；
（2）若b?2，求?ABC的面积的最大值． 28、（本题满分12分）
已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn?（1）求a1，a3；
（2）求证：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式； （3）设lgbn?an?1，试问是否存在正整数p，q(其中1 29、（本题满分12分） x2y227?1(a?0)，其焦点在x轴上，点Q(已知椭圆C的方程为2?,)为椭圆上一点． a222（1）求该椭圆的标准方程； （2）设动点P(x0,y0)满足OP?OM?2ON，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON 122的斜率之积为?，求证：x0为定值； ?2y02（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点A,B，使得PA?PB为定值？ 若存在，给出证明；若不存在，请说明理由． 附加题 30、（本题满分8分） 已知抛物线C：y?2px(p?0)，直线交此抛物线于不同的两个点A(x1,2y1)、 B(x2,y2)． 0)时，证明y1?y2为定值； 0)，过点M再作一条与直线垂直的直线l?交抛物线C于两个 （1）当直线过点M(p,（2）如果直线过点M(p,不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由． 31、（本题满分8分） 已知复数zn?an?bn?i，其中an?R，bn?R，n?N?，是虚数单位，且 zn?1?2zn?zn?2i，z1?1?i． （1）求数列?an?，?bn?的通项公式； （2）求和：①a1a2?a2a3???anan?1；②b1b2?b2b3?b3b4?b4b5???(?1)n?1bnbn?1． 32、（本题满分14分） 定义域为D的函数f(x)，如果对于区间I内(I?D)的任意两个数x1、x2都有 f(x1?x21)?[f(x1)?f(x2)]成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”． 22（1）判断函数f(x)?lgx在R?上是否是“凸函数”，并证明你的结论； （2）如果函数f(x)?x2?（3）对于区间[c,a在[1,2]上是“凸函数”，求实数a的取值范围； xd]上的“凸函数”f(x)，在[c,d]上任取x1，x2，x3，……，xn． x1?x2?n?xn1)?[f(x1)?f(x2)?n① 证明：当n?2k（k?N?）时，f( ?f(xn)]成立； ② 请再选一个与①不同的且大于1的整数n， 证明：f( x1?x2?n?xn1)?[f(x1)?f(x2)?n ?f(xn)]也成立． 2015年春季高考模拟试卷20141202参考答案 1、1； 2、（0,1）；3、10、??3；4、4；5、 16?；6、；7、5；8、??2,2?1?；9、9； ??333；11、2个；12、5；13-16CDBA 17-20CABC 21-24CABA 22x5x?2?1?25、解： H?x???=2x2?5x?2，P??x?x?2? 1x?2?若P?1?使不等式ax2?2x?2?0成立，即在Q??,则说明在?,2?上至少存在一个x值， ?2?2222?1?x上至少存在一个值，使成立，令a??u??2,则只需a?umin即可. 又,22??xxxx?2?222?11?1u??2??2????. xx?x2?21?1?1???1?当x??,2?时，??,2?,u???4,?,umin??4从而umin??4 x?2?2??2??由⑴知， umin??4, ?a??4. 26、解：（1）连AE，由AB?BE?1，得AE?2，同理DE?2，?AE2?DE2?4?AD2，由勾股定理逆定理得?AED?90?，?DE?AE． 由PA?平面ABCD，得PA?DE.由DE?AE，PA?DEPA?AE?A，得DE?平 ?PE?DE．?面PAE． 取PA的中点M，AD的中点N，连MC、NC、MN、AC． NC//AE，MN//PD ，??MNC的大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的 大小．由PA?2，AB?1，BC?2，得NC?MN?2，MC?6， 2???cos?MNC?2?2?6??1，?MNC??异面直线PD与AE所成的角的大小为．． 2?2?223327、解：（1）?m?n?1，?2sinB?3cosB?2cosB?1，3sin2B?cos2B?2， 211????，?2B??，?B? 6666623?（2）?b?2，b2?a2?c2?2ac?cosB，?4?a2?c2?2ac?cos，即4?a2?c2?ac 3sin(2B??)?1，又0?B??，????2B????4?a2?c2?ac?2ac?ac?ac，即ac?4，当且仅当a?c?2时等号成立． S??13ac?sinB?ac?3，当a?b?c?2时，(S?ABC)max?3． 241(a1?a1)=0． a3=2； 2n(an?a1)na(n?1)an?1（2）由Sn?，即Sn?n，①得 Sn?1?． ② 222②－①，得 (n?1)an?1?nan．③ 于是，nan?2?(n?1)an?1．④ ③+④，得nan?2?nan?2nan?1，即an?2?an?2an?1． 又a1=0，a2=1，a2－a1=1， 所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，an=n－1． (3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列， 2pq则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列， 于是，p?1?q． 3332p所以，q?3q(p?1)(☆)．易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解． 332(p?1)2p2?4p当p≥3，且p∈N*时，?p?p?1<0， 3p?1332p2p3?1<0，所以此时方程(☆故数列{p}(p≥3)为递减数列 于是p?1≤2?)无正整数解． 333333综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列． 28、解：(1)令n=1，则a1=S1=29、（1）因为点Q(2717,)为椭圆上一点，所以2??1， 2282ax2y2得a?4 ，椭圆方程为??1 422（2）设M(x1,y1),N(x2,y2), 又kOM?kON?2222y1y21???，化简得x1x2?2y1y2?0 2分 x1x22xyxy 则1?1?1，2?2?1， 4242?x0?x1?2x2 OP?OM?2ON,?? y?y?2y12?0 所以x0?2y0?(x1?2x2)?2(y1?2y2) ?(x1?2y1)?4(x2?2y2)?4x1x2?8y1y2?20?4(x1x2?2y1y2)?20（定值） （3）因为动点P（x0，y0）满足x0?2y02222222222xy?20，即0?0?1， 201022所以点P的轨迹为焦点?10,0的椭圆. 存在点A(10,0)、B（?10,0），使得|PA|?|PB|=45（定值） ?? 30、解：（1）过点M(p,0)与抛物线有两个交点，设l:x?my?p，由??x?my?p?y?2px2得 y2?2pmy?2p2?0，?y1?y2??2p2． （2）依题意直线的斜率存在且不为零，由（1）得点P的纵坐标为yP?代入l:x?my?p得xP?pm?p，即P(pm?p,由于l?与互相垂直，将点P中的m用?221(y1?y2)?pm，2pm)． 1pp代，得Q(2?p,?)． mmm设N(x,1p?2x?(?p?pm?p)2?p?2m消m得y2?(x?2p) y)，则?2?y?1(pm?p)?2m?15p17p，点(,0)，点N到它们的距离相等． 88由抛物线的定义知存在直线x? 31、解：（1）?z1?a1?b1?i?1?i，?a1?1，b1?1． 由zn?1?2zn?zn?2i得an?1?bn?1?i?2(an?bn?i)?(an?bn?i)?2i?3an?(bn?2)?i， ?a?3an??n?1 ?bn?1?bn?2?数列?an?是以1为首项公比为3的等比数列，数列?bn?是以1为首项公差为2的等差数 列，?an?3n?1，bn?2n?1． （2）①由（1）知an?3n?1，?比数列．?a1a2?a2a3?akak?1?32,?数列?anan?1?是以为首项，公比为32的等 ak?1ak3(1?32n)32n?13?anan?1???． 1?988②当n?2k，k?N?时， b1b2?b2b3?b3b4?b4b5???4b2?4b4??(?1)n?1bnbn?1?(b1b2?b2b3)?(b3b4?b4b5)??b2k)??4??(b2k?1b2k?b2kb2k?1)?4b2k??4(b2?b4?k(b2?b2k)??8k2?4k??2n2?2n 2当n?2k?1，k?N?时，b1b2?b2b3?b3b4?b4b5???(?1)n?1bnbn?1 ?(b1b2?b2b3)?(b3b4?b4b5)???(b2k?1b2k?b2kb2k?1)?b2k?1b2k?2??8k?4k?(4k?1)(4k?3)?2n?2n?122 又n?1也满足上式 ?b1b2?b2b3?b3b4?b4b5???(?1)n?1bnbn?12??2n?2n?1当n为奇数时 ??2???2n?2n当n为偶数时32、解：（1）设x1，x2是R?上的任意两个数，则 f(x1)?f(x2)?2f(x1?x2x?x24x1x2)?lgx1?lgx2?2lg1?lg?lg1?0 222(x1?x2)?f(x1?x21)?[f(x1)?f(x2)]．?函数f(x)?lgx在R?上是 “凸函数”． 22（2）对于[1,2]上的任意两个数x1，x2，均有f(x1?x21)?[f(x1)?f(x2)]成立，即22(x1?x22a1aa2)??[(x12?)?(x2?)]，整理得 x1?x222x1x221(x1?x2)2a??(x1?x2)2x1x2(x1?x2) 2若x1?x2，a可以取任意值． 若x1?x2，得a??11x1x2(x1?x2)，??8??x1x2(x1?x2)??1，?a??8． 22综上所述得a??8． （3）①当k?1时由已知得f(?x1?x21)?[f(x1)?f(x2)]成立． 22假设当k?m(m?N)时，不等式成立即 f(x1?x2???x2k2m?1)?1[f(x1)?f(x2)???f(x2m)]成立． m2那么，由c?x1?x2???x2m2m?d，c?x2m?1?x2m?2???x2m?2m2m?d 得f(x1?x2???x2m?12m?11x1?x2???x2mx2m?1?x2m?2???x2m?2m)?f{[?]} mm222x1?x2???x2mx2m?1?x2m?2???x2m?2m1?[f()?f()] 22m2m111?{m[f(x1)?f(x2)???f(x2m)]?m[f(x2m?1)?f(x2m?2)???f(x2m?1)]} 2221?m?1[f(x1)?f(x2)???f(x2m?1)]． 2即k?m?1时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证． ②比如证明n?3不等式成立．由①知c?x1?d，c?x2?d，c?x3?d，c?x4?d， 有f(x1?x2?x3?x41)?[f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)]成立． 4413?c?x1?d，c?x2?d，c?x3?d，c?(x1?x2?x3)?d， x1?x2?x3?x1?x2?x3x1?x2?x31x?x?x3)?f()?[f(123)?f(x1)?f(x2)?f(x4)]， ?f(4334从而得f(x1?x2?x31)?[f(x1)?f(x2)?f(x3)]． 33
