来宾市 高中毕业班总复习教学质量调研试卷
理科数学
注意：1．答题前，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号或座位号填写清楚．
2．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑． 3．试卷满分150分,考试时间120分钟,答题一律在答卷上作答，在试卷上作答无效． ．．．．．．．．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题在给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．） 1．设集合M??1,3,5,7,?,2n?1,??(n?N?)，若a?M,b?M,c?a?b，则下列表达正确
的是 A．c?M
D．c?M
B．c?M
C．c?M
2．已知sin??2cos??0，则cos2??
A．?43 B．? 55
C．?3 4 D．
2 33．设复数x?A．1?i D．?1?i
2i ，（是虚数单位），则x的共轭复数为 1?iB．1?i
1?i C．－
4．用数学归纳法证明(n?1)2?3n(n?N且n?2)，第一步验证原不等式成立时，n?
A．1
B．2
C．3
D．4
5．设m,n是空间两条直线，?是空间一个平面．当m??时，“n//?”是“n//m”的
A．充要条件 C．必要不充分条件
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知实数列1,a,b,c,2 构成等比数列，则abc等于
A．4
B．?4 D．?22
C
．
22
7．已知正弦函数y?sinx的图象关于点(?,0)对称,则cos??
A．?1或
B．
C．?1
D．0
8．若直线2ax?by?1?0(a,b?R?)平分圆x2?y2?2x?4y?6?0，则
21?的最ab1
小值是 A．
B．10 D．6?42
C
．
3?22?x?3y?4?0?9．已知约束条件?x?2y?1?0,若目标函数z??ax?y(a?0)仅在点(2,2)处取得最大
?3x?y?8?0?值，则a的取值范围为 A．0?a?
1 3B. a?1 31 2C.
a?13D．0?a?10．设编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯与编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯盖，将这六
个杯盖盖在茶杯上，恰好有2 个杯盖与茶杯编号相同的盖法有 A．24种 种
B．135种
C．9种
D．360
x2y211．已知双曲线C1:??1的左准线为，左、右焦点分别为F1、F2．抛物线C2的
169准线也是，焦点是F2.若C1、C2的一个交点为P，则PF2的值等于
A．40
B．32
C．8
D．4
12．已知定义在R上的函数f(x)，对任意的x?R，都有f(x?6)?f(x)?f(3)成立，
)? 若函数y?f(x?1)的图象关于直线x??1对称，则f(2013A．0
二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数f(x)?log2(2x?1)的反函数是 ．
14．与棱长为1的正方体的一条棱平行的截面中，面积最大的截面面积为 ． 15．设f(x)?1?(1?x)?(1?x)2???(1?x)n(x?0,n?N?)的展开式中x项的系数为
B．2013
C．
D．?2013
Tn，则linTnn2n??? ．
16．关于x的不等式x?1?x?a?2在R上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
2
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题10分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b?13,a?c?4，求△ABC的面积.
18．（本题12分）
甲乙两人各有一个放有3个红球，2个黄球，1个白球的箱子，两个人各自从自己的箱子中任
取一球，规定：当两球同色时甲胜，异色时乙胜. （Ⅰ）求甲取胜的概率；
（Ⅱ）若又规定：甲取红、黄、白球而胜的得分分别为1、2、3分，否则得0分，求甲得分
的期望.
19．（本题12分）
如图所示，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且AD?点C为
圆O上一点，且BC?cosBb??. cosC2a?c1DB.3P 3AC．点P在圆O所在平面上的射影为点D，PD?BD． （Ⅰ）求证：CD?平面PAB； 3 A C D O B （Ⅱ）求PD与平面PBC所成的角的正弦值. 20．（本题12分）
设数列?an?满足递推式an?3an?1?3n?1(n?2)，其中a3?95. （Ⅰ）求a1,a2；
（Ⅱ）是否存在一个实数?,使得?列?an?的
前n项和；如果不存在，试说明理由．
21．（本题12分）
已知椭圆
?an????为等差数列,如果存在,求出?的值，并求数n?3?x2a2?y2b2?1(a?b?0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成
等差数列．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）若直线与x轴正半轴、y轴分别交于点Q,P，与椭圆分别交于点M,N，各点均不
重合，且满足PM??1MQ，PN??2NQ． 当?1??2??3时，试证明直线过定点．
22．(本题12分）
4
已知函数f(x)?px?p2e?2lnx，g(x)?.
xx（Ⅰ）若p?2，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）若p2?p?0，且至少存在一点x0??1,e?，使得f(x0)?g(x0)成立，求实数p
的取值范围．
5
来宾市 高中毕业班总复习教学质量调研 理科数学参考答案及评分标准
一、选择题： DB D B D C A D A B B A 二、填空题：13. f三、解答题: 17
．
解
：（
Ⅰ
）
由
正
弦
定
理
?1(x)?1x1(2?1) 14．2 15. 16. a?3或a??1 22abc???2RsinAsinBsinC得
a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC.…2分
将上式代入已知
cosBb??, cosC2a?c
得.
cosBsinB?,即2sinAcosB?sinCcosB?cosCsinB?0 cosC2sinA?sinC
就
是
2A?B? B ? ……………４分
∵A?B?C??，∴sin(B?C)?sinA,?2sinAcosB?sinA?0.
∵sinA?0,?cosB??1,∵B是三角形的内角，所以2B?2?. ……………6分 3Ⅱ
）
将
（
b?13a?,c?2?4B,?代3入余弦定理得
1b2?(a?c)2?2ac?2accosB,?13?16?2ac(1?),?ac?3.
2
……………8分
∴S?ABC?10分
13acsinB?3.. ……………2418．解：（Ⅰ）设甲取红、黄、白球的事件分别为A,B,C．乙取红、黄、白球的事件分别为
A?,B?,C?，则
事件A、A?,B、B?,C、C?相互独立，而事件A?A?,B?B?,C?C?两两互斥 ………2分
6
由题意知
P(A)?P(A?)?12，
P(B)?P(B?)?13，
P(C)?P(C?)?1. ………4分 6则甲取胜的概率 ：P(A?A??B?B??C?C?)?P(A?A?)?P(B?B?)?P(C?C?)
?P(A)P(A?)?P(B)P(B?)?P(C)P(C?)?………6分
（Ⅱ）设甲得分数为?，则?的取值为0,1,2,3 由
……8分
题
意
1117??? ……493618
知
P(??分
141?P?19)? ? P……10
1,3?E??0?
111115? +1×+2×+3×
1849369
………12分
19．（Ⅰ）证明：连接CO，由3AD?DB知，点D为AO的中点， 又∵AB为圆O的直径，∴AC?CB，
由3AC?BC知，?CAB?60，
?ACO∴为等边三角形
CD?AO． -----------------3分
∵点P在圆O所在平面上的射影为点D， ∴PD?平面ABC，又CD?平面ABC，
PD?CD∴
-----------------5分
CD?PDAO?D由得，
PAB． -----------------6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知CD?3，PD?DB?3，
，从而
，
平
面
（注：证明CD?平面PAB时，也可以由平面PAB?平面ACB得到，酌情给分．）
过点D作DE?CB，垂足为E，连接PE，再过点D作DF?PE，垂足为F．-----------------8分
∵PD?平面ABC，又CB?平面ABC， ∴PD?CB，又PDDE?D， ∴CB?平面PDE，又DF?平面PDE， ∴CB?DF，又CBPE?E，
7
∴DF?--------10分
平面
PBC，故?DP为所求的线面角
在Rt?DEB中，DE?DB?sin30?335，PE?PD2?DE2?， 22
sin?DPF?sin?DPE?DE5?PE5------------------------------------------------------12分
20．解：（Ⅰ）由an?3an?1?3n?1(n?2)及a3?95知：a3?3a2?33?1?95
求
得
a2?23，同理得
a1?5 ……………3分
（Ⅱ）若?
an???an???为等差数列，则设＝xn?y，即an?(xn?y)?3n?? ?nn3?3?由a1?5，a2?23，a3?95得
?3(x?y)???5??9(2x?y)???23?27(3x?y)???95?，求得
1?????2??x?1?y?1?2?，此时
1?1?an??n???3n? ……………6分
2?2?而an??n?列；……7分
??11?n1?a?????3?满足递推式，即存在???，使得?nn?为等差数
22?2?3?1?11????an??n???3n?，先求an??n???3n的前n项和．
2?2?2??记
1111Tn?(1?)?3?(2?)?32?(3?)?33???(n?)?3n ……………8
2222分
３
11111Tn?(1?)?32?(2?)?33?(3?)?34???(n?1?)?3n?(n?)?3n?1………9分
2222211?－２Tn?(1?)?3?32?33???3n－(n?)?3n?1
22
8
＝
33(1?3n)?21?3－
1(n?)?3n?12＝
n?13n?1n?!3?n?3? ……………10分 223nTn?n?
2数列
?an?nn的前n项和为Tn???223nn?2＝
n（１＋23n?1） ……………12分
(其它方法仿此赋分)
21
．
解
：（
Ⅰ
）
设
椭
圆
x2y2??1(a?b?0)a2b2的焦距为
2c …………1分
由题意知b?1，且(2a)2?(2b)2?2(2c)2.又a2?b2?c2,?a2?3, 所
以
椭
圆
方
程
为
x2?y2?1. …………4分 3（Ⅱ）由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),的方程为x?t(y?m),
…………5分 由
PM??1MQ知
(x1,y1?m)??1(x0?x1,?y1),?y1?m??y1?1,同理由PN??2NQ知?2??1?0,??1?m?1.…6分 y1m?1. y2∵?1??2??3，∴y1y2?m(y1?y2)?0 （1） …………7分
?x2?3y2?3联立?得(t2?3)y2?2mt2y?t2m2?3?0， …………8
?x?t(y?m)分
只需??4m2t4?4(t2?3)(t2m2?3)?0 （2）
2mt2t2m2?3且有y1?y2?2 （3） …………9,y1y2?2t?3t?3分
9
把（3）代入（1）得t2m2?3?m?2mt2?0,?(mt)2?1且满足（2）， …………10分
依题意，mt?0，故mt??1
从而的方程x?ty?1为，即直线过定点（1，0） …………12分 22．（Ⅰ）当P?2时，函数f(x)?2x?2?2lnx， xf(1)?2?2?2lm1?0,f?(x)?2?22?. ………2分 x2x曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f?(1)?2.
从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?2(x?1)，即y?2x?2. ……4分
（Ⅱ）当x??1,e?时，g(x)?分
2e为减函数，故g(x)min?2 …………5xp2px2?2x?pf?(x)?p?2??.
xxx2令h(x)?px?2x?p. ??4?4p2?4(1?p)(1?p)
2由
p2?p?0得
p?0或
p?1 …………6分
① 当p?0时，h(x)?px2?2x?p.其图象为开口向下的抛物线，对称轴为x?1在py轴的左侧，且h(0)?0，所以h(x)?0， f(x)在?1,e?上是减函数.
② 当p?0时，h(x)??2x，因为x??1,e?， f?(x)??是减函数，
故当p?0时，f(x)在?1,e?上是单调递减
2?0，此时f(x)在?1,e?上xf(x)max?f(1)?0?2③ 当p?1时，??0 ∴h(x)?0，即f?(x)?0
，不合题
意. …………8分
∴f(x)在(0,??)上是增函数，即f(x)在?1,e?上也是增函数
10
从而f(x)max?f(e)?p(e?)?2lne?p(e?)?2, …………10分
依题意p(e?)?2?2, 解得p?易知，
1e1e1e4e, e2?14e?1 e2?1所以实数p的取值范围是??4e?,???. …………12分 2e?1??
11
从而f(x)max?f(e)?p(e?)?2lne?p(e?)?2, …………10分
依题意p(e?)?2?2, 解得p?易知，
1e1e1e4e, e2?14e?1 e2?1所以实数p的取值范围是??4e?,???. …………12分 2e?1??
11
