2017年广东省清远市清新区凤霞中学高三理科一模数学试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
??+3
1. 已知集合 ??= ?? ???3≤0 ，??= ?? ???1≥0 ，则 ??∩?? 为 ??
A. 1,3 2. 已知复数 ??=
A. 第一象限
11+i
B. 1,3 C. ?3,∞ D. ?3,3
+i，则 ?? 在复平面内对应的点在 ??
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 已知函数 ?? ?? 的定义域为 ??，?? 为常数．若 ??：对 ???∈??，都有 ?? ?? ≥??；??：?? 是函数 ?? ?? 的最小值，则 ?? 是 ?? 的 ?? A. 充分不必要条件 C. 充要条件 A. ??1??8>??4??5
2
4
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
B. ??1??8
π
4. 如果 ??1，??2，?，??8 为各项都大于零的等差数列，公差 ??≠0，则 ??
C. ??1+??8>??4+??5
π
D. ??1??8=??4??5
5. 已知 cos ??+3π =5，?2
A. ?
4 35
B. ?
3 35
C.
3 35
D.
4 35
6. 已知集合 ??= 5 ，??= 1,2 ，??= 1,3,4 ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为 ?? A. 6
B. 32
C. 33
D. 34
7. 设 ?? ?? =??3+log2 ??+ ??2+1 ，则对任意实数 ??，??，若 ??+??≥0 则 ??
A. ?? ?? +?? ?? ≤0 C. ?? ?? ??? ?? ≤0
????
B. ?? ?? +?? ?? ≥0 D. ???? ??? ?? ≥0
3456
若根据表中数据得出 ?? 关于 ?? 的线性回归方程为
2.534??
C. 3.5
1
8. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量 ??（吨）与相应的生产能耗 ??（吨）的几组对应数据如表所示：
?? =0.7??+0.35，则表中 ?? 的值为 ??
A. 3
π
B. 3.15 D. 4.5
9. 将函数 ??=2sin 2??+ 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为 ?? ?? ，则函数
64
?? ?? 的单调递增区间 ??
A. ??π?12,??π+12 ??∈?? C. ??π?
5π24π
5π
B. ??π+12,??π+D. ??π+
7π24
5π11π1219π24
??∈?? ??∈??
,??π+
7π24
??∈?? ,??π+
10. 已知 ??∈ 0,1,2 ，??∈ ?1,1,3,5 ，则函数 ?? ?? =????2?2???? 在区间 1,+∞ 上为增函数的概率
是 ?? A. 12
5
B. 3 1
C. 4 1
D. 6
1
第1页（共8页）
11. 若正整数 ?? 除以正整数 ?? 后的余数为 ??，则记为 ??=?? ?????? ?? ，例如 10=2 ?????? 4 ．如图
程序框图的算法源于我国古代闻名中外的 《 中国剩余定理 》．执行该程序框图，则输出的 ?? 等于 ??
A. 20
B. 21
C. 17
D. 23
12. 设函数 ?? ?? =e?? 3???1 ?????+??，其中 ??<1，若有且只有一个整数 ??0 使得 ?? ??0 ≤0，则 ??
的取值范围是 ?? A. ,
e4
23
B. ,
e4
23
C. ,1
e
2
D. ,1
e
2
二、填空题（共4小题；共20分）
=2 =3???? ，则 ，???? = ______． 13. 在边长为 1 的正三角形 ?????? 中，设 ????????????? ??????+???7≤0,
则 ??=2????? 的最小值为______． 14. 设实数 ??，?? 满足 ???3??+1≤0,
3??????5≥0,
15. 已知一个多面体的三视图如图示：其中正视图与侧视图都是边长为 1 的等腰直角三角形，俯视
图是边长为 1 的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．
16. 设 ??? ?? 是函数 ?? ?? 的导数，??? ?? 是函数 ??? ?? 的导数，若方程 ??? ?? =0 有实数解 ??0，则称
点 ??0,?? ??0 为函数 ?? ?? 的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数 ?? ?? =????3+????2+????+?? ??≠0 都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数 ?? ?? =??3?3??2+4??+2，利用上述探究结果：
计算：?? 10 +?? 10 +?? 10 +?+?? 10 = ______．
1
2
3
19
第2页（共8页）
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 在 △?????? 中，设边 ??，??，?? 所对的角为 ??，??，??，且 ??，??，?? 都不是直角， ?????8 cos??+
????cos??=??2???2．
（1）若 ??+??=5，求 ??，?? 的值；
（2）若 ??= 5，求 △?????? 面积的最大值．
18. 为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该
校随机调查了该校 80 位性别不同的2016年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：
与教育有关与教育无关合计男女合计
303565
10515
404080
参考公式：??=
2
?? ????????? 2
?? ??+?? ??+?? ??+?? ??+??
=??+??+??+?? ．
?? ??2≥??0 0.500.400.250.150.100.050.0250.010
附表：
??00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0236.635
（1）能否在犯错误的概率不超过 5% 的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性
别有关”?
（2）求这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；
（3）以（2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的 2000 名师范类大学生中随机选取 4 名，记
这 4 名毕业生从事与教育有关的人数为 ??，求 ?? 的数学期望 ?? ?? ．
19. 正三棱柱 ?????????1??1??1 底边长为 2，??，?? 分别为 ????1，???? 的中点．
（1）已知 ?? 为线段 ??1??1 上的点，且 ??1??1=4??1??，求证：????∥面??1????； （2）若二面角 ?????1????? 所成角的余弦值为
??2
??2
2 77
，求 ????1 的值．
3，且过点 2, 3 ，直线 ??1:??2
20. 已知椭圆 ??1:??2+??2=1 ??>??>0 的离心率 ??=
（1）求椭圆 ??1 的方程；
=????+
?? ??>0 与圆 ??2: ???1 2+??2=1 相切且与椭圆 ??1 交于 ??，?? 两点．
（2）过原点 ?? 作 ??1 的平行线 ??2 交椭圆于 ??，?? 两点，设 ???? =?? ???? ，求 ?? 的最小值．
第3页（共8页）
21. 已知函数发 ?? ?? = ??+1 ln???????+2．
（1）当 ??=1 时，求在 ??=1 处的切线方程；
（2）若函数 ?? ?? 在定义域上具有单调性，求实数 ?? 的取值范围；
（3）求证：3+5+7+?+2??+1<2ln ??+1 ，??∈???．
22. 以平面直角坐标系的原点为极点，以 ?? 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线 ?? 的参数方程
??=2cos??,π为 （?? 是参数），直线 ?? 的极坐标方程为 ??cos ??+6 =2 3．
??= 3sin??
（1）求直线 ?? 的直角坐标方程和曲线 ?? 的普通方程；
（2）设点 ?? 为曲线 ?? 上任意一点，求点 ?? 到直线 ?? 的距离的最大值． 23. 已知函数 ?? ?? = ??+?? + ???2 ．
（1）当 ??=?3 时，求不等式 ?? ?? ≥3 的解集；
（2）若 ?? ?? ≤ ???4 的解集包含 1,2 ，求 ?? 的取值范围．
1
1
1
1
1
第4页（共8页）
答案
第一部分
1. B 2. A 3. B 6. C 7. B 8. D 11. C 12. C 第二部分 13. ?4 14. 2 15. 3π 16. 76 第三部分 17. （1） ?????8
??2+??2???2
2????
1
4. B 9. A 5. A 10. A
+?????
??2+??2???2
2????
=??2???2
??2+??2???2??2+??2???2??2+??2???2
?8?+=??2???2
22????2??2+??2???2?8?
??2+??2???2
2????
=0，
因为 △?????? 不是直角三角形，所以 ?????4=0 ??=1,??=4, 故 ????=4，又因为 ??+??=5，解得 或
??=4??=1.
（2） 因为 ??= 5，由余弦定理可得
5=??2+??2?2????cos??≥2?????2????cos??=8?8cos??，所以 cos??≥8， 所以 sin??≤
55，所以 ??△??????8
3
=????sin??≤
2
55，当 cos??4
1
55． 4
所以 △?????? 面积的最大值是 18. （1） 由题意得 ??2=
=8 时取到．
8039
3
80× 30×5?35×10 2
40×40×65×15
=<3.841．
65
13
故不能在犯错误的概率不超过 5% 的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”． （2） 由图表知这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率 ??=80=16． （3） 由题意知 ?? 服从 ?? 4, ，则 ????=????=4×=
161619. （1） 取 ??1??1 中点为 ??，连接 ????， 则 ????∥??1??，又 ??1??1=4??1??， 则 ????∥????，所以 ????∥??1??， 因为 ?????面??1????，??1???面??1????， 故 ????∥面??1????．
（2） 如图，以 ?? 为坐标原点建立空间直角坐标系， ????1=??．
则 ?? 0,0,0 ，??1 ?1,0,?? ，?? 1,0,2 ，?? 0, 3,0 ，
??13
13
134
．
第5页（共8页）
??
= ?1, 3,??? ，???? = 0, 3,0 ， ??????1??= 2,0,? ，??1??= 1, 3,??? ，
2
2
设平面 ??1???? 法向量为 ?? = ??,??,?? ， 设平面 ??1???? 的法向量为 ?? = ??,??,?? ． ??????? =??+ 3???????=0,则 1
??????? = 3??=0,取 ??=1，得 ?? = ??,0,1 ，
?? =??+ 3???????=0,1?????
??
??1????? =2?????=0,
2取 ??=??，得 ?? = ??, 3??,4 ； 设二面角 ?????1????? 的平面角为 ??， 因为二面角 ?????1????? 所成角的余弦值为 所以 cos??=cos??? ,?? ?=整理，得 ??2=，
34
??2+4 ??2+1? 4??2+162 77
，
=
2 77
，
所以 ??=
2 33
，
2 77
故当二面角 ?????1????? 所成角的余弦值为 ??=??=2,
20. （1） 由题意得 43
=1,2+
??
4??
3 时，????1 的值为
2 33
．
解得 ??=4，??=2， 故 ??1:16+所以 ??=
??2
??24
=1．
（2） 因为直线 ??1:??=????+?? 与圆 ???1 2+??2=1 相切，
??+?? 1+??2=1，
1???22??
所以 ??2+2????+??2=1+??2，即 ??=??=????+??,
联立 ??2??2
+4=1,16
．
化简得 1+4??2 ??2+8??????+4 ??2?4 =0，??>0 恒成立， 设 ?? ??1,??1 ，?? ??2,??2 ，
??1+??2=?,4 16??2???2+41+4??2 则 得 ?????=， 124 ??2?4 1+4??2??1??2=1+4??2, 所以 ???? = 1+??2?把 ??2:??=???? 代入 ??1:
4 16??2???2+41+4??2
8????
，
161+4??2??216
+
8??24
=1，得 ??2=，
，
所以 ???? = 1+??2?所以
1+4??2第6页（共8页）
??
???? = ???? 16??2???2+4=
2 1+4??21??2 =4?21+4??21
= 4?2??2
1+4
1???222??
1??4 =4?42?????2+11
= 4?2当 ??= 2，??=?
1
2 6，?? 取最小值 ． 43
1 ??2?2 +4
1
123
≥
6.321. （1） 当 ??=1 时，?? ?? = ??+1 ln?????+2 ??>0 ， ??? ?? =ln??+??，??? 1 =1，?? 1 =1， 所以求在 ??=1 处的切线方程为：??=??． （2） ??? ?? =ln??+??+1??? ??>0 ． （i）函数 ?? ?? 在定义域上单调递减时， 即 ??≥ln??+
??+1??
1
时，令 ?? ?? =ln??+
??+1??
，
??+1??
当 ??>e?? 时，??? ?? >0，不成立；
（ii）函数 ?? ?? 在定义域上单调递增时，??≤ln??+令 ?? ?? =ln??+则 ??? ?? =
???1??2??+1??
；
，
，??>0；
则函数 ?? ?? 在 0,1 上单调递减，在 1,+∞ 上单调递增； 所以 ?? ?? ≥2，故 ??≤2．
（3） 由（ii）得当 ??=2 时 ?? ?? 在 1,+∞ 上单调递增， 由 ?? ?? >?? 1 ，??>1 得 ??+1 ln???2??+2>0， 即 ln??>令 ??=
2 ??+1 ??+1
在 1,+∞ 上总成立，
??+1??
??+1??
得 ln>
2
??+1
?1 ????+1+1??， ，
化简得：ln ??+1 ?ln??>所以 ln2?ln1>2+1， ln3?ln2>5+1，?， ln ??+1 ?ln??>2??+1，
2
2
2
22??+1
第7页（共8页）
累加得 ln ??+1 ?ln1>++?+
3
5
2222??+1
，即 +++?+
3
5
7
π
11112??+1 3 2 1 1 22. （1） 因为直线 ?? 的极坐标方程为 ??cos ??+6 =2 3，即 ?? 2cos???2sin?? =2 3， 即 3??????4 3=0． ??=2cos??,曲线 ?? 的参数方程为 （?? 是参数），利用同角三角函数的基本关系消去 ??， ??= 3sin??可得 4+ ??2 ??23 =1． （2） 设点 ?? 2cos??, 3sin?? 为曲线 ?? 上任意一点， 则点 ?? 到直线 ?? 的距离 ?? = 2 3cos??? 3sin???4 3 3+12 5 5 15?cos???sin?? ?4 3 55 = 2 15cos ??+?? ?4 3 =, 2其中，cos??= 2 55 ，sin??= 5，即 tan??5 =， 2 15+4 3． 2 1 故当 cos ??+?? =?1 时，?? 取得最大值为 ?2??+5,??≤2, 当 ??≤2 时，由 ?? ?? ≥3 得 23. （1） 当 ??=?3 时，原函数可化为 ?? ?? = 1,2 2???5,??≥3,?2??+5≥3，解得 ??≤1； 当 2 当 ??≥3 时，由 ?? ?? ≥3 得 2???5≥3，解得 ??≥4． 所以 ?? ?? ≥3 的解集为 ?? ??≤1 或 ??≥4 ． （2） 由题意可知 ?? ?? ≤ ???4 ，所以 ???4 ? ???2 ≥ ??+?? ,因此，?? ?? ≤ ???4 的解集包含 1,2 等价于， 当 ??∈ 1,2 时， ??+?? ≤ ???4 ? ???2 恒成立． 经过求解可得 ?2???≤??≤2???， 由条件得 ?2???≤1 且 2???≥2， 即 ?3≤??≤0， 故满足条件的 ?? 的取值范围为 ?3,0 ． 第8页（共8页）
