第二节导数的应用
题型33 利用导数研究函数的单调性
1.（2013江苏20）设函数f(x)?lnx?ax，g(x)?ex?ax，其中a为实数.
（1）若f(x)在(1,??)上是单调减函数，且g(x)在(1,??)上有最小值，求a的取值范围； （2）若g(x)在(?1,??)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论. 2.（2015湖南理5）设函数A.奇函数，且在
f?x??ln?1?x??ln?1?x?，则f?x?是（）.
?0,1?上是增函数 B. 奇函数，且在?0,1?上是减函数 ?0,1?上是增函数 D. 偶函数，且在?0,1?上是减函数
C. 偶函数，且在
2. 解析由已知f?x?的定义域为??1,1?，关于原点对称.
又因为f(?x)?ln(1?x)?ln(1?x)??f(x)，所以f(x)为奇函数. 求导f'?x??函数.故选A.
评注单调性也可以利用复合函数“同增异减”处理.
3.（2015全国2理12）设函数f'?x?是奇函数f?x?的导函数，f??1??0，当x?0时，． xf'?x??f?x??0，则使得f?x??0成立的x的取值范围是（）A. ???,?1???0,1? B. ??1,0???1,??? C. ???,?1????1,0? D. ?0,1???1,??? 3. 解析题意，设函数g(x)?112??，当x??0,1?时，f'?x??0，即f(x)在?0,1?上为增21?x1?x1?xf(x)xf?(x)?f(x)，则g?(x)?，因为当x?0时， xx2xf?(x)?f(x)?0，故当x?0时，g?(x)?0，所以g(x)在(0,??)单调递减；
又因为函数f(x)(x?R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数， 所以g(x)在(??,0)上单调递增，且有g(?1)?g(1)?0． 当0?x?1时，g(x)?0，则f(x)?0；
当x??1时，g(x)?0，则f(x)?0.
综上所述，使得f(x)?0成立的x的取值范围是(??,?1)?(0,1).故选A．
评注本题用导数来研究函数的性质，注意构造函数g(x)，然后用其对称性和奇偶性对单调性的影响，必要时可以用图像来辅助说明. 4.（2015福建理10）若定义在R上的函数
f?x?满足f?0???1，其导函数f??x?满足
f??x??k?1，则下列结论中一定错误的是（）.
A．f??1?1?? B．k??k1?1? f???kk?1??k?1? f????k?1?k?1C．f?1?1? D．???k?1?k?14. 解析由已知条件，构造函数g?x??f?x??kx，则g??x??f??x??k?0， 故函数g?x?在R上单调递增，且
11??0，故g??g?0?， ??k?1?k?1?所以f?k?1???k?1??1，
?k?1?1?1?，所以结论中一定错误的是C，选项D不f????k?1?k?1确定；构造函数h?x??f?x??x，则h??x??f??x??1?0，所以函数h?x?在R上单调递增，且
11??0，所以h??h?0?，即??k?k??1?1f?????1，?k?k?1?1f????1，选项A，B无?k?k法判断．故选C．
2x5.（2015广东理19（1））设a?1，函数f(x)?(1?x)e?a.求f(x)的单调区间.
5. 解析函数f?x?的定义域为R，f??x??1?x2?ex?1?x2?????e????1?x?x2ex…0，
所以f?x?在???,???上是单调增函数.
16.（2015湖北理22（1））已知数列{an}的各项均为正数，bn?n(1?)nan(n?N*)，e为自
n1然对数的底数．求函数f(x)?1?x?ex的单调区间，并比较(1?)n与e的大小.
n6. 解析f(x)的定义域为(??,??)，f?(x)?1?ex.
当f?(x)?0，即x?0时，f(x)单调递增； 当f?(x)?0，即x?0时，f(x)单调递减.
故f(x)的单调递增区间为(??,0)，单调递减区间为(0,??). 当x?0时，f(x)?f(0)?0，即1?x?ex.
1111令x?，得1??en，即(1?)n?e.
nnn7.（2015江苏19（1））已知函数试讨论
f?x??x3?ax2?b?a,b?R?．
f?x?的单调性.
22???3xx?a?， 7. 解析由题意，f??x??3x?2ax?3??1?当?2a?0，即a?0时，f??x??3x2…0对x?R恒成立， 3故f?x?的单调递增区间为???,???；
2?当?2a?0，即a?0时， 3?2?2?fx?3x??令?x?a??0，则x?0或x??a，
3?3?所以f?x?的单调递增区间为???,0?和??3?当?2??2??a,???，单调递减区间为?0,?a?；
3??3??2a?0，即a?0时， 3令
?2?f??x??3x?x?a??0，则x??2a或x?0，
3?3?2???2???,?a所以f?x?的单调递增区间为??和?0,???，单调递减区间为??a,0?．
3???3?8.（2015全国2理21（1））设函数f?x??emx?x2?mx.
证明：f?x?在???,0?单调递减，在?0,???单调递增.
8. 分析（1）先对函数进行求导，然后再应用单调性和函数的导数的关系进行求解； 解析（1）证明：因为f?x??emx?x2?mx,，则求导得，f??x??memx?2x?m,
f??x??m?emx?1??2x.
0，则当x????,0?时，e若m…当x??0,???时，emxmx?1?0，f??x??0；
?1…0，f'?x??0.
?0，f??x??0； 若m?0，则当x????,0?时，emx?1>?0，f'?x??0. 当x??0,???时，emx?1<所以f?x?在???,0?上单调递减，在?0,???上单调递增.
229.（2015四川理21（1））已知函数f?x???2?x?a?lnx?x?2ax?2a?a，其中a?0.
设g?x?为f?x?的导函数，讨论g?x?的单调性；
9. 分析首先对函数f?x?求导，得g?x??f??x??2x?2a?2lnx?2?1???a??， x?1?1???2?x???2?a??22a2?4??然后再求导得g??x??2??2??. 2xxx利用导数的符号即得其单调性.此题分2?a?2??1?1??和?02a????…0两种情况讨论.
4?4??解析由已知可得函数f?x?的定义域为?0,???.
?a?g?x??f??x??2x?2a?2lnx?2?1??，
?x?1?1???2?x???2?a??22a2?4??所以g??x??2??2??. xxx22?1?1?4a??1?1?4a?1,???当0?a?时，g?x?在区间?0,???，???上单调递增； 224????在区间??1?1?4a1?1?4a?,上单调递减. ???22??当a…时，g?x?在区间?0,???上单调递增. 10.（2015天津理20（1））已知函数讨论
1
4
f?x??nx?xn,x?R，其中n?N*，n…2.
f?x?的单调性.
10. 分析求导，分n为奇数与偶数讨论其导数的符号及函数单调性即可.
解析由f?x??nx?xn，可得f??x??n?nxn?1，其中n?N*且n…2， 下面分两种情况讨论：
(i)当n为奇数时，令f?(x)?0，解得x?1或x??1， 当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如表所示.
x (??,?1) (?1,1) (1,??) f?(x) ? f(x) ? ? ? ? ? 所以，f(x)在(??,?1)，(1,??)上单调递减，在(?1,1)内单调递增. (ii)当n为偶数时，
当f?(x)?0，即x?1时，函数f(x)单调递增； 当f?(x)?0，即x?1时，函数f(x)单调递减.
所以，f(x)在(??,1)上单调递增，f(x)在(1,??)上单调递减.
3x2?ax11.（2015重庆理20（2））设函数f?x???a?R?.若f?x?在?3,???上为减函数，xe求a的取值范围.
?3x2??6?a?x?a11. 解析由（1）知f??x??
ex令g?x???3x??6?a?x?a，则g?x?为f??x?的同号函数.
2因为f?x?在?3,???上为减函数，所以f??x??0在?3,???上恒成立， 即g?x??0在?3,???上恒成立.首先g?3??0， 即?27??6?a??3?a??9?2a?0，解得a…?反之当a…?9. 29时，g?x?在?3,???上单调递减，且g?3??0， 2所以?x??3,???，f??x??0，f?x?在?3,???上单调递减； 当a??9时，g?3??0，故?x0??3,???，使得g?x0??0， 2
故f?x?在?3,x0?上单调递增，与题意不符. 综上，a的取值范围为???9?,???． ?2?12.（2016北京理18）设函数f?x??xea?x?bx，曲线y?f?x?在点2,f?2?处的切线方程为y??e?1?x?4. （1）求a,b的值； （2）求f?x?的单调区间.
12.解析（1）由题可得f??x??ea?x(1?x)?b. 再由题设，可得
a?2??f?(2)??e?b?e?1，解得a?2，b?e. ?a?2??f(2)?2e?2b?2(e?1)?4??（2）由（1）的解答及题设，可得f??x??e2?x(1?x)?e，f??x?的导函数
(f?(x))??e2?x(x?2).
所以函数
f?(x)在(??,2)上是减函数，在(2,??)上是增函数，
f?(x)?0对x?R恒成立，
所以f?(x)min?f?(2)?e?1?0，即
所以函数f?x?的单调递增区间是(??,??)，无单调递减区间.
13.（2016全国甲理21）（1）讨论函数f(x)?x?2xe的单调性，并证明当x?0时，x?2(x?2)ex?x?2?0；
ex?ax?a（2）证明：当a?[0,1)时，函数g?x?=(x?0)有最小值.设g?x?的最小值为2xh(a)，求函数h(a)的值域.
13.解析（1）证明：由已知得，函数的定义域为由已知得，x??2.
?4?x2exx?2xxx?2?e，所以f??x??e???. 因为f?x???x?2?x?2?2??x?2?2x?2???2?U??2，???时，f??x??0，?2?和??2,???上因为当x????，所以f?x?在???，单调递增，所以当x?0时，
x?2xe?f?0?=?1，所以?x?2?ex?x?2?0. x?2e??（2）由已知得，g?x??x?a?x2?2x?ex?ax?a?x4?x?xex?2ex?ax?2a?x4=?x?2???x?2x??e?a??x?2?，
a??0，1?. 3xx?2xe?a，因为h?0??a?1?0，h?2??a…0，所以由（1）知h?x?x?2解法一：记h?x??2?上存在唯一零点.记零点为x0，即h?x0??0，则g?x?在?0，x0?上单调递减，在在?0，2?上单调递增.故x0为g?x?的极小值，此时极小值为g?x0?. ?x0，x0?2x0x0?2x0e?a?0a??e??0，1??x0??0，2?. 因为，所以
x0?2x0?2?x0?2x0?x0e?e??x0?1???x?2ex0?a?x0?1?ex00??所以g?x0?=. ??x02x02x0?2ex0ex?x0+2??exx0?1x记P?x0??，，则P??x0?=?e?0， 22x0?2?x0+2??x0+2?000?1e2?所以P?x0?在x0??0，2?上单调递增，所以P?x0???，?.
?24?解法二：由(1)知，当x?0时，f?x??x?2x?e的值域为??1，???，只有一解，使得x?2t?2t?e??a，t??0，2?.当x?(0,t)时，g?(x)?0，g(x)单调递减；当x?(t,??)时，t?2g?(x)?0，g(x)单调递增.
h?a??e?a?t?1??2ttet??t?1?t?2t?etet?2?. 2tt?2tete?t?1??0，所以kt单调递增，所以
记k?t??，在t??0,2?时，k??t????2t?2?t?2??1e2?h?a??k?t???，?.
?24?14.（2016天津理20）设函数f?x???x?1??ax?b，x?R，其中a,b?R.
3（1）求f?x?的单调区间；
（2）若f?x?存在极值点x0，且f?x1??f?x0?，其中x1?x0，求证：x1?2x0?3； （3）设a?0，函数g?x??f?x?，求证：g?x?在区间?0,2?上的最大值不小于．．．.
1414. 解析（1）由
f?x???x?1??ax?b，可得f??x??3?x?1??a.
32下面分两种情况讨论： （i）当a?0时，有f??x??3(x?1)2?a…0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为
???,???.
（ii）当a?0时，令f??x??0，解得x?1?当x变化时，f??x?，
3a3a或x?1?. 33f(x)的变化情况如表所示.
x ????3a?3a3a?3a3a3a????,1?3?? 1?3 ??1?3,1?3?? 1?3 ??1?3,???? ??????0 ↗ 极大值 － ↘ 0 极小值 ＋ ↗ f??x? ＋ f(x) 所以f(x)的单调递减区间为??1????3a3a?3a?,1???,1??，单调递增区间为????，33?3?????3a??1?3,????. ??（2）证明：因为f?x?存在极值点，所以由（1）知a?0，且x0?1. 由题意，得
f??x0??3?x0?1??a?0，即?x0?1?2?，
32a3进而f?x0???x0?1??ax0?b??2aax0??b. 3332aa2?2xx0??b??又f?3?2x0???0??a?3?2x0??b?338a?1?x0??2ax0?3a?b?f?x0?， 3且3?2x0?x0，由题意及（1）知，存在唯一实数满足f?x1??f?x0?，且x1?x0，因此
x1?3?2x0，即x1?2x0?3.
（3）证明：设g?x?在区间?0,2?上的最大值为M，max{x,y}表示x,y两数的最大值. 下面分三种情况讨论： （i）当a…3时，1?3a3a剟0?21?， 33由（1）知，f(x)在区间[0,2]上单调递减，所以因此Mf(x)在区间[0,2]上的取值范围为[f(2),f(0)]，
?max{|f(2)|,|f(0)|}?max{|1?2a?b|,|?1?b|}?max{|a?1?(a?b)|,|a?1?(a?b)|}?
0?a?1?(a?b),a?b…，所以M?a?1?|a?b|…2. ??a?1?(a?b),a?b?0（ii）当
23a3a3a3剟0?1??1??2?a?3时，1?4333?3a?f?1????，3??1?23a. 3?23a?f(0)…f由（1）和（2）知，??1?3??????23a?f(2)?f??1?3?????所以
?3a?f??1?3??， ???????3a?,f??3??3a??1??， ????3????f(x)在区间[0,2]上的取值范围为?f??1????3a?3a????因此M?max?f?1?,f1??????????33?????????2a2a?max??3a?a?b,3a?a?b??
9?9?2331?2a2a?2a3a?a?b…??3??. max??3a??a?b?,3a??a?b???94449?9?9（iii）当0?a?23a3a3a23a3?1??1??1??2， 时，0?1?43333?3a?f?1????，3???23a?f0?f由（1）和（2）知，????1?3??????23a?f?2??f??1?3??????3a?f?1????， 3??所以f?x?在区间?0,2?上的取值范围为??f?0?,f?2???，
因此M?maxf?0?,f?2??max?1?b,1?2a?b?
????max1?a??a?b?,1?a??a?b??1?a?a?b???1. 41. 4综上所述，当a?0时，g?x?在区间?0,2?上的最大值不小于题型34 利用导函数研究函数的极值与最值
1. (2013重庆理17）设f?x??a?x?5??6lnx，其中a?R，曲线y?f?x?在点
26?. ?1，f?1??处的切线与y轴相交于点?0，（1）确定a的值；
（2）求函数f?x?的单调区间与极值.
2. （2013湖北理10）已知a为常数，函数f(x)?x?lnx?ax?有两个极值点x1，x2(x1?x2)，则（）.
11A．f(x1)?0，f(x2)?? B．f(x1)?0，f(x2)??
2211C．f(x1)?0，f(x2)?? D．f(x1)?0，f(x2)??
223.(2013浙江理8）已知e为自然对数的底数，设函数f(x)?(e?1)(x?1)(k?1,2)，则 A.当k?1时，f(x)在x?1处取得极小值 B.当k?1时，f(x)在x?1处取得极大值 C.当k?2时，f(x)在x?1处取得极小值 D.当k?2时，f(x)在x?1处取得极大值
4. (2013福建理17）已知函数f(x)?x?alnx?a?R?
（1）当a?2时，求曲线y?f(x)在点A?1,f(1)?处的切线方程； （2）求函数f(x)的极值
5.（2013湖北理22）设n是正整数，r为正有理数．
xk（1）求函数f?x?=(1?x)r?1?(r?1)x?1(x??1)的最小值；
nr?1?(n?1)r?1(n?1)r?1?nr?1r（2）证明：； ?n?
r?1r?1（3）设x?R，记?x?为不小于的最小整数，例如2?2，[π]?4，?????1． ．．．
2???3???令
S=381?382?383??3125，求[S]的值．
4343（参考数据：80?344.7，81?350.5，124?618.3，126?631.7） 6.（2013山东理21）设函数f(x)?4343x?c（e?2.71828?是自然对数的底数，c?R）. 2xe（1）求f(x)的单调区间、最大值；
（2）讨论关于x的方程lnx?f(x)根的个数.
7．（2013广东理21）设函数f?x???x?1?e?kx(其中k?R).
x2(1) 当k?1时，求函数f?x?的单调区间； (2) 当k???1?,1?时，求函数f?x?在?0,k?上的最大值M. ?2?328.（2013浙江理22）已知a?R，函数f(x)?x?3x?3ax?3a?3. （1）求曲线y?f(x)在点?1,f(1)?处的切线方程； （2）当x?[0,2]时，求|f(x)|的最大值.
?x2?2x?a,x?09．（2013四川理21）已知函数f(x)??，其中a是实数．设A?x1,f(x1)?，
lnx,x?0?B?x2,f(x2)?为该函数图象上的两点，且x1?x2．
（1）指出函数f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直，且x2?0，求x2?x1的最小值； （3）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合，求a的取值范围． 10.（2014 新课标2理12）设函数f?x??23sin?x.若存在f?x?的极值点x0满足m2x02??fx?m，则m的取值范围是（）. ???0?? A.???,?6???6,??? B.???,?4???4,???
（1）求函数f?x?=(1?x)r?1?(r?1)x?1(x??1)的最小值；
nr?1?(n?1)r?1(n?1)r?1?nr?1r（2）证明：； ?n?
r?1r?1（3）设x?R，记?x?为不小于的最小整数，例如2?2，[π]?4，?????1． ．．．
2???3???令
S=381?382?383??3125，求[S]的值．
4343（参考数据：80?344.7，81?350.5，124?618.3，126?631.7） 6.（2013山东理21）设函数f(x)?4343x?c（e?2.71828?是自然对数的底数，c?R）. 2xe（1）求f(x)的单调区间、最大值；
（2）讨论关于x的方程lnx?f(x)根的个数.
7．（2013广东理21）设函数f?x???x?1?e?kx(其中k?R).
x2(1) 当k?1时，求函数f?x?的单调区间； (2) 当k???1?,1?时，求函数f?x?在?0,k?上的最大值M. ?2?328.（2013浙江理22）已知a?R，函数f(x)?x?3x?3ax?3a?3. （1）求曲线y?f(x)在点?1,f(1)?处的切线方程； （2）当x?[0,2]时，求|f(x)|的最大值.
?x2?2x?a,x?09．（2013四川理21）已知函数f(x)??，其中a是实数．设A?x1,f(x1)?，
lnx,x?0?B?x2,f(x2)?为该函数图象上的两点，且x1?x2．
（1）指出函数f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直，且x2?0，求x2?x1的最小值； （3）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合，求a的取值范围． 10.（2014 新课标2理12）设函数f?x??23sin?x.若存在f?x?的极值点x0满足m2x02??fx?m，则m的取值范围是（）. ???0?? A.???,?6???6,??? B.???,?4???4,???
