北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷
高二数学 2015.1
（理科）
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
三 题号 分数 一 二 17 18 19 20 21 22 本卷总分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的.
x2?y2?1的实轴长为（ ） 1. 双曲线4A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 2. 抛物线x2?4y的准线方程为（ ） A. y?2 B. y??2 C. y?1 D. y??1 3. 已知m,n表示两条不同直线，?表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若m//?,n//?,则m//n C. 若m??，n??，则m?n B. 若m??，m?n，则n//? D. 若m//?，m?n，则n?? 24. 命题“?a,b?R，如果a?b，则a?ab”的否命题为（ ） 2A. ?a,b?R，如果a?ab，则a?b 2B. ?a,b?R，如果a?ab，则a?b 2C. ?a,b?R，如果a?ab，则a?b 2D. ?a,b?R，如果a?b，则a?ab
5. 已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（ ） 3A. 2B. 1 23C. 3D. 1 3
6. 已知直线l1:ax?y?2?0和直线l2:x?ay?2?0平行，则实数a的值为（ ） A. 1
7. “a??3”是“圆x2?y2?1与圆(x?a)2?y2?4相切”的（ ） A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件
8. 如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处. 已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（ ） A.10cm
9. 右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ） ?A. BD与CF成60角 ? B. BD与EF成60角 ? C. AB与CD成60角 ? D. AB与EF成60角 B. ?1 C. ?1和1 D.2 3B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 24cm 10cm B. 7.2cm C. 3.6cm D. 2.4cm D F C B E A
10. 如图，在边长为2的正方体ABCD?A1BC11D1中，P,Q分别为棱AB,A1D1的中点，M,N分别为面BCC1B1和遇正方体的面反DCC1D1上的点. 一质点从点P射向点M，射（反射服从光的反射原理），反射到点N，再经平面反射，恰好反射至点Q. 则三条线段PM,MN,NQ的长度之和为（ ） A. A1 D1 Q N D C1 B1 M C P B A D. 22 B. 21 C. 25 32
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 命题“?x?R,x2?2x?0”的否定是_______________.
12. 空间向量a?(?1,1,?2)，b?(1,?2,?1)，n?(x,y,?2)，且n//b. 则a?n?_______.
13. 右图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的 体积为_______. 14. 已知F为双曲线C:2 22 x?y2?1的一个焦点， 32正（主）视图 2 侧（左）视图
则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为_______.
俯视图
15. 由直线y?x上一点向圆(x?4)2?y2?1引切线，则切线长的最小值为 . 16 .已知点M(3,0)和点N(?3,0)，直线PM，PN的斜率乘积为常数a（a?0），设点P的轨迹为C.
给出以下几个命题：
①存在非零常数a，使C上所有点到两点(?4,0),(4,0)距离之和为定值； ②存在非零常数a，使C上所有点到两点(0,?4),(0,4)距离之和为定值； ③不存在非零常数a，使C上所有点到两点(?4,0),(4,0)距离差的绝对值为定值； ④不存在非零常数a，使C上所有点到两点(0,?4),(0,4)距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是________.（填出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）
如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，?AEB（Ⅰ）求证：AD//平面BCE； （Ⅱ）求证：AE?BF．
18.（本小题满分13分）
A
E D
C
?90o， F为CE上的点.
F B
已知三个点A(0,0)，B(4,0)，C(3,1)，圆M为△ABC的外接圆. （Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）设直线y?kx?1与圆M交于P,Q两点，且PQ?5，求k的值.
19.（本小题满分14分）
在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，
AD//BC，AD?AB，PA?AD?2，AB?BC?1，Q为PD中点.
（Ⅰ）求证：PD?BQ；
（Ⅱ）求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值.
20.（本小题满分14分）
Q
P A D
B C
x2?y2?1，直线l过点(0,?2)与椭圆W交于两点A,B，O为坐标原点. 已知椭圆W:43（Ⅰ）设C为AB的中点，当直线l的斜率为时，求线段OC的长；
2（Ⅱ）当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率.
21.（本小题满分13分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，AB?2BC?4,四边形CDEF是等腰梯形，EF//DC，EF?2，且平面ABCD?平面CDEF，AF?CF. （Ⅰ）过BD与AF平行的平面与CF交于点G. 求证：G为CF的中点； （Ⅱ）求二面角B?AF?D的余弦值.
22.（本小题满分13分）
如图，曲线E是由抛物线弧E1:y2?4x(0?x?A D B
E F G C
2)与椭圆弧3x2y22E2:2?2?1(?x?a)所围成的封闭曲线，且E1与E2有相同的焦点.
3ab（Ⅰ）求椭圆弧E2的方程；
（Ⅱ）设过点F(1,0)的直线与曲线E交于A,B两点，
y |FA|?r1,|FB|?r2，且?AFx??(0????)，试用 rcos?表示r1；并求1的取值范围.
r2
O x
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷
高二数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
2015.1
1.A 2.D 3.C 4. D 5. A 6. B 7.A 8. C 9.C 10. A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
11. ?x?R,x2?2x?0 12. ?2 13.
? 314. 1 15.7 16. ②④ 注:16题，仅选出②或④得3分；错选得0分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17. （本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD为矩形，
所以AD//BC. ??????2分 又因为BC?平面BCE，
D
C
AD?平面BCE，??????4分
所以AD//平面BCE. ??????5分 （Ⅱ）证明：因为AD?平面ABE，AD//BC，
A
F B
E 所以BC?平面ABE，则AE?BC . ??????7分 又因为?AEB?90，
所以AE?BE. ??????9分 所以AE?平面BCE. ??????11分 又BF?平面BCE,
所以AE?BF. ??????13分
o18. （本小题满分13分）
（Ⅰ）设圆M的方程为 x2?y2?Dx?Ey?F?0, ??????1分
因为点A(0,0)，B(4,0)，C(3,1)在圆M上，则
?F?0,?2 ?4?4D?F?0, ??????4分
?32?12?3D?E?F?0.?解得D??4，E?2，F?0. ??????6分
所以?ABC外接圆的方程为x?y?4x?2y?0. ??????7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）圆M的圆心为(2,?1)，半径为5.
22又PQ?5，所以圆M的圆心到直线y?kx?1的距离为所以
15.??????9分 22k1+k22解得k?15. k??15. ??????13分
19. （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为PA?平面ABCD，所以PA?ABPA?AD，
?15， ??????11分 2又AD?AB，如图，建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴的空间直角坐标系. ??????2分
由已知，PA?AD?2，AB?BC?1，AD//BC. 所以，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，
P z D(0,2,0),P(0,0,2) ??????4分
又Q为PD中点，所以Q(0,1,1).
Q ????????所以PD?(0,2,?2)，BQ?(?1,1,1)，
????????所以PD?BQ?0， ??????6分
所以PD?BQ. ??????7分 （注：若第一问不用空间向量，则第一问4分） （Ⅱ）解：设平面PCD的法向量为n?(a,b,c)，
B x A D C y ????????????则n?PD?0,n?CD?0.又CD?(?1,1,0)，
?2b?2c?0所以?， ??????9分
?a?b?0?令c?1，得a?b?1，所以n?(1,1,1). ??????11分
????????BQ?n1?因此cos?BQ,n???????， ??????13分 ?333BQn所以直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为
?. ??????14分 320.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当直线l的斜率为
3?时，直线l的方程为y?x?2. ??????1分 22??y?x?2,??22由?2 得5x?12x?6?0， ??????2分 ?x?y2?1??4设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x0,y0).
12则x1?x2?， ??????3分
5631所以点C的坐标x0?，y0?x0?2??， ??????4分
525所以OC?()?(?)?（Ⅱ）设直线l:y?kx?2，
65215237. ??????5分 5?x2??y2?1,由?4 得(1?4k2)x2?16kx?12?0， ??????6分 ?y?kx?2?所以??(16k)2?48(1?4k2)?16(4k2?3) ??????7分
16k12xx? x1?x2?，. ??????8分 121?4k21?4k2 AB?1?k ?1?k2(x1?x2)2?4x1x2
216k212 ()?4?1?4k21?4k241?k24k2?3 ?. ??????10分 21?4k2原点O到直线l的距离d?. ??????11分
21?k所以△OAB面积为
1141?k24k2?3244k2?3 . ABd????222221?4k1?4k1?k因为△OAB面积等于1，
44k2?3所以?1， ??????12分 21?4k7解得k??， ??????13分
27带入判别式检验，符合题意，所以k??. ??????14分
221. （本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：连接AC交BD于点H，
ABCD为矩形，则H为AC中点，连接GH. ??????1分
因为AF//平面BDG，平面ACF?平面BDG?GH， ??????2分 所以AF//HG. ??????3分 所以G为CF的中点. ??????4分 （Ⅱ）解：在平面CDEF上作FO?CD，垂足为O，
由于平面CDEF为等腰梯形，所以OC?1， 因为且平面ABCD?平面DCFE，
所以FO?平面ABCD， ??????5分 在平面ABCD中，作OM?CD，交AB于M，
所以FO?OM，
如图，以O为原点建立空间直角坐标系O?xyz. ??????6分 则A(2,?3,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，D(0,?3,0). 设F(0,0,h)（h?0）.
????????因为AF?CF，所以AF?CF?0，即(?2,3,h)?(0,?1,h)?0，
2所以0?3?h?0，解得h?3. ??????7分 设平面ABF的法向量为n?(a,b,c)， 而AF?(?2,3,3)，AB?(0,4,0)，
???????????????2a?3b?3c?0,??AF?n?0,由???? 得? ????4b?0.?AB?n?0令c?2，解得a?3，b?0.
所以n?(3,0,2). ??????9分 D z E F G O C H x M B y ????????由于AD?(?2,0,0),CF?(0,?1,3),
A ????????所以AD?CF?0，CF?AD，
又CF?AF，所以CF?平面ADF，
????所以CF为平面ADF的法向量， ??????11分
????(0,?1,3)?(3,0,2)2321. ??????12分 cos?CF,n????74?727由图知，二面角B?AF?D的平面角为钝角，
21所以二面角B?AF?D的余弦值为?. ??????13分
722. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）抛物线弧E1:y?4x的焦点为(1,0)，且x?所以(,所以2a?2282时，y?， 33238)为椭圆上一点，又椭圆的焦点为(?1,0),(1,0)， ??????2分 3282875(?1)2?()2?(?1)2?()2???4. ??????3分 333333所以a?2，
b2?a2?1?3， ??????4分 2x2y2??1（?x?2）. ??????5分 所以椭圆E2的方程为
343（Ⅱ）曲线E由两部分曲线E1和E2组成，所以按A在抛物线弧E1或椭圆弧E2上加以分类，由曲线E的对称性,不妨设A在x轴上方(或x轴上).
当x?25126时，y??，此时r?,cos???； 3353当?1?cos??1时，A在椭圆弧E2上， 5由题设知A(1?r1cos?,r1sin?)，
x2y2??1得，3(1?r1cos?)2?4(r1sin?)2?12?0， 将A点坐标代入43整理得(4?cos2?)r1?6r1cos??9?0，
233或r1?(舍去). ??????6分
2?cos?cos??21当?1?cos???时，A在抛物线弧E1上，由抛物线定义可得r1?2?r1cos?，
52所以r1?， ??????7分
1?cos?1213综上，当?1?cos???时，r1?；当??cos??1时，r1?.
51?cos?52?cos?解得r1?相应地，B(1?r2cos(???),r2sin(???))，
1?cos??1时，B在抛物线弧E1上， 52所以r2?2?r2cos(???)，r2?， ??????8分
1?cos?1当?1?cos??时，B在椭圆弧E2上，
53根据图形的对称性，r2?. ??????9分
2?cos?1所以，当?1?cos???时A在抛物线弧E1上,B在椭圆弧E2上，
5当
r122?cos?2111???(1?)?[1,]； ??????10分 r21?cos?331?cos?9当
1?cos??1时A在椭圆弧E2上,B在抛物线弧E1上， 5
r131?cos?319???(1?)?[,1]； ??????11分 r22?cos?222?cos?1111?cos??时A、B在椭圆弧E2上， 55当?
r132?cos?2?cos?911????(,)； ??????12分 r22?cos?32?cos?119911r1的取值范围是[,]. ??????13分
119r2综上，
