第一章 函数
一、填空
1、设f?t??t??x?，则f?1??f?0?? 。
2、设f?x????xx?1?1x?1 ，则f?sinx??f?1?ex?= 。 3、y?x2?4?arcsin2x?17的定义域为 。 4、f?x??2f??1??x???2x ，则f?x?= 。 ?5、f?x???x?1x?0? ，则f?f?x??? 。
?xx?06、已知
f?x??sinx,f???x???1?x2，则??x?= 。
7、设函数f?x?满足关系式：f?1?x??2f?1?x??3ex，则函数f?x?= 。8、已知f???x???1?cosx,??x??sinx2，则f?x?= 。 ??3?x?09、已知f?x???3x?1?3x0?x?1，则其反函数f?1?x?= 。 ??x2?21?x?310、函数y?lgcos3arcsinx由 复合而成。
二、选择
1、函数f?x??3x，则f?x?y?=（ ）
A、f?x?f?y? B、f?2x? C、f?x? D、f?y?
2、若
f?x?是
（-∞，+∞）上有定义的函数，则下列（ ）奇函数。
A、f?x3? B、?f?x??3 C、f?x??f??x? Df?x??f??x? 3、设函数
f?x?定义在（0，+∞）内，a,b为任意正数，若函数f?x?x单调减少，则有（ A、f?a?b??f?a??f?b? B、f?a?b??f?a??f?b?a?b
）
C、f?a?b??f?a??f?b? D、f?a?b??f?a??f?b?
a?b4、设函数f?u?的定义域为0?u?1，则f?lnx?的定义域为（ ） A、（0 ，1） B、（1 ，a） C、（0 ，e） D、（1 ，e） 5、设[x]表示不超过x的最大整数，则函数y?x??x?为（ ） A、无界函数 B、单调函数 C、偶函数 D、周期函数 6、设函数
f?x??x?tanxesinx，则f?x?是（ ）
xsin?x?2?x?x?1??x?2?2A、偶函数 B、无界函数 C、周期函数 D、单调函数 7、函数f?x??在下列哪个区间内有界（ ）
A、（-1 ，0） B、（0 ，1） C、（1，2） D、（2 ，3）
??x?单调减少，8、若在（-∞，+∞）内f?x?单调增加，则f???x??在（∞，+∞）内（ ）
A、单调增加 B、单调减少 Ｃ、不是单调函数 Ｄ、增减性难以判定 三、计算
１、设函数y?f?x?的定义域为［０，３a］（a>０），求g?x??f?x?a??f?2x?3a?的定义域。
?x20?x?1２、已知??x?1??? ，求??x?及其定义域。
?2x1?x?2?2?x??３、设gx???x?2?x2 ，f?x???x?0??xx?0x?0x?0 ，求g?f?x??
４、设f?x?是（－a，a）上是奇函数，已知x?0时，f?x????x?,??0??0，试求：在（－a，０）上f?x??？
四、应用题
１、某商品的单价为１００元，单位成本为６０元，商家为了促销，规定凡是购买超过 ２００单位时，对超过部分按单价的九五折出售，求成本函数、收益函数、利润函数。 ２、某电视机每台售价为５００元时，每月可销售２０００台，每台售价为４５０元时，每月可增销４００台，试求该电视机的线必性需求函数。
３、某厂生产某商品的可变成本为１５元／件，每天的固定成本为２０００元，如果每件商品的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少件该商品？ 五、设af?x??bf??1?c?? ，其中a,b,c为常数，且a?b，试证：f?x??f??x?。 ?x?x应用实例
生小兔问题
兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一对小兔，且出生的兔子都成活，试问一年以后共有多少对兔子，两年后有多少对兔子？
解 先直接推算，在第1月只有1对兔子；第2月也只有一对兔子；在第3月这对兔子生了1对小兔子，共有2对兔子；在第4月，老兔子又生了1对小兔子，共有3对小兔子；在第5个月，老兔子生1对小兔子，且在第3月出生的小兔也生育1对小兔子，故共有5对小兔子，在第6个月，老兔子、在第3、第4月出生的小兔子各生1对小兔子，故共有8对小兔子。如此类推，不难得到月份和小兔子对数的关系如表1所示。
表1 兔子对数增长 月份数/n 小兔数/对 月份数/n 小兔数/对 1 1 8 21 2 1 9 34 3 2 10 55 4 3 11 89 5 5 12 144 6 8 13 233 . 7 13 … …从表1看出，一年后（第13月）时共有233对兔子。但是计算2年后时，这种方法似乎有些繁和苯，且容易出错。有没有更好的方法呢？现在回过头来仔细观察一下每月小兔数的变化情况，我们发现从第3月开始，每月小兔对数就是前两月的小兔对数之和。若记rn 为第n月的小兔对数，则我们发现的规律为
r1?1,r2?1,rn?rn?2?rn?1,n?3,4,? (1)
用（1）式就很容易用计算机算出2年后兔子的对数为75025。
交通路口的红绿灯模型
问题：在一个由红绿灯管理下的十字路口，如果绿灯亮15秒种，问最多可以有多少汽车通过这个交叉路口.
分析：这个问题提得笼统含混，因为交通灯对十字路口的控制方式很复杂，特别是车辆左、右转弯的规则，不同的国家都不一样。通过路口的车辆的多少还依赖于路面上汽车的数量以及它们的行驶的速度和方向. 这里我们在一定的假设之下把这个问题简化.
假设：
（1）十字路口的车辆穿行秩序良好，不会发生阻塞.
（2）所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，并且仅考虑马路一侧或单行线上的车辆.
（3）所有的车辆长度相同，为L米，并且都是从静止状态匀加速启动. （4）红灯下等待的每相邻两辆车之间的距离相等，为D米. （5）前一辆车起动后，下一辆车起动的延迟时间相等，为T秒.
对于我们的问题，可以认为在红灯下等待的车队足够长，以致排在队尾的司机看见绿
灯又转为红灯时仍不能通过路口.
我们用X轴表示车辆行驶的道路.原点O表示交通灯的位置，X轴的正向是汽车行驶的方向.以绿灯开始亮为起始时刻.
于是在红灯前等待的第1辆汽车刚起动时应该按照匀加速的规律运动.我们可以用公式
S1(t)?at2/2来描述它，其中S1(t)为t时刻汽车在X轴上的位置，a是汽车起动时的加
速度.对于灯前的第n辆车，则有公式Sn(t)?Sn(0)?a(t?t0)2/2，其中Sn(0)是起动前汽车的位置，t0是该车起动的时刻。由假设（3）~（5）可知，Sn(0)??(n?1)(L?D)，
tn?(n?1)T.在城市道路上行驶的汽车都有一个最高时速的限制，为 v*米/秒.并假设绿
灯亮后汽车将起动一直加速到可能的最高速度，并以这个速度向前行驶，则显然汽车加速的时间是tn*?v*/a?tn.
由上面的分析可以得到绿灯亮后汽车行驶的规律是
0?t?tn?Sn(0),?Sn(t)??Sn(0)?a(t?t0)2/2,tn?t?tn*
?2S(0)?vtn*?t*/2a?v*(t?t0),?n对于模型的参数值，我们取L=5米 ，D=2米 ，T=1秒.在城市的十字路口汽车的最高速度一般是40千米/时，它折合v*?11.1米/秒 .进一步需要估计加速度，经调查大部分司机声称：10秒钟内车子可以由静止加速到大约26米/秒的速度。这时可以算出加速度应为2.6米/秒，保守一些取汽车的加速度为a=米/秒. v*/a?5.5秒.
2
2
根据这些参数，我们可以计算出绿灯亮至15秒红灯再次亮时每辆汽车的位置如表所示
绿灯亮至15秒汽车的位置 车号 最终位置/米 1 135.7 2 117.6 3 4 5 6 7 8 9 10 -9.1 99.5 81.4 63.3 45.2 27.1
从上表可见，当绿灯亮至15秒时，第八辆汽车已经驶过红绿灯9米。而第九辆车还距交通灯9.1米不能通过.
经济市场中商品交换模型
1. 市场
个体贸易者将他们的商品带到市场，又根据不同的需求将商品换回家。一个简单的交换经济就这样形成.假定有n个贸易者群N?{1,2,?,n}，用1,2,?,n表示.有m种商品，
ii,?,?m)来表示，这里 1,2,?,m作为下标.每个贸易者i带进市场的商品用?i?(?1i,?2?ij是贸易者i拥有商品j的初始数量.我们假定每个贸易者i具有实值效用函数ui，以表示
他的偏好.值ui(x)是对所有能实现的商品分配x?(x1,x2,?,xm)定义的，当且仅当
ui(x)?ui(y)时，贸易者i较向量y更喜欢向量x.还可假定函数ui具有某些性质，如连续
性和凸性，即对任意的0???1，ui(?x?(1??)y)??ui(x)?(1??)ui(y)成立.
考虑一个贸易者联盟S?N. S中的局中人可以在他们之间将商品重新分配，满足守恒律
?x???ii?si?si
iii这里xi?(x1,x2,?,xm)描述了i的商品分布。假定群体效用是它的成员效用的和。则联盟
的目标是选择xi，使群体的总效用最大，即决定xi，使 v(S)?max任何公平的分配都必须考虑以这种方式决定的联盟值v(S).
?u(x)
iii?s2 咖啡早茶
假定三个工人带着四种商品（咖啡、茶、糖和奶油）去喝早茶.局中人1带两个单位的咖啡，但他喜欢喝奶油的茶.局中人2有一个单位的茶但他喜欢喝加糖的咖啡，局中人3有两个单位的糖和三个单位的奶油，想喝加糖和奶油的咖啡.他们的自带商品可表示成
?1?(2,0,0,0),?2?(0,1,0,0),?3?(0,0,2,3)
假设局中人的效用函数是
u1(x)?min{x2,x4),u2(x)?min{x1,x3},u3(x)?{x1,x3,x4}
这里ui(x)给出了工人i所饮饮料的杯数，饮料由配料配制，配料可用x表示.
对N?{1,2,3}的不同子集S，可计算联盟的值v(S).例如，如果局中人1病了，不能来工作，这对联盟{2,3}最有好处。导出的特征函数是
v({1})?v({2})?v({3})?v({1,2})?v({2,3})?0, v({1,3})?2, v({1,2,3})?3
分配集是 A?{(u1,u2,u3):u1?u2?u3?3;u1,u2,u3?0} 核心是 C?{(u1,u2,u3)?A:u1?u3?2}
哪个联盟也没有能力拒绝接受使效用结果u?(u1,u2,u3)位于核心中的分配x.这些集合表示在下图中.
U2 A C U1 U1+U3=2
