2018年云南省曲靖市中考数学试卷
一、选择题（共8题，每题4分） 1．﹣2的绝对值是（ ） A．2
B．﹣2 C． D．
2．如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2?a=a2 B．a6÷a2=a3 C．a2b﹣2ba2=﹣a2b D．（﹣
）3=﹣
4．截止2018年5月末，中国人民银行公布的数据显示，我国外汇的储备规模约为3.11×104亿元美元，则3.11×104亿表示的原数为（ ） A．2311000亿 B．31100亿
C．3110亿 D．311亿
5．若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是（ ） A．60° B．90° C．108° D．120° 6．下列二次根式中能与2合并的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转90°，得到△OA′B′，若反比例函数y=的图象经过点A的对应点A′，则k的值为（ ） A．6
B．﹣3 C．3
D．6
8．如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点M，
N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A、E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF=
，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题（共6题，每题3分）
9．如果水位升高2m时，水位的变化记为+2m，那么水位下降3m时，水位的变化情况是 ． 10．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE= °．
11．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 ．
12．关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a= （一个即可）． 13．一个书包的标价为115元，按8折出售仍可获利15%，该书包的进价为 元． 14．如图：图象①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次
为P1P2P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4P5P6…，依此规律，P0P2018= 个单位长度．
三、解答题15．（5分）计算﹣（﹣2）+（π﹣3.14）0++（﹣）﹣1
16．先化简，再求值（﹣）÷，其中a，b满足a+b﹣=0．
17．如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM． （1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．
18．甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？
19．某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．
依据以上信息解答以下问题：
（1）求样本容量；
（2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；
（3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数．
20．某公司计划购买A，B两种型号的电脑，已知购买一台A型电脑需0.6万元，购买一台B型电脑需0.4万元，该公司准备投入资金y万元，全部用于购进35台这两种型号的电脑，设购进A型电脑x台．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量的2倍，则该公司至少需要投入资金多少万元？
21．数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，C，D，每张卡片的正面标有字母a，b，c表示三条线段（如图），把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．
（1）用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；
（2）求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．
22．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，23．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2MPB=∠ADC．
O的位置关系，并说明理由； ，求四边形OCDB的面积．
﹣3x+c的对称轴是x=． （1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
在PB的另一侧作∠（1）判断PM与⊙（2）若PC=
2018年云南省曲靖市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8题，每题4分） 1．﹣2的绝对值是（ ） A．2
B．﹣2 C． D．
【解答】解：﹣2的绝对值是2， 即|﹣2|=2． 故选：A．
2．如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（
A． B． C． D．
【解答】解：从左面看去，是两个有公共边的矩形，如图所示：
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ） A．a2?a=a2 B．a6÷a2=a3 C．a2b﹣2ba2=﹣a2b D．（﹣
）3=﹣
【解答】解：A、原式=a3，不符合题意；
B、原式=a4，不符合题意；
C、原式=﹣a2b，符合题意； D、原式=﹣，不符合题意，
故选：C．
4．截止2018年5月末，中国人民银行公布的数据显示，我国外汇的储备规模约为3.11×104
亿元美元，则3.11×104亿表示的原数为（ ） A．2311000亿 B．31100亿
C．3110亿 D．311亿
【解答】解：3.11×104亿=31100亿 故选：B．
5．若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是（ ） A．60° B．90° C．108° D．120° 【解答】解：（n﹣2）×180°=720°， ∴n﹣2=4，
∴n=6．
则这个正多边形的每一个内角为720°÷6=120°． 故选：D．
6．下列二次根式中能与2合并的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、
，不能与2合并，错误；
B、能与2
合并，正确；
C、不能与2合并，错误；
D、
不能与2
合并，错误；
故选：B．
7．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转90°，得
）
到△OA′B′，若反比例函数y=的图象经过点A的对应点A′，则k的值为（ ）
A．6 B．﹣3 C．3 D．6
【解答】解：如图所示：∵将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转90°，得到△OA′B′，反比例函数y=的图象经过点A的对应点A′， ∴A′（3，1）， 则把A′代入y=， 解得：k=3． 故选：C．
8．如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A、E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF=
，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BAD=45°， 由作图可知：AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE=22.5°， ∵PQ是AE的中垂线， ∴AE⊥PQ， ∴∠AOL=90°，
∵∠AOL=∠LBK=90°，∠ALO=∠KLB，
∴∠LKB=∠BAE=22.5°； 故①正确；
②∵OG是AE的中垂线， ∴AG=EG，
∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE， ∴EG∥AB， 故②正确；
③∵∠LAO=∠GAO，∠AOL=∠AOG=90°， ∴∠ALO=∠AGO，
∵∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO， ∴∠CGF=∠BLK，
在Rt△BKL中，tan∠CGF=tan∠BLK=，
故③正确； ④连接EL，
∵AL=AG=EG，EG∥AB，
∴四边形ALEG是菱形， ∴AL=EL=EG＞BL， ∴
，
∵EG∥AB， ∴△CEG∽△CBA， ∴
=
，
故④不正确；
本题正确的是：①②③， 故选：A．
二、填空题（共6题，每题3分）
9．如果水位升高2m时，水位的变化记为+2m，那么水位下降3m时，水位的变化情况是 ﹣3m ．
【解答】解：∵水位升高2m时水位变化记作+2m， ∴水位下降3m时水位变化记作﹣3m． 故答案是：﹣3m．
10．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE= n °．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠DCB=180°，
又∵∠DCE+∠DCB=180° ∴∠DCE=∠A=n° 故答案为：n
11．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 18 ．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴AC=2DE=5，AC∥DE， AC2+BC2=52+122=169， AB2=132=169， ∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°， ∵AC∥DE，
∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点， ∴直线DE是线段BC的垂直平分线， ∴DC=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18， 故答案为：18．
12．关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a= ﹣2 （一个即可）． 【解答】解：∵关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根， ∴△=42+8a≥0， 解得a≥﹣2，
∴负整数a=﹣1或﹣2． 故答案为﹣2．
13．一个书包的标价为115元，按8折出售仍可获利15%，该书包的进价为 80 元． 【解答】解：设该书包的进价为x元， 根据题意得：115×0.8﹣x=15%x， 解得：x=80．
答：该书包的进价为80元． 故答案为：80．
14．如图：图象①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1P2P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4P5P6…，依此规律，P0P2018= 673 个单位长度．
【解答】解：由图可得，P0P1=1，P0P2=1，P0P3=1； P0P4=2，P0P5=2，P0P6=2； P0P7=3，P0P8=3，P0P9=3； ∵2018=3×672+2， ∴点P2018在正南方向上， ∴P0P2018=672+1=673， 故答案为：673．
三、解答题
15．（5分）计算﹣（﹣2）+（π﹣3.14）0++（﹣）﹣1
【解答】解：原式=2+1+3﹣3 =3．
16．先化简，再求值（﹣
）÷
，其中a，b满足a+b﹣=0．
【解答】解：原式=
?
=
，
由a+b﹣=0，得到a+b=， 则原式=2．
17．如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM． （1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB， ∴∠AFN=∠CEM， ∵FN=EM，AF=CE， ∴△AFN≌△CEM（SAS）．
（2）解：∵△AFN≌△CEM， ∴∠NAF=∠ECM，
∵∠CMF=∠CEM+∠ECM， ∴107°=72°+∠ECM， ∴∠ECM=35°， ∴∠NAF=35°．
18．甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与乙做100
个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？
【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣4）个零件， 根据题意得：=
，
解得：x=24，
经检验，x=24是分式方程的解， ∴x﹣4=20．
答：甲每小时做24个零件，乙每小时做20个零件．
19．某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．
依据以上信息解答以下问题： （1）求样本容量；
（2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；
（3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数． 【解答】解：（1）样本容量为6÷12%=50；
（2）14岁的人数为50×28%=14、16岁的人数为50﹣（6+10+14+18）=2， 则这组数据的平均数为=14（岁），
中位数为
=14（岁），众数为15岁；
（3）估计该校年龄在15岁及以上的学生人数为1800×=720人．
20．某公司计划购买A，B两种型号的电脑，已知购买一台A型电脑需0.6万元，购买一台B型
电脑需0.4万元，该公司准备投入资金y万元，全部用于购进35台这两种型号的电脑，设购进A型电脑x台．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量的2倍，则该公司至少需要投入资金多少万元？ 【解答】解：（1）由题意得，0.6x+0.4×（35﹣x）=y， 整理得，y=0.2x+14（0＜x＜35）； （2）由题意得，35﹣x≤2x， 解得，x≥
，
则x的最小整数为12， ∵k=0.2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=12时，y有最小值16.4，
答：该公司至少需要投入资金16.4万元．
21．数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，C，D，每张卡片的正面标有
字母a，b，c表示三条线段（如图），把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．
（1）用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；
（2）求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率． 【解答】解：（1）由题意可得，
共有12种等可能的结果；
（2）∵共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形有2种结果，
∴抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率为=．
22．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若PC=
，求四边形OCDB的面积．
【解答】解：（1）PM与⊙O相切． 理由如下：
连接DO并延长交PM于E，如图，
∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合， ∴OC=DC，BO=BD， ∴OC=DC=BO=BD， ∴四边形OBDC为菱形， ∴OD⊥BC，
∴△OCD和△OBD都是等边三角形， ∴∠COD=∠BOD=60°， ∴∠COP=∠EOP=60°， ∵∠MPB=∠ADC，
而∠ADC=∠ABC， ∴∠ABC=∠MPB， ∴PM∥BC， ∴OE⊥PM，
∴OE=OP，
∵PC为⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∴OC=OP， ∴OE=OC， 而OE⊥PC，
∴PM是⊙O的切线； （2）在Rt△OPC中，OC=
PC=
×
=1，
∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2×
×12=
．
23．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，
抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当y=0时，x﹣=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，
解得
，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m， ∴直线m的解析式为y=x． ∵点P是直线1上任意一点， ∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a． 又∵PE=3PF， ∴
=
．
∴∠FPC=∠EPB． ∵∠CPE+∠EPB=90°， ∴∠FPC+∠CPE=90°， ∴FP⊥PE．
（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．
∵CF=3BE=18﹣3a， ∴OF=20﹣3a． ∴F（0，20﹣3a）． ∵PEQF为矩形， ∴
=
，
=
，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0， ∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q（﹣2，6）．
如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．
∵CF=3BE=3a﹣18，
∴OF=3a﹣20． ∴F（0，20﹣3a）． ∵PEQF为矩形， ∴
=
，
=
，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0， ∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q（2，﹣6）．
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
