2011~2013年全国新课标数学试题试卷分析
高三数学组 周继轩
纵观2011~2013年的新课标高考数学试题，整体感觉是：试卷结构保持稳定；考查内容相对稳定，仍然遵循主干知识重点考查的原则；对能力的考查力度逐年提升。现把2011~2013年全国课标卷所考查的知识点的情况以及相邻两年的对比分析如下。 一、2011~2013年全国课标卷考查的知识点对比：
高考数学试卷考点分析
题型 题号 选择 填空 解答 21 20 19 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2013 集合 复数的运算 三角函数恒等变换 框图 平面向量（夹角） 三角函数图像平移 排列组合 线性规划 三视图 解析几何（抛物线） 函数 命题 立体几何（体积） 不等式的解法 圆锥曲线（双曲线） 概率统计（正态分布） 三角函数 等差数列 数列通项公式 数列前n项和 统计的数字特征 概率 面面垂直 二面角的大小 椭圆 圆的半径 圆的方程 函数解析式 单调区间 2012 集合 排列组合 复数的运算 命题 圆锥曲线（椭圆） 数列 框图 三视图 圆锥曲线（双曲线） 三角函数单调性 函数的图象 立体几何 函数 平面向量 线性规划 概率统计（正态分布） 数列前n项和 求角 解三角形 函数解析式 概率数字特征 线线垂直 二面角的大小 抛物线 圆的方程 点到直线的距离 函数解析式 单调区间 2011 复数的运算 函数基本性质 框图 概率 三角函数 角的终边 三视图 圆锥曲线（双曲线）离心率 二项式定理 定积分 平面向量 命题 三角函数 函数的基本性质 函数 线性规划 圆锥曲线（椭圆） 立体几何 三角函数（解三角形) 数列通项公式 数列前n项和 线线垂直 二面角的大小 概率 概率数字特征 轨迹方程 点到直线的距离 参数求值 1
22选考 23选考 24选考 不等式恒成立问题 圆的切线证明 切割线定理 中位线 直角坐标系与极坐标系间方程的转化 公共弦、参数方程 解含绝对值的不等式 恒成立、分段函数 不等式恒成立问题 最值 线线相等 三角形相似 极坐标化直角坐标 参数方程 解含绝对值的不等式 恒成立 恒成立 取值范围 四点共圆 圆的半径 轨迹方程 参数方程 解含绝对值的不等式 已知解集求参数 二、2011年与2012年全国高考课标卷的对比：
（一）题型题量稳定，难度偏大
2012年新课标全国高考数学试卷与2011年全国高考数学试卷结构相同。选择题比去年略难：填空题比去年多一个难题，特别是文科12题（理科16题）相对难度较大，超出了当前考纲对数列部分的要求，文科16题考查的只是比较灵活，也超出了文科学生的实际水平，很多考生在此题上浪费了时间、影响了情绪；解答题整体难于去年一个档次。 （二）重点热点知识，重点考查
2012年新课标全国高考数学试卷既考查全面又突出重点，考查内容涵盖了函数、数列】不等式、立体几何、解析几何、概率统计等高中数学模块，对于支撑学科知识体系的主干知识点，如函数的性质、导数的应用、空间几何体、空间直线与平面位置关系、圆锥曲线、概率、统计的考查保持了较高的比例，对于其他非主干知识点也注意适度考查，对新增内容的考查与去年比重相当，重点考查算法、三视图、概率与统计等知识点。 （三）突出应用创新，区分度大
2012年新课标全国高考数学试卷对数据处理意识要求比去年高，第15题（考查正态分布、概率计算）相比去年的第4题不论从知识还是能力上都高一个档次，第18题虽然与去年的第19题在形式上类似，但从学生答卷反馈来看，由于对阅读理解与转化要求比去年的第19题要高，所以还是要难一些。对于创新，首先是命题者的选材新，解答题个个背景新颖，如理科18题，20题，23题等，其次是立意新，如理科12题，理科16题（文科12题）文科16题，、文理科的21题，理科选修24题都为学生提供了展示创新思维的平台，这也是多数考生感觉今年数学试卷难的关键所在，也是试卷区分度高的保障。 （四）试卷结构合理，背景公平
本套试题既考查了高中数学的基本概念的理解掌握，基本问题的分析求解，又有常见的基本规律，基本结论的使用，也有各部分知识，各种数学方法的综合运用，最显著的特点是，紧扣教材，注重基础，突出考查了逻辑推理能力和思维的灵活性，严谨性以及对理性思维的
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考查，所运用的数学知识，解题方法，解题思路与解题技巧上基本没有超出高考说明的范围，注意通解通法，淡化特殊技巧，试题表达语言和表达方式符合学生的实际，通俗易懂，有助于考生的阅读理解，试题背景材料的取向贴近教材和考生的生活实际。 （五）注重数学思想，强化能力
整卷注重考查数学能力和思想方法，主要考查数形结合、化归与转化、分类与整合、函数与方程，空间想象能力、运算能力、思维能力、实践能力、如理科第4、8、10、11、12、14、20、22、23考查了数形结合思想，理科第4、5、8、11、12、13、17、20、21、23考查了函数与方程的思想；转化与化归思想几乎贯穿于每一道题目中，尤其是理科第11、12、15、16、17、21题等考查了数与形的转化，边与角的转化等，理科第16、21、24题考查了分类与整合的数学思想。
三、2012年与2013年全国高考课标卷的对比：
（一）连续两年的课标卷试题与早先的课标卷试题有很大的区别
近两年高考题中大纲卷试题的影子很多，如2012年的11题、12题、16题、所有的解答题（尤其是第17题），2013年的10题、12题、14题、和解答题；这为我们高三备考提供了一定的方向；
（二）课标卷试题文理科试题差距逐渐增大
2013年高考文理科完全相同的题只有文科第7题（理科第5题）、第11题（理科第8题）、文科第12题（理科第11题）、文科第13题（理科13题）、文科16题（理科15题）、文科21题（理科20题）、三选一试题，文科19题和理科18题为姊妹题，这为高三复习文科教师提出了更高的要求；
（三）连续两年理科试卷中数列试题没有作为解答题出现，但作为选择（2013年第12题）和填空（2012年第16题）分别成了压轴题，对数列的复习应该适当的加大难度；
（四）2013年试题在考察学生思维能力的基础上对学生的运算能力和化简变形能力的考察更为突出（如 填空题和解答题），考察学生一般方法的基础上更加体现了学生对考试答题技巧的掌握和考场心理状态的考察，如（11题和12题）；
（五）教材新增内容在连续两年的高考中连续出现，如程序框图、三视图问题；立体几何中球的接切问题（2012年理科第11题，2013年理科第6题），数列中的递推关系求通项这两部分内容的考察力度在加大，函数的图像、性质及恒成立问题是高考对函数问题考察的主流，尤其是恒成立问题在2013年高考中得到了充分的体现； 四、典型试题分析
现选取几个典型试题来对以上观点做一下印证。
（2013年第16题）、若函数f(x)=(1?x)(x?ax?b)的图像关于直线x??2对称，则
22f(x)的最大值是______.
利用一般到特殊的数学思想建立关于a,b的方程组后求出a,b，并利用导数求高次函数的最值；
由于函数f(x)=(1?x2)(x2?ax?b)的图像关于直线x??2对称
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则：??f(0)?f(?4)?b?(1?16)(16?4a?b)
?f(?1)?f(?3)?0?(1?9)(9?3a?b)22解得：a?8,b?15，则f(x)?(1?x)(x?8x?15) 解法1：高次函数求最值利用导数进行研究
f(x)?(1?x2)(x2?8x?15)，则f/(x)??4(x3?6x2?7x?2)
求导后不能直接判断导函数与0的大小关系，那么能否可以解不等式呢，我们知道高次不等式的求解往往能够因式分解，那么h(x)?x?6x?7x?2能否因式分解呢？利用特殊根的方法进行验证得到：h(0)??2,h(?1)??4,h(?2)?0，则h(x)?x?6x?7x?2中一定有一个因式x?2，则利用多项式除法进行因式分解： 学生会多项式除法吗？如果不会直接因式分解难度不小！ 即：h(x)?x?6x?7x?2?(x?2)(x?4x?1) 则f(x)??4(x?6x?7x?2)??4(x?2)(x?4x?1)，
/3223223232f/(x)?0的三个根为x1??2,x2??2?5,x3??2?5 令f(x)?0，利用序轴表根法得：
在?2?x??2?5,x??2?5时f(x)?0，则函数f(x)单调递增； 在x??2?5,x??2?5时f(x)?0，则函数f(x)单调递减 则f(x)极大值?f(?2?5)?f(?2?5)?16 计算量不小，但结果非常完美！
解法2：函数有对称轴x??2，则?2一定是函数的一个极值点即：f(?2)?0
则，f(x)??4(x?6x?7x?2)一定能够因式分解，且一定含有一个因式x?2，利用多项式除法从而得：f(x)??4(x?6x?7x?2)??4(x?2)(x?4x?1)，其余同【方法1】
解法3：把握函数结构特征，直接对函数f(x)因式分解利用整体代换求最值
/322/32////f(x)?(1?x2)(x2?8x?15)??(x?1)(x?1)(x?3)(x?5)??(x2?4x?3)(x2?4x?5)
令t?x?4x?(x?2)?4??4， 则f(t)??(t?3)(t?5)??(t?1)?16
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222
当t?1时，f(t)max?16?f(x)max?16 学生解题存在的问题：
（1）不能够通过两组特殊值得到a,b的方程组从而求出a,b，而是总想只利用一组特殊值建立a,b的等量关系后通过减元进行处理
（2）求出a,b后不能对导函数进行因式分解，一是不会利用特殊值找根，二是不能够利用
f/(?2)?0对高次不等式进行因式分解；
（3）求出单调区间后求极大值时（f(x)极大值?f(?2?5)?f(?2?5)?16）由于运算量大导致错误。
??x2?2x,x?0（2013年11题）已知函数f(x)=?，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是
?ln(x?1),x?0A.(??,0] B.(??,1] C.[?2,1] D.[?2,0]
解法1：注意到x?0时函数f(x)为二次函数的结构特征，因此采用特殊到一般的思路得到部分答案，利用答案C、D的区别验证1是否满足即可：
?x2?2x,x?0?x?0?x?0∵|f(x)|=?，∴由|f(x)|≥ax得，?2且?，
?ln(x?1),x?0?x?2x?ax?ln(x?1)?ax?x?0由?2可得a?x?2，则a≥-2，排除Ａ，Ｂ，
x?2x?ax?当a=1时，易证ln(x?1)?x对x?0恒成立，故a=1不适合，排除C，故选D. 解法2：数形结合法，即作出函数f(x)的图象，利用图象直观得到答案：
作出函数y?|f(x)|的图象，如图，|f(x)|?ax恒成立，需函数y?|f(x)|的图象永远在函数y?ax图象的上方，而函数y?ax图象是一条过原点的直线，图中的两条红线均不满足要求，而蓝线表示函数y?x?2x(x?0)在原点处的切线，此时切线的斜率为?2，则a的取值范围为[?2,0].
备注：在利用数形结合解决问题时，部分同学对斜率大于0的红线产生疑问，即当0?a?1且a很小时，在y轴的左侧满足|f(x)|?ax，在y轴的右侧是不是也满足|f(x)|?ax？
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2y y?|f(x)|
O x
y?ax
