行列式的例题
一．直接用行列式的性质计算行列式 1．试证明
b?cb1?c1b2?c2c?ac1?a1c2?a2a?babb1b2cc1证明：先用行列式的加法性质拆第一列，c2a1?b1?2a1a2?b2a2再用初等变换化简得
b左?b1b2b?b1b2b?b1b2b?b1b2c?ac1?a1c2?a2c?ac1?a1c2?a2cc1c2cc1c2aa?bcc?ac1?a1c2?a2aa1a2aa1a2cc1c2bb1 b2aa?ba1?b1 a2?b2a?ba1?b1a2?b2a1?b1?c1a2?b2acc2
a1?c1a2cc2a1?c1a2ac2bbcc1c2aa1=右 a2a1?b1a2b2a1 ?2b1a2b2
2．计算n阶行列式
a1?b1Dn?a2?b1an?b1a1?b2a2?b2?an?b2????an?bna1?bna2?bn
解：当n=1时，D1=a1+b1 ， 当n=2时，D2=（a1+b1）（a2+b2）-（a1+b2）（a2+b1） =（a1-a2）（b1-b2）
当n≥3时,将第一行乘（-1）加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即
a1?b1a2?a1Dn?a3?a1?an?a1a1?b2a2?a1a3?a1?an?a1????a1?bna2?a1a3?a1?0 ?an?a1综上所述
a1?b1,??Dn??(a1?a2)(b1?b2),?0,?n?1n?2 。 n?3 3． n阶行列式D中每一个元素aij分别用数bi-j(b≠0)去乘得到另一个行列式D1 ，试证明D1=D 。 证明： 首先将行列式D的每行分别提出b1,b2…,bn，再由每列分别提出b-1,b-2…,b-n可得
a11bD1?a21b?an1bn?11?12?1a12ba22b?an2b1?1?11?22?2??a1nba2nb?annb?2?21?n2?n
n?nn?2?
a11bb?a21bb?an1bbn?12a12bba22bb?an2bba11b?1?1n21??a1nbba2nbb?annbb??n21?n?n
?n?2??2?2a12ba22b?an2ba1nba2nb?annba12a22?an2?n?n ?(bb?b)12na21b?an1b
?n?1?2?a11?(bb?b)(bb12n?1?2??a1na2n?ann?b?n)a21?an1
?a11?a21?an1a12a22?an2??a1na2n?ann?D
?
15252263552543412532,求 134．已知A?324
（1）A51+2A52+3A53+4A54+5A55；
（2）A31+A32+A33及A34+A35 。 解：由行列式的性质可知
1525354353 (1) A51+2A52+3A53+4A54+5A55=32542?02122231415
(2)
152552635225355254311243312531?0 13533?0 135A31+5A32+5A33+3A34+3A35 =52415252262A31+2A32+A33+A34+A35 =224解出A31+A32+A33=0，A34+A35 =0 。
二．利用行列式的性质化为上（下）三角形行列式计算 1． 计算n阶行列式
x?1xDn?anan?1?1??x?a2?1a1?x
解：(解法1) 依次按第i列的x倍加到第i-1列去（i=n,n-1,?,2），再将最后1行依次换到第一行得
?1?1Dn?x?a1xnn?1???1???an?a1?xxn?an?11x???an?a1?x?1?(?1)n?1?
??1= xn+a1xn-1+…+an .
（解法2） 直接按第n行展开
Dn=an(-1)n+1(-1)n-1+an-1(-1)n+2x(-1)n-2+…
+(-1)n+n(a1+x)xn-1
=an+an-1x+…+a1xn-1+xn
（解法3）递推法，按第一列展开得 Dn=xDn-1+an(-1)n+1(-1)n-1=xDn-1+an
= x(Dn-2+an-1)+an=…= xn-1D1+a2xn-2+…+an = xn-1(a1+x)+a2xn-2+…+an = xn+a1xn-1+a2 xn-2+…+an 。
2．计算n阶行列式
123?n234?1Dn?????。
n?1n1?n?2n12?n?1解：依次将第i行乘（-1）加到第i+1行（i=n-1,n-2,?,1），再将第2，3，?，列全加到第1列。
123?n111?1?nDn?????
111?n?111?n1?1n(n?1)223?n011?1?n?????
011?n?101?n1?111?1?n?n(n?1)???211?n?1
1?n1?1n 再将n-1阶行列式的第1行乘（-1）加到其余各行后，将第1，2，?，n-2列全加到第n-1列，得
1Dn?n(n?1)2?n1?n(n?1)2?n?1??n?1??n1?nn?n?1
=n(n+1)/2 (-1) (n-1)(n-2)/2(-n)n-2(-1) = n(n+1)/2 (-1)(n-1)n/2 nn-
2
三．利用递推法计算行列式
1． 计算n阶行列式
a?x?yDn?0?0ax?y?0a0x?0????a00??ya00 ?x解： 将行列式按第n列展开，可得
?y1?nx?yx??x?yDn?xDn?1?a(?1)
=xDn-1+ayn-1
∴Dn= xDn-1+ayn -1=x(xDn-2+ayn-2)+ ayn-1=? =xn-1D1+ayn -1+ayn-2x+ ?+ayxn-2 =xn+a(xn-1+xn-2y+?+xyn-2+yn-1) 注：此题可按第一行展开即得结果。
2．计算n阶行列式
???1Dn?0?0?????1?00???000?000???????0
?1???解： 将行列式按第一行展开，可得 Dn=(a+β)Dn-1 - aβDn-2
∴Dn-aDn-1 = β(Dn-1 - aDn-2)=β2(Dn-2 - aDn-3)= …
=β n-2(D2 -aD1)
∵D1=a+β , D2 = (a+β)2 – aβ ,
∴Dn-aDn-1 = β n , Dn-1 - aDn-2 = β n-1 , … , D2 - aD1 = β 2, 将上述n-1个子式分别乘1 , a , a2, ? ,an-2后再相加得 Dn = an-1D1 + β n +a β n-1 + … + an-2 β 2
= an+an-1 β+an-2 β 2 + … + a β n-1+ β n .
四．利用范德蒙行列式计算和证明 1． 计算n阶行列式
aaDn?1?n(a?1)(a?1)?a?11n??(a?n)(a?n)?nn?1n?1n?1?a1。
??a?n1解： 把Dn+1的第n+1行换到第1行，第n行换到第2行，?，同时将Dn+1的第n+1列换到第1列，第n列依次换到第2列，?，再有范德蒙行列式，得
1Dn?1?a?n?(a?n)n1a?n?1?(a?n?1)n??1a?n
?a ?n!(n?1)!?2!?
2．已知方程
1?111111x124x2?1?j?i?n?1(i?j)。
1315x31?211111x124x21515x31?101122x145x21812x3?0，求x 。
解：由行列式的加法性质，原方程可化为
1121x123x149x2144x21815x1827x331?10111248122x13927145x21812x1xxx233
111
1?111?111
=(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。
五．行列式的应用
1． 证明三条不同的直线ax+by+c=0 , bx+cy+a=0 , cx+ay+b=0 相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0。 证明 先证“必要性”：设三直线交于一点，即方程组
?ax?by?cz?0?，即方程组有非零解， ?bx?cy?az?0 有一解（x0 ,y0 ,1）
?cx?ay?bz?0?abcaca?0 ba?b?ccaa?b?cab11c?ba?c1a?b b?c由克莱姆法则知bcabcaca?b1?(a?b?c)bc1caa?b?cbc1即bc
a?(a?b?c)0b0=(a+b+c)[(c-b)(b-c)-(a-c)(a-b)] =(a+b+c)(ab+ac+bc-a2-b2-c2)
= - (a+b+c)/ 2[(a-b)2 +(b-c)2 +(a-c)2)]=0
当a=b=c时等号成立，这时与三直线互异矛盾。 故只能a+b+c=0 . 再证“充分性”：
abcaca?0 b当a+b+c=0时，bc?ax?by?cz?0?即?bx?cy?az?0有非零解，不妨取（x0 ,y0 ,1），所以三直线有交点，而三直线?cx?ay?bz?0?互异，故必有唯一交点。
2．求一个一元二次多项式f(x)，使满足f(1)=0,f(2)=3,f(-3)=28 。 解： 设所求多项式为f(x)=ax2+bx+c ，
由条件f(1)=0,f(2)=3,f(-3)=28知，成立线性方程组
?a?b?c?0??4a?2b?c?3 ?9a?3b?c?28?112?31D2?4903281012?312?311??40, 103??20 28这时，A?491??20,D1?3112811?60,D3?419由克莱姆法则，得a=2,b= -3,c=1，知f(x)=2x2 - 3x+1。
