2007年7月试卷及答案
一、 单项选择题（每小题3分，共15分）
1．在下列各项中， 是集合X到集合Y的双射. (A) 设X?{1,2,3},Y?{2,4,6,16}，定义?(x)?2x,x?X； (B) 设X?{1,2,3,?},Y为有理数集合，定义?(x)?x2,x?X； (C) 设X是Pn?n，Y是数域P，定义?(A)?A，A?X；
(D) 设X是一集合，Y=X，定义?(x)?x,x?X.
2．设{ε1,?,εn}与{η1,?,ηn}为两组基，且有{η1,?,ηn}={ε1,?,εn}A，已知向
量?在基{ε1,?,εn}下的坐标为X?(x1,?,xn)'，则该向量在基{η1,?,ηn}下坐标为 .
(A) A?1X； （B）AX； （C）X； （D） XA
3．设线性变换A在基{ε1,?,εn}下的矩阵为A，向量?在基{ε1,?,εn}下的坐标
为X?(x1,?,xn)'，则A?在基{ε1,?,εn}下的坐标为 . (A) A?1X； （B）AX； （C）X； （D） XA
4．设ε1,ε2,ε3是3维欧氏空间的一组标准正交基，向量?和?在这组基下的坐
标分别为X?(x1,x2,x3)'和Y?(y1,y2,y3)'，则(?,?)? . (A) XY'； （B）0； （C）X'Y； （D） 不定 5．下列各叙述中， 是正确的. (A) 有相同特征多项式的矩阵是相似的；
(B) 线性变换A在某一组基下的矩阵成对角形的充分必要条件是A的不同特征
值个数等于空间的维数；
(C) 数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数； (D) 不同基的度量矩阵是相似的.
二、填空题（每空3分，共15分）
1．Pn?n中全体上三角矩阵作成的数域P上的线性空间的维数是 .
2．V1和V2是8维线性空间V的两个子空间，其中V=V1+V2，而且V1和V2的维数
分别为4和6，那么V1?V2的维数是 . 3．数域P上n维线性空间V的全部线性变换组成的集合L(V)对于线性变换的加
法和数量乘法构成P上一个线性空间，则该线性空间的维数是 . 4．设线性变换A在基{ε1,?,εn}下矩阵为A，且已知由基{ε1,?,εn}到基
{η1,?,ηn}的过渡矩阵为B，则A在基{η1,?,ηn}下矩阵为 . 5．实数域R上n维欧氏空间V的一组基{ε1,?,εn}的度量矩阵为A，且已知由基
{ε1,?,εn}到基{η1,?,ηn}的过渡矩阵为B，则基{η1,?,ηn}的度量矩阵为 .
三、计算题（每题6分，共18分）
1．在P4中，求由基?1,?2,?3,?4到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵，其中
??1?(4,3,2,1),?2?(3,3,2,1)， ???(22,2,1),??(1,1,1,1)4?3
??1?(1,1,0,1),?2?(0,1,0,1). ???(1,0,1,1),??(0,1,1,0)4?3??1?(1,2,1,0)2．求子空间L(?1,?2)?L(?1,?2)的基与维数，其中?，
??(?1,1,1,1)?2??1?(2,?1,0,1). ???(1,?1,3,7)?2
3．五个函数ε1?1,ε2?sinx,ε3?cosx,ε4?sin2x,ε5?cos2x的所有实系数线性组合构成实数域上一个五维线性空间.求微分变换D在基εi(i?1,?,5)下的矩阵.
四、（7分）
设ε1,ε2,ε3,ε4是四维线性空间V的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩
0?1???12阵为?12??2?2?
21??13?. (1) 求A的核与值域；(2) 求核的一组基及值域的一组基. ?55?1?2??五、判断题（每题5分，共10分）
1．全体二维实向量集合V按如下定义的加法与数量乘法：
k(k-1)2a)构成线性空间。(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d+ac),k?(a,b)=(ka,kb+判断2a(a?1)W?{α?(a,)α?V}是否构成子空间？并给出理由.
2
2．设α?(a1,a2),β?(b1,b2),为二维实空间R2中的任意两个向量。判断由
(α，β)?a1b1?a2b2所定义的二元实函数是否构成内积？并给出理由. 六、（15分）
用正交线性替换化下面二次型为标准形.
222x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3
七、证明题（每题5分，共20分）
1．如果c1α?c2β?c3γ?0，且c1c3?0，证明：L(α,β)?L(β,γ).
2．设A是n维欧氏空间V的一个线性变换，则A是正交变换的充分必要条件是若ε1,ε2,?,εn是标准正交基，那么Aε1，Aε2，?，Aεn也是标准正交基.
3．设η是欧氏空间中一单位向量，定义Aα=α?2(η,α)η，求证：A为线性变换.
4．设V1，V2是n维欧氏空间V的线性子空间，且V1的维数小于V2的维数. 证明：
V2中必有一非零向量正交于V1中一切向量.
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答案
一、D，A，B，C，C
二、1、(n+1)n/2 2、 2 3、n2 4、B?1AB 5、B'AB
三、1、解：
???(1,0,0,0),?2?(0,1,0,0) 取基?1，则有
??3?(0,0,1,0),?4?(0,0,0,1)?4??3(?1,?2,?3,?4)?(?1,?2,?3,?4)?2??1?321??1??321??1，(?,?,?,?)?(?,?,?,?)12341234?221?0???1111???321??321?221??111???1010??101?011??110???4??3则(?1,?2,?3,?4)?(?1,?2,?3,?4)?2??1??1??1?0??1?010??0?11?1????101?2?21??1?(?1,?2,?3,?4)?011??2?211??????110?21?1??2?2、解： 令交的向量??k1?1?k2?2?l1?1?l2?2则
?k1?k2?2l1?l2?0?2k?k?l?l?0?1212，其通解为k1??t,k2?4t,l1??3t,l2?t(t任意) ?k?k?3l?022?1??k2?l1?7l2?0则???t?1?4t?2?t(?5,2,3,4)，故交是一维的，且(?5,2,3,4)是一组基 3、解：
Dε1?0, Dε2?cosx, Dε3??sinx, Dε4?2cos2x, Dε5??2sin2x,
?0??0所以有 D(ε1,ε2,ε3,ε4,ε5)?(ε1,ε2,ε3,ε4,ε5)?0??0??0000?110000000??00?00? ?0?2??20?四、解： 记A（ε1,ε2,ε3,ε4）=（ε1,ε2,ε3,ε4）A
先求A的核：设??A的核，其在基ε1,ε2,ε3,ε4下坐标为(x1,x2,x3,x4)'，A?在基ε1,ε2,ε3,ε4下坐标为(0,0,0,0)'，于是A(x1,x2,x3,x4)'=(0,0,0,0)' 该方程组的通解为
x1??2t1?t2,x2??3/2t1?2t2,x3?t1,x4?t2(t1,t2任意)
于是
??(?2t1?t2)?1?(?3/2t1?2t2)?2?t1?3?t2?4?t1(?2?1?3/2?2??3)?t2(??1?2?2??4)
故?1?(?2?1?3/2?2??3),?2?(??1?2?2??4)是A的核的生成元 再求A的值域：AV=L(A?1, A?2, A?3, A?4)
?1?(?2?1?3/2?2??3),?2?(??1?2?2??4)就是核的一组基
由于A的秩为2，且A的前两列是一个极大线性无关组，所以 A?1=?1-?2+?3+2?4和A?2=2?2+2?3-2?4是值域的一组基 五、1、解： W非空；设α?(a,则α?β?(a?b, kα?(ka,ka(a?1)b(b?1))?W，β?(b,)?W 22a(a?1)b(b?1)(a?b)(a?b?1)??ab)?(a?b,)?W 222a(a?1)k(k?1)2ka(ka?1)?a)?(ka,)?W 222由于加法与数量乘法均封闭，则构成子空间.
2、解：
设α?(1,2)，则(α，α)?1?4??3?0所以不构成内积 六、解：
?1?22??? A???2?24?,?E?A?0??1??2?2,?3??7
?24?2?????2??2?????把??2代入到(?E?A)X?0中，得基础解系为?1??1?,?2??0?
?0??1??????2?(?2,?1)1???1??4? 正交化：?1??1,?2??2?(?1,?1)5???5???2??2?1??1??1,??单位化：?1???2?4? 5??35??0???5??1?
???????7把代入到(?E?A)X?0中，得基础解系为3?2?
??2???
??2/52/(35)1/3??1???1??单位化：?3??2?，令T??1/54/(35)2/3?，则X?TY
3?????0?5/(35)?2/3??2???222使得有2y1 ?2y2?7y3七、1、证明：α,β与β,γ这两个向量组互相线表，即等价，所以生成空间相同.
?1,当i?j时2、证明：必要性：由正交变换知（Aεi，Aεj）=（εi，εj）=?故
?0，当i?j时Aε1，Aε2，?，Aεn也是标准正交基. 充分性：设??(?1,?,?n)X,??(?1,?,?n)Y
A?? （Aε1，Aε2，?，Aεn）X，A?? （Aε1，Aε2，?，Aεn）Y 所以(?,?)?X'Y?（A?，A?），故A是正交变换 3、证明： 首先，A为变换.
且满足A(α?β)?α?β?2(η,α?β)η?α?2(η,α)η?β?2(η,β)η? Aα+ Aβ
A(kα)?kα?2(η,kα)η?k(α?2(η,α)η)?kAα，因此A为线性变换. 4、证明：
V?V1?V1?,设dimV1?s,dimV2?t,t?s,dimV1??n?s,令V3?V2?V1?,n?dim(V2?V1?)?dimV2?dimV1??dimV3?t?n?s?dimV3 所以dimV3?t?s?0?V3?{0},取0?α?V3?V2，α与V1中一切向量正交.
??2/52/(35)1/3??1???1??单位化：?3??2?，令T??1/54/(35)2/3?，则X?TY
3?????0?5/(35)?2/3??2???222使得有2y1 ?2y2?7y3七、1、证明：α,β与β,γ这两个向量组互相线表，即等价，所以生成空间相同.
?1,当i?j时2、证明：必要性：由正交变换知（Aεi，Aεj）=（εi，εj）=?故
?0，当i?j时Aε1，Aε2，?，Aεn也是标准正交基. 充分性：设??(?1,?,?n)X,??(?1,?,?n)Y
A?? （Aε1，Aε2，?，Aεn）X，A?? （Aε1，Aε2，?，Aεn）Y 所以(?,?)?X'Y?（A?，A?），故A是正交变换 3、证明： 首先，A为变换.
且满足A(α?β)?α?β?2(η,α?β)η?α?2(η,α)η?β?2(η,β)η? Aα+ Aβ
A(kα)?kα?2(η,kα)η?k(α?2(η,α)η)?kAα，因此A为线性变换. 4、证明：
V?V1?V1?,设dimV1?s,dimV2?t,t?s,dimV1??n?s,令V3?V2?V1?,n?dim(V2?V1?)?dimV2?dimV1??dimV3?t?n?s?dimV3 所以dimV3?t?s?0?V3?{0},取0?α?V3?V2，α与V1中一切向量正交.
