得分 评阅人 一、填空题
（共8小题，每小题2分，共16分）
1．4阶行列式D?aij的展开式中，项a21a32a43a14前面所带的符号为 负 2. 设A为3阶方阵，且A=2， 则?2(A*)? -32
3. 设A为3阶方阵，且A的特征值为1，-2，3，则(A)?1?4E? 60
614. 如果?1?2?2?3?3?0,则向量组?1,?2,?3,?4一定线性 相关 。 5. 已知n阶矩阵A 满足A2?3A?E?0， 则 (A?E)?1? A?2E ?0?6. 已知矩阵A??a?1?0101??b?可对角化， 则a,b满足的条件是 a?b?0 0???2??7. 设向量??(1,2,3), 则 214 8. 设A为n阶方阵, 且n元齐次方程组AX?0有非零解, 则A必有一
个特征值为____0_____。 得分 评阅人 二、选择题
（共9小题，每小题2分，共18分）
1.
?1矩阵??20??的伴随矩阵是（ ?5???1?02?? ?5?0???5?B ）
??5??20??1?(A). ?
(B). ?
(C). ?
?1??2
(D). ??5?20?? ?1?2. ??2是可逆矩阵A的特征根，则矩阵(A2)?1必有一特征根为（ B ）
31 (A).
43 (B).
34 (C).
12 (D).
413. 设A,B是n阶矩阵，则下列叙述错误的是（ A ）
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(A). ?A?B??A2?2AB?B2 (C). ?AB??BTAT
4. 下列矩阵中不能对角化的是: （ D ）
?3? (A). ?2?3?2053??5. (B). ?0???0?0??0?210T2 (B). AB?AB (D).
?A?B?AnB
3??5. (C). ?3???0??1?0?0020??0?. (D). 3???3?2??3?0000??0. ?0??
5. 如果n阶方阵A与B相似，则下列结论不正确的是（ A ） (A). A与B有相同的特征向量. (B). A与B有相同的秩. (C). A与B有相等的行列式. (D). A与B有相同的特征值.
6. 下列矩阵中，可对角化的矩阵为（ A ） (A). 实对称矩阵 (B). 可逆矩阵
(C). 有n个特征值的矩阵 (D). 不可逆矩阵.
7. 若n阶矩阵A满足r(A)?r?n，则下列叙述错误的是（ B ）
(A).A*的每个列向量都是AX?0的解. (B).A中任意r个列向量都线性无关. (C).A中任意多于r个列向量都线性相关. (D). 0是A的特征值。
8. 设?0是可逆矩阵A的一个特征值，则（ D ）。
(A). ?0可以是任意的一个数 ; (B). ?0?0; (C). ?0?0; (D).
1?0A是A?的特征值。
9. 设?1,?2是非齐线性方程组 AX?B 的两个不同解, ?1,?2 是其导出组的基
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础解系, k1,k2 是任意常数, 则AX?B的通解必是 ( B ) (A). k1?1?k2(?1??2)??1??22. (B). k1?1?k2(?1??2)??1??22
(C). k1?1?k2(?1??2)?得分 评阅人 ?1??22 (D). k1?1?k2(?1??2)??1??22.
三、计算题
（共6小题，每小题9分，共54分）
abbab...bbbba...bb..................bbb...abbbb...ba1. 计算n阶行列式的值.D?b...bb
11D??a?(n?1)b?1...1111??a?(n?1)b?1...11bab...bb0a?b0...00bba...bb00a?b...00..................bbb...ab..................bbb...ba000...a?b0000...0a?b
……….5分
??a?(n?1)b?(a?b)n?1 ………….. 9分
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暨南大学《线性代数引论》（理工）试卷A 考生姓名、 学号：
?2?2. 求矩阵A?1??1??2?解：?A,E??1?4?5?1?4?51??2的逆矩阵. ?1??1210010??0 4分 ????1?11001??
?1?11???222?A?1???1?11????662? ???21?1??33???x1?5x2?x3?x4??1?3. 求线性方程组?x?1?2x2?x3?3x4?3?3x1?8x2?x的通解。
3?x4?1??x1?9x2?3x3?7x4?7??1031313??777?解：?A,b???2?4?4???01??777?， ……….5分 ?00000????00000???x?13313 同解方程组??1?7?7x3?7x4
???x?4242?7?7x3?7x4T特解???13?4??07,7,0,0???
基础解系???32?T??T770134?,??1??,,1,2??,,0,1?
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9分 暨南大学《线性代数》（理工）试卷A 考生姓名、 学号：
通解???0?c1?1?c2?2,??c1,c2?R? ……….9分
4. 求向量组?1?(2,4,2),?2?(1,1,0),?3?(2,3,1)?,4?(3,5的一个极大线,2).性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示：
??1???0?0??0101210
?1??1?， ……….5分 0???TTT解：A???1T,?2,?3,?4?
?1,?3??2是一个极大线性无关组，
12?1??2,?4??1??2. ……….9分 0302??0的一个特征值?1?0，求x和A的其它特征值。 ?2???x?5. 设矩阵A??0?2?解 x?3?2?0??2??3
A?0?x?2 ……….5分
?I?A?????3????4???2?3,?3?4 ……….9分
6．求矩阵A的全部特征值和特征向量，并判定A能否相似于对角矩阵, 其中
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暨南大学《线性代数引论》（理工）试卷A 考生姓名、 学号：
??1?A??4??1?1300??0 ?2??解：?I?A?0得 ?1??2?1,?3?2 ……….3分 当?1??2?1时，??1I?A?x?0的一个基础解系为v1??1,矩阵A对应于?1??2?1的特征向量为c1v12,?1?，所以
T(c1?0) ……….5分
当?3?2时，??3I?A?x?0的一个基础解系为v2??0,对应于?3?2的特征向量为c2v2(c2?0) ……….7分
0,1?，所以矩阵A
T由于A只有两个线性无关的特征向量，所以不能与对角矩阵相似。……….9分
得分 评阅人 四、证明题
（共2小题，每小题6分，共12分）
1. 已知向量组?1,?2,?3线性无关，?1??1??2,?2??2??3,?3??3??1，求证
?1,?2,?3线性无关.
证明：令 k1?1?k2?2?k3?3?k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??1)?0
?1?(k1?k?)即 (k1?k3)22?(k2?k?)3?03
由?1,?2,?3线性无关得，(k1?k3)?0,(k1?k2)?0,(k2?k3)?0………3分. 即 k1?k2?k3?0, 即?1,?2,?3线性无关………………………….6分
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2. 设?是一个非零列向量，A?E?2??T，若A是正交矩阵，求证?是单位向量。
证明：ATA??E?2???E?4?????TTTT??E?2?????E?2????E?2???
TTTTT?4????TT?E?4??TTT?4??????TTT?E ………..3分
??????????????????1
……………..….6分
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