1.8 匀变速直线运动规律的应用 第三课时
[目标定位] 1.会分析简单的追及和相遇问题.2.理解直线运动的xt图象和vt图象．
Δv1．加速度的定义式：a＝. Δt2．匀变速直线运动的公式 (1)速度公式：v＝v0＋at； 12
(2)位移公式：x＝v0t＋at；
2(3)速度位移公式： v－v0 ＝2ax. 3．运动图象
(1)xt图象：表示做直线运动物体的位移随时间变化的规律．图象的斜率表示该时刻物体的速度．
(2)vt图象：表示做直线运动物体的速度随时间变化的规律．图象的斜率表示加速度，图象与时间轴所围的面积表示位移.
一、追及和相遇问题
追及和相遇问题是匀变速直线运动规律的典型应用．两物体在同一直线上运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者是距离为零的情况，这类问题称为追及和相遇问题，讨论追及和相遇问题的实质是，两物体能否在同一时刻到达同一位置． 1．讨论追及和相遇问题要抓住一个条件、两个关系
(1)一个条件：速度相等．是讨论两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，这是解题的切入点．
(2)两个关系：时间关系和位移关系．其中通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口．
若同时出发，则两物体时间相等，则需要列速度相等方程和位移关系方程． 2．解答追及与相遇问题的常用方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系．
(2)图象法：将两者的速度—时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解．
(3)数学极值法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，
1
2
2
用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相碰．
例1 一辆汽车以3 m/s的加速度开始启动的瞬间，另一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过．
(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？
(2)当v汽
解析 (1)因为汽车做加速运动，故汽车一定能追上自行车．汽车追上自行车时，两者位移122v自2×6
相等，x汽＝x自，即at＝v自t，得：t＝＝ s＝4 s
2a3
2
v汽＝at＝3×4 m/s＝12 m/s.
(2)开始阶段，v汽
＝v自时，两者距离最大．
设经过时间t1，汽车速度等于自行车速度，则
at1＝v自，
代入得t1＝2 s
此时x自＝v自t1＝6×2 m＝12 m
22
x汽＝at1 ＝×3×2 m＝6 m
1
212
最大距离Δx＝x自－x汽＝6 m. 答案 见解析
借题发挥 讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置的问题．
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断此类问题的切入点．
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到．
针对训练 2013年冬季河北地区出现严重的雾霾天气，能见度很低，给交通带来很大的障碍．已知A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度v1＝10 m/s，B车在后，速度v2＝30 m/s，B车在距A车x0＝75 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过S＝180 m才能停下来．
(1)B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？
(2)若相撞，求B车从开始刹车到两车相撞用多少时间？若不相撞，求两车的最小距离？ 解析 (1)设B车加速度大小为aB，刹车至停下来的过程中，由v2＝2aBx 解得：aB＝2.5 m/s
2
2
2
B车在t时刻的速度为vB＝v2－aBt B车的位移xB＝v2t－aBt2 A车的位移xA＝v1t
当两车速度相等时，vB＝v1 解得：t＝8 s
将t＝8 s代入得xB＝160 m，xA＝80 m 因xB＞ xA＋x0＝150 m 故两车会相撞
(2)设两车经历时间t相撞，则满足xB＝xA＋x0 联立得：t1＝6 s，t2＝10 s 故6 s就相撞了．
答案 (1)两车会相撞 (2)6 s时相撞 二、运动图象问题
在运动学中，图象主要是指xt图象和vt图象．
1．xt图象：图象上某点切线的斜率表示该时刻物体的速度，图象上一个点对应物体某一时刻的位置．
2．vt图象：图象上某点切线的斜率表示该时刻物体的加速度，图象上一个点对应物体某一时刻的速度；某段时间，图线与时间轴围成图形的面积值表示该段时间内物体通过的位移的大小．
3．形状一样的图线，在不同图象中所表示的物理意义不同，因此在应用时要特别注意看清楚图象的纵、横轴所描述的是什么物理量．
例2 如图1所示，表示一质点在6 s内的xt图象，试据此分析质点的运动情况并画出它的vt图象．
1
2
图1
解析 xt图象上直线斜率表示速度，所以 6 m－0
0～2 s的速度v1＝＝3 m/s
2 s2～4 s的速度v2＝0
－6 m－6 m
4～6 s的速度v3＝＝－6 m/s
2 s
3
质点的运动情况：0～2 s内做匀速直线运动，速度大小为3 m/s，2 s末离开出发点6 m；2～4 s内物体静止于离出发点6 m处；4～5 s质点反方向做匀速直线运动，速度大小为6 m/s,5 s末回到出发点，5～6 s质点继续以6 m/s的速度反方向做匀速直线运动，6 s末位移为－6 m．vt图象如图所示． 答案 见解析
针对训练 若将图1中的纵坐标由“x”改为“v”，即如图2所示．
图2
(1)试分析各段的运动情况； (2)画出它的at图象．
Δv16－022
解析 质点在0～2 s内加速度a1＝＝ m/s＝3 m/s，方向为正方向，做匀加速直
Δt12Δv3
线运动；在2～4 s内加速度a2＝0，做匀速直线运动；在4～6 s内加速度不变，a3＝＝
Δt3－6－622
m/s＝－6 m/s，方向为负方向，这段时间内质点先做正方向的匀减速直线运动， 2后做负方向的匀加速直线运动． (2)如右图
答案 (1)0～2 s内做正方向的匀加速直线运动 在2～4 s内做匀速直线运动 4～6 s内先做正方向的匀减速直线运动，后做负方向的匀加速直线运动 (2)见解析
针对训练 (2013辽宁高一期末)在如图3所示的位移(x)—时间(t)图象和速度(v)—时间(t)图象中，给出的四条图线甲、乙、丙、丁分别代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是( )
图3
A．t1时刻，乙车追上甲车
4
B．0～t1时间内，甲、乙两车的平均速度相等 C．丙、丁两车在t2时刻相遇
D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等
解析 它们由同一地点向同一方向运动，在t1时刻前，甲的位移大于乙的位移，在t1时刻甲、乙位移相等，则A正确；在t1时刻两车的位移相等，由v＝，甲、乙两车0～t1时间内平均速度相等，B正确；由图象与时间轴围成的面积表示位移可知：丙、丁两车在t2时刻面积差最大，所以相距最远，C错误；0～t2时间内，丙的位移小于丁的位移，时间相等，平均速度等于位移除以时间，所以丙的平均速度小于丁的平均速度，故D错误． 答案 AB
追及和相遇问题
1．当交叉路口的绿灯亮时，一辆客车以a＝2 m/s 的加速度由静止启动，在同一时刻，一辆货车以10 m/s的恒定速度从客车旁边同向驶过(不计车长)，则： (1)客车追上货车时离路口多远？
(2)在客车追上货车前，两车的最大距离是多少？
12
解析 (1)客车追上货车的过程中，两车所用时间相等，位移也相等，即v2t1＝at1 ，代入
21212
数据解得t1＝10 s，x＝at1 ＝×2×10 m＝100 m.
22
(2)两车距离最大时，两车应具有相等的速度，即v2＝at2，代入数据解得t2＝5 s．Δx＝v2t21212
－at 2＝10×5 m－×2×5 m＝25 m. 22答案 (1)100 m (2)25 m
2．(2013贵州期中)在高速公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车．请分析一下，我国高速公路的最高车速限制为108 km/h.设某人驾车正以最高时速沿平直高速公路行驶，该车刹车时产生的加速度大小为5 m/s，司机的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时间)为0.5 s．计算行驶时的安全车距至少为多少？
解析 本题运动情景图如图所示，汽车原来的速度v＝108 km/h＝30 m/s.在反应时间t＝0.5 s内，汽车做匀速直线运动的位移为s1＝v0t1＝30×0.5 m＝15 m
2
2
xt
5
0－30
刹车后，汽车做匀减速直线运动，滑行时间为t2＝ s＝6 s，汽车刹车后滑行的位移为
－5
22
s2＝v0t2＋at 2＝30×6 m＋×(－5)×6 m＝90 m，所以行驶时的安全车距应为s＝s1＋s2
1
212
＝15 m＋90 m＝105 m. 答案 105 m
运动图象问题
3．(2013四川宜宾期中)某物体沿水平方向做直线运动，其vt图象如图4所示，规定向右为正方向，下列判断正确的是( )
图4
A．在0～1 s内，物体做曲线运动
B．在1～2 s内，物体向左运动，且速度大小在减小 C．在1～3 s内，物体的加速度方向向左，大小为4 m/s D．在3 s末，物体处于出发点右方
解析 运动图象只能表示直线运动， 1～2 s内，物体向右运动；1～3 s内，由斜率可知物体的加速度方向向左，大小为4 m/s；由图象面积可知在3 s内，物体为正位移． 答案 CD
4．我国“蛟龙号”深潜器经过多次试验，终于在2012年6月24日以7020 m深度创下世界最新纪录(国外最深不超过6500 m)，这预示着它可以征服全球99.8%的海底世界．在某次实验中，深潜器内的显示屏上显示出的深度曲线如图5a所示、速度图象如图5b所示，则下列说法中正确的是( )
2
2
图5
A．图中h3是本次实验下潜的最大深度
B．本次实验中深潜器的最大加速度是0.025 m/s
2
6
C．在3～4 min和6～8 min的时间段内深潜器具有向上的加速度 D．在6～10 min时间段内深潜器的平均速度为0
解析 根据(a)深度显示，可以直接看出蛟龙号下潜的最大深度是h3，A正确；根据速图象可以求出各时间段蛟龙号的加速度， 0～1 min内蛟龙号的加速度
a1＝
－2 m/s－012
＝－ m/s；
60 s30
3～4 min内d的加速度
a2＝
0－?－2 m/s?12
＝ m/s；
60 s30
3 m/s－012
6～8 min内加速度a3＝＝ m/s；
120 s408～10 min内的加速度a4＝
0－3 m/s12
＝－ m/s；
120 s40
所以此过程中蛟龙号的最大加速度为 122
m/s≈0.0333 m/s，B错误； 30
3～4 min和6～8 min的时间段内潜水器的加速度方向向上，C正确；
6～10 min时间段内潜水器在向上运动，位移不为零，所以平均速度不为零，D错误．故选A、C. 答案 AC
7
