第一章 事件及概率作业
班级： 姓名： 学号： 得分：
得分 一、一位工人生产四个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是不合格品，i=1， 2，3，4。请用诸Ai表示如下事件：（每小题4分，共16分）
（1） 全是合格品；
（2） 全是不合格品；
（3） 至少有一个零件是不合格品； （4） 仅仅有一个零件是不合格品。
得分 二、已知A，B两个相互独立的事件，且P(A)?p，求P(B)P(AB)?P(AB)，
（15分）
得分 三、设袋中有15个球，其中8个是黑球，7个是白球，现从中任意取出4个
球，发现它们颜色相同，问全是黑球的概率为多少？（15分）
1
四、某产品40件，其中有次品3件，现从其中任取3件，求下列事件的概率： （1）3件中恰有1件次品；（5分）
（2）3件中恰有2件次品；（5分） （3）3件全是次品；（5分）
（4）3件全是正品；（5分） （5）3件中至少1件为次品。（5分）
得分 五、玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0个，1个，2个残次品的概率相应 为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取出一箱，而顾客开箱
后，随意的察看4只，若无残次品，则买下这箱玻璃杯，否则退回。试求：
（1） 顾客买下该箱的概率；（8分）
（2） 在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率。（6分）
六、 某特效药的临床有效率为95％，今有4人服用，记Bk=“4人中有k人被治愈”，
得分 得分 写出概率P(Bk)的计算公式，并计算4人中至少有3人被治愈的概率是多少？（15分）
2
第二章 随机变量及其分布
班级： 姓名： 学号： 得分： 一、填空题（ 每空4分，共20分 ） 得分 P0（1）设随机变量X的概率分布为?X
21142?14，则Y?2X?2的分布律为 3 X的分布函数F(x) 。
?Ax2e?2x,x?0（2）设随机变量X的概率密度为f(x)??，则A为 ，X的分布函
,x?0?0数F(x)为 。 （3）若随机变量X
得分 N(2,?2)，且P(2?X?4)?0.3，则P(X?0)为 。
二、一盒装有10只晶体管，其中有4只次品和6只正品。随机的抽取1只测
试，直到4只次品晶体管都找到为止。求所需要的测试次数X的概率分布。（15分）
3
得分 三、设随机变量XN(108,32)
（1）求P(101.1?X?117.6)；（5分） （2）求常数a，使P(X?a)?0.9；（5分） （3）求常数a，使P(X?a?a)?0.01。（10分）
得分 四、设连续型随机变量X的概率密度函数为
?Cx?1? f(x)??1?x2?0其他?试求：（1）常数C；（5分）
（2） X的取值落在区间(?11,)内的概率；（5分） 22（3） X的分布函数F(x)。（5分）
4
得分 五、设随机变量X的概率密度为
?x3e?x,x?0 f(x)??
?0,x?0试求下列各分布的密度函数： （1）Y?2X?3（5分） （2）Y?X（5分） （3）Y?lnX（5分）
2
得分 六、某种型号的器件的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度：
?1000,x?1000? f(x)??x2?其他?0,现有一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大
于1500小时的概率是多少？（15分）
5
第三章 多维随机变量及其分布
班级： 姓名： 学号： 得分：
一、填空题（每空4分，共24分） (1)若（X，Y）的分布律为 X得分
1111
6918
1 2??3
则α，β应满足的条件是 ，若X与Y独立，则α= ，β= 。 （2）设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为
Y123?ke?3x?4y,x?0,y?0 f(x,y)??
其他?0,
F(x,y)? ，P{0?X?1,0?Y?2}? 。则k= ，
得分 二、设（X，Y）的联合分布律为
X?101Y
00
44
1 1002 求：（1）U=X+Y的分布律；（8分） （2）V=XY的分布律。（8分）
6
11得分 三、设随机变量（X，Y）的概率密度函数为
?32?xy f(x,y)??2?0?,0?x?2,0?y?1,其他
试说明X，Y是否相互独立。（15分）
四、已知二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为
得分 ?ke?2x?3y,x?0,y?0 f(x,y)??
其他?0,试求：（1）常数k；（5分）
（2）联合分布函数F(x,y)；（10分） （3）概率P(X?2Y?1)。（10分）
得分
五、设X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。（20
分）
7
第四章 随机变量的数字特征
班级： 没 姓名： 学号： 得分：
一、填空题（ 每空5分，共35分）
（1）已知随机变量X服从参数为2的指数分布，则随机变量Y?2X?e?2X得分 的数
学期望E(Y)? 。
（2）设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X?2Y的方差是 。
（3）设X1U[a,b]，且E(X)?2，D(X)?，则a= ，b= 。
3
（4）设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p= 时，成功次数的标准差最大，最大值为 。
（5）设X
得分 N(0,1),Y?2X?1, 则Y 。
二、
已知随机变量X服从二项分布，且E(X)?2.4，D(X)?1.68。试
问二项分布的参数n，p的值是什么？（15分）
8
得分 三、
设（X，Y）的概率密度为
?24(1?x)y,0?x?1,0?y?x f(x,y)??,其他?0求EX，DX，EY，DY。（25分）
四、设某种商品每周的需求量X是服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而经
得分 销商店进货数量为区间[10，30]中某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；
若供大于求则削价处理，每处理1单位商品可亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元。为使商品所获利期望值不少于9280
元，试确定最少进货量。（25分）
9
第五章 大数定律与中心极限定理
班级： 姓名： 学号： 得分：
得分 一、设一总体的标准差??2，而X是容量为100的样本均值，试用中心极限定理求出一个界限ε，使得X????的概率近似为0.90，其中μ是总体的均值。（20
分）
得分
得分
二、 用切比雪夫不等式确定掷一匀称硬币时，需掷多少次，才能保证“正
面”出现的频率在0.4至0.6之间的概率不少于0.9。（20分） 三、 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均
重50kg，标准差5kg，若用最大载重量为5t的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。（20分）
10
得分 四、售报员在报摊上售报，凡是过路人在报摊上买报的概率为1/5。试用中心极限定理计算若有100人路过此报摊，售报员售出的报纸数目不多于21份的概率。（20分）
得分
五、 检验员逐个检查某种产品，每次用10s检查一个，但也可能有的产品
由于需要重复检查一次再用去10s，假定每个产品需要重复检查的概率为1/2，求在8h内检查员检查的产品多于1900个的概率是多少？（20分）
11
概率模拟试题
一、 填空题（每题3分，共30分）
得分 1．已知P(A)?0.5，P(B)?0.6，P(BA)?0.8，则P(B?A)? 。
2．设N件产品中有D件是不合格品，从这N件产品中任取2件产品。则2件都
是不合格品的概率为 ，2件中有1件合格品、1件不合格品的概率为 。 3．掷骰子n次，则出现点数之和的期望值为 。 4．设随机变量X?(?,?2)，且二次方程y2?4y?X?0无实根的概率等于0.5， 则
?? .
5．设随机变量X，Y相互独立，X服从[0,6]区间上的均匀分布，Y服从二项分布
b(10,0.5)。令Z?X?2Y，则EZ= ，DZ= 。
?3x2,0?x?16．设随机变量X的密度函数为f(x)??，设Y表示对X的10次独立观察
?0,其它中事件?X???1??出现的次数，则P(Y?2)＝ 。 2?7．如果随机变量X和Y满足E(XY)?E(X)E(Y)，则D(X?Y)?D(X?Y)= 。
?32?x,0?x?28．设随机变量X与Y同分布，X的密度函数为f(x)??8，设两个事件
?其它?0,A?{X?a}与B?{Y?a}相互独立，P(A?B)?得分 3。则a＝ 。 4二、 有两箱同类零件，第一箱有50个，其中10个一等品，第二箱有30个，其中18个一等品。现任取一箱，从中任取零件两次，每次取一个，取后不放回。求： （1）第二次取到的零件是一等品的概率；（2）在第一次取到一等品的条件下，第
二次取到一等品的条件概率；（3）两次取到的都不是一等品的概率。（12分）
12
得分 三、 设随机变量X的密度函数为f(x)???Ax(1?x),0?x?1。求：（1）常数
0,其它?A；（2）X的分布函数；（3）X的数学期望EX和方差DX。（15分）
得分 四、 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
?12y2,0?y?x?1 f(x,y)??
其它(x,y)?0,求：（1）随机变量X的密度函数fX(x)；（2）随机变量Y的密度函数fY(y)；（3）随机变量Z?X?Y的密度函数fZ(z)。 （15分）
13
五、 设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X服从指数分布，其概率密
得分 度函数为
?(1/5)e?x/5f(x)???0x?0其它
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月到银行5次.以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y?1}。（8分） 得分 六、 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
y?1?2?e,y?0 fY(y)??2
?0,y?0?（1） 求X和Y的联合概率密度。
（2） 设含有a的二次方程为 a2?2aX?Y?0，试求a有实根的概率。
（?(1)?0.8413,
14
?(0)?0.5）（10分）
七、 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为
得分 ?1?f(x,y)?????0x2?y2?1其它
(1) 求随机变量X,Y的边缘密度及X,Y的相关系数?X,Y； (2) 判定X,Y是否相关是否独立。（10分）
15
第六章 抽样分布
班级： 姓名： 学号： 得分：
一、填空题（每空5分，共30分） （1）设是来自总体N(?,?)的样本，则
2得分 ?(Xi?1ni??)2/?2 。
（2）设总体XN(0,?2)，X1,X2,,X6为来自X的一个样本，设
Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2，则当C= 时，CY（3）总体X?2(2)。
N(0,1)，X1,X2,,Xn为样本，S2为样本方差，X为样本均值，则
222X ，XSn ，P(X1?X2?X3?2.5)? 。
（4）设X1,X2,,Xn是总体N(?,4)的样本，X为样本均值，则当n? 时，有
E(X??)2?0.1。
得分 二、设总体XN(80,202)，从总体X中抽取一个容量为100的样本，则求
样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率。（15分）
得分 三、设随机变量X和Y相互独立，都服从N(0,3)，而X1,X2,2,X9和
Y1,Y2, U?,Y9分别来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量
X1?X2?Y?Y2?212?X9?Y92
服从什么分布，并求其自由度。（15分）
16
得分 四、设总体X服从正态分布N(?,?2)，由总体X得到容量为17的样本
X1,X2,,X17，另
1171172 X?Xi，S17??(Xi?X)2 ?17i?117i?1试求常数k，使P{X???kSn}?0.95。（20分）
得分 五、设某厂生产的电器元件的寿命服从均值为1000h的正态分布，现随机抽取
一容量为16的样本，算得样本标准差S=100。试求这16只元件的寿命总和不超过15150h的概率。（20分）
17
第七章 参数估计
班级： 姓名： 学号： 得分：
一、填空题（每空6分，共30分）
（1）设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则X的数学期望在置信度近似等于0.95下的置信区间为 。
得分 （2）设由来自正态总体XN(?,0.92)容量为9的简单随机样本；得到样本均值为5，则
未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为 。 （3）设X1,X2,,X16是总体N(?,?2)的样本， X为样本均值，S2为样本方差，若
15P(X???as)?0.05，则a= ，当C= 时，C?(Xi?1?Xi)2是?2的无
i?1偏估计。
（4）设总体X的概率密度为
?e?(x??),x?? f(x,?)??x???0,而X1,X2,
得分 ,Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为 。
二、设X1,X2,2其中μ已知，试,Xn是来自正态总体N(?,?2)的一个样本，
1n22证???(X??)是?的无偏估计和相合估计。（15分）
ni?1
得分 三、生产一个零件所需时间XN(?,?2)，观察25个零件的生产时间得到
X?5.5秒，S?1.73秒，试以0.95的可靠性求μ和?2的置信区间。（15
分）
18
得分 四、设总体X的概率密度为
?6x?(??x),0?x?? f(x)???3?0,其他?而X1,X2,,Xn是来自总体X的简单随机样本，
（1）求θ的矩估计量?； （2）求?的方差。（20分）
得分 五、
设总体N(?,?)，X1,X2,21n,Xn是X的样本，X??Xi为样
ni?11n本均值，求k的值，使???Xi?X是σ的无偏估计。（20分）
ki?1
19
第八章 检验假设
班级： 姓名： 学号： 得分：
得分 一、填空题（每空5分，共30分）
（1）设X1,X2,?2其中参数μ，,Xn是来自正态总体N(?,?2)的简单随机样本，
n1n2未知，记X??Xi，Q??(Xi?X)2，则对假设H0:??0用 检验，使用
ni?1i?1统计量 。 （2）设总体XN(?,?2)，X1,X2,,X10为取自总体的样本；且样本方差S2?8.72，
检验假设H0:?2?64，H1:?2?64，显著水平??0.05，利用 统计量对H0作检验，拒绝域为 。 （3）设总体XB(n,p)， 设检验假设H0:p?p0，H1:p?p0，的拒绝域为
W?{X?C1}?{X?C2}(C1?C2)，则犯第一类错误的概率为 ，犯第二类
错误的概率为 。
得分 二、设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机的抽取36位考生的成绩， 得到平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下是否可
以认为这次考试成绩平均为70分？给出检验过程。（20分）
20
得分 三、两台机床加工同一种零件，分别抽取6个和9个零件，测得件长度得到
2S12?0.245，S2?0.375。假设各种机床零件长度服从正态分布。
2（1）求两个总体方差比?12/?2的置信区间（置信度为0.95）；
（2）是否可以认为两台机床加工的零件长度的方差无显著差异。（25分）
得分 四、设零件的长度X服从正态分布N(?,?2)，今随机的测量15个零件，算得
?xi?115i?8.7，?xi2?25.05
i?115（1）求μ的置信度为0.95下的置信区间；
（2）在显著性水平??0.05下检验假设H0:?2?2。（25分）
21
概率统计模拟试题
一、填空题（每空3分，共30分）
得分 1． 设P(A)?P(B)?P(C)?1/4，P(AB)?P(AC)?P(BC)?1/6，
P(ABC)?1/12，则P(ABC)? 。
2． 设事件A与B相互独立，且P(A)?0.6，P(B)?0.8，则P(AB)? 。 3． 已知A?B，P(A)?0.4，P(B)?0.6，则P(BA)? 。 4． 设离散型随机变量X的分布律为：P{X?k}?a?kk!(??0,k?0,1,)，则
a? 。
)5． 已知E(X)?10,D(X?4由切比雪夫不等式，若P{X?10?c}?0.08，则，
c? 。
6． 有甲乙两批种子（相互独立），发芽率分别为0.8和0.5，在两批种子中随机的各取一粒，
求至少有一粒种子能发芽的概率是 。
7． 某仓库有8件产品，其中3件次品，今从中随机取4件，则其中有2件次品的概率为 。
8． 已知E(X)??3，E(Y)?5，D(X)?4，D(Y)?8，Cov(X,Y)?0.5，则
E(2X?3Y)? ，D(X?Y)? 。
9． 随机变量X布。
二、根据以往记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若A表示事件“试验反
得分 N(?,1)，Y?2(4)。又X与Y相互独立，则X??服从 分Y/4P(AC)?0.94，应为阳性”，C表示事件“被诊断者患有癌症”，则P(AC)?0.94，
现在对一大批人进行癌症普查，设被试验的人中患有癌症的概率为0.005，即
P(C)?0.005，求某人试验反应为阳性的情况下，此人确患有癌症的概率。（10分）
22
得分 三、已知离散型随机变量X的分布律为：
X?2?101
P0.100.150.300.20
220.1530.10求Y?X的分布律。（8分）
得分 四、设随机变量X在区间[1，4]上服从均匀分布，求Y?e的概率密度。（8分）
X
五、设随机变量（X，Y）的分布函数为：
得分 F(x,y)?1?x?y(?arctan)(?arctan) ?22324求关于X与Y的边缘概率密度fX(x)与fY(y)。（8分）
23
六、设随机变量（X，Y）的概率密度为：
得分 f(x,y)???x?y,?0,0?x?1,?0y?1 其他求Cov(X,Y)，?XY，D(X?Y)。（10分）
七、从一大批发芽率为0.9的种子中随机抽取1000粒，试估计这1000粒种子的发
得分 芽率在0.89到0.91之间的概率。?(10)?0.8541（8分） 3
得分
24
八、设X1,X2,Xn为总体X的一个样本，且总体的概率密度为：
???1?x?,x???e f(x)???
?0,其他?(??0)若μ已知，求未知参数θ的极大似然估计量。（10分）
得分 九、已知某零件在正常生产条件下服从正态分布N(?,0.0482)，若某天抽查7个零件，测得其样本标准差s?0.0882，问这一天零件尺寸的总体方差是否正常（取??0.05）？（8分）
22??0.025(6)?14.449,?0.975(6)?1.237??2? 2??0.025(7)?16.013,?0.975(7)?1.690?
25
