宁夏育才中学2018届高三月考5
数学（理科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A??0,1,2?，B?x1?x?4，则A??B?（ ）
A．(0,2] B．?0,1,2? C．?1,2? D．(1,4) 2.已知i为虚数单位，复数(1?i)?22的共轭复数是（ ） 1?iA．1?3i B．?1?3i C．1?3i D．?1?3i 3.“x?2”是“
1?0”的（ ） x?2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至
2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线
图，下列结论错误的是（ ）
A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
x2y25.已知双曲线2?2?1的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线上一点P满足PF2?x轴.
ab若F1F2?12，PF2?5，则该双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．
31213 C. D． 25126.已知单位圆中有一条长为2的弦AB，动点P在圆内，则使得AP?AB?2的概率为（ ） A．
??2??23??22 B． C. D． 4??4??7.执行如图的程序框图，如果输入的a?6，b?4，那么输出的S的值为
A．17 B．22 C.18 D．20 8.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）
A．
17?19? B．9? C. D．10? 229.已知实数x,y满足??1?x?y?2则z?4x?2y的最大值为（ ）
2?x?y?4?A．3 B．5 C.10 D．12
10.某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐
妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ） A．18种 B．24种 C.36种 D．48种 11.设函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0)，若f???f?????2???2??????f???6?3???，且f(x)在区间?A．
????,?上单调，则f(x)的最小正周期是（ ） ?62???? B． C. D．? 63212.已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn?3)(n?N*)在函数y?3?2x的图像上，等比数列{bn}满足bn?bn?1?an(n?N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是（ ） A．Sn?2Tn B．Tn?2bn?1 C.Tn?an D．Tn?bn?1
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量a，b满足a?1，b?3，a?b?22，则2a?b? ．
????cosx??,x?[0,?),???2??14.已知函数f(x)??若存在三个不同的实数a，b，c，使得
x?log,x?[?,??),2017???f(a)?f(b)?f(c)，则a?b?c的取值范围为 ．
15.已知(x?1)(ax?1)6展开式中含项x2的系数为0，则正实数a? ．
x2y216.已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，直线x?m与椭圆相交于点A，B，
4a3b则当?FAB的周长最大时?FAB的面积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的值；
2b?3ccosC. ?cosA3a（2）若B??6，且?ABC的面积为43，求BC边上的中线AM的大小.
18. 如图，已知菱形ABEF所在的平面与?ABC所在的平面互相垂直，且AB?4，
BC?6，BC?BE，?ABE??3.
（1）求证：BC?平面ABEF；
（2）求平面ACF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值.
19.已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为
2544，，，每道程序是相互独立的，且一旦审核3255不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售. （1）求审核过程中只通过两道程序的概率；
（2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望.
20.如图，已知直线l：y?kx?1(k?0)关于直线y?x?1对称的直线为l1，直线l，l1与
x2椭圆E：?y2?1分别交于点A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1.
4
k1的值； （1）求k·（2）当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.
21.已知a为实常数，函数f(x)?（1）求函数f(x)的最值；
lnx?1?a. x（2）设g(x)?xf(x).
(i)讨论函数g(x)的单调性；
（ⅱ） 若函数g(x)有两个不同的零点x1,x2(x1?x2)，求实数a的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
?x?sin?,??[0,2?)，曲线D的极坐标方程为已知曲线C的参数方程为?2?y?cos?,?sin??????????2. 4?（1）将曲线C的参数方程化为普通方程； （2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由. 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)?2x?1?2x?2. （1）解不等式f(x)?0；
（2）若f(x)?a?2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
宁夏育才中学2018届高三月考5·数学（理科）试题
参考答案、提示及评分细则
一、选择题
1-5:CCCAB 6-10:ADBCB 11、12：DD
二、填空题
22223b4a?3b13.3 14.(2?,2018?) 15. 16.
5a三、解答题
17.（1）因为2b?3ccosC， ?cosA3a所以2sinB?3sinccosC， ?cosA3sinA所以2sinBcosA?3cosAsinC?3sinAcosC，
所以2sinBcosA?3sin(A?C)?0，2sinBcosA?3sinB?0. 又因为sinB?0， 所以cosA???3，又因为0?A??，且A?，所以A?.
262（2）据（1）求解知A??6.若B??6，则S?ABC?112?absinC?a2sin?43. 223所以a?4，a??4（舍）
又在?AMC中，AM2?AC2?MC2?2AC?MCcos120?，
2?1?1122??所以AM?AC??AC??2?AC?AC?cos120??4?2?2?4?2?????28. ?2?2?2?22所以AM?27. 18.（1）证明：如图，取AB中点O，连接OE、AE. 由已知易得?ABE是正三角形，所以OE?AB. 又因为平面ABEF?平面ABC，且平面ABEF所以OE?平面ABC，所以OE?BC. 又因为BC?BE且BE平面ABC?AB，
OE?E，所以BC?平面ABEF.
（2）如图建立空间直角坐标系，则A(0,?2,0)，B(0,2,0)，C(6,2,0)，
E(0,0,23)，AC?(6,4,0)，AF?BE?(0,?2,23).
取EB中点N，易得平面BCE的法向量是AN?(0,3,3). 设面ACF的法向量是n?(x,y,z)，
?AC?0,??n·?6x?4y?0,则由?得?
AF?0,???n·??2y?23z?0,则令z?1，得n?(?22,3,1)，cos?AN,n??AN·nANn?3 3所以平面ACF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值是
3. 3
19.（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则P(A)?254?4?1???1???. 325?5?8（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为由题意可得X可取0，1，2，3，
25441???. 325521?1?3?1?11则P(X?0)??1???，P(X?1)?C3???1???，
2?2?8?2?8?1??1?3?1?1P(X?2)?C32?????1???，P(X?3)????.
?2??2?8?2?8所以X的分布列为
2332X 0 1 2 3 33 88133131故E(X)?0??1??2??3??(或?3?888822P 1 81 83). 220.（1）设直线l上任意一点P(x,y)关于直线y?x?1对称点为P0(x0,y0).
由题意，知直线l与直线l1的交点为(0,1)，直线l：y?kx?1，所以直线l1：y?k1x?1，
则k?y?1x，k1?y0?1x.
0由
y?y0x2??x02?1，得y?y0?x?x0?2.① 由
y?y0x?x??1，得y?y0?x0?x.② 0由①②，得??y?x0?1,?y0?x?1,
则kk0?(y?y0)?1(x?1)(x0?1)?(x?x0?2)?11?yyxx?xx?1.
00?y?kx（2）设点M(x,y?1?12211)，N(x2,y2)，由?x2得(4k?1)x1?8kx?1?4?y21?0. 1?1?x?8k1?4k2M?4k2?1，?yM?4k2?1. 同理，x?8k1?8k1?4k2N?1k2?4k21?4?k2，yN??4. 1?4k221?14?k?y1?4k2k2?则kM?yNMNx?4k2?1?44?k28?8k4k2?1k?8k(3k?3)??3k，M?xN?8k?82 4k2?1?4?k2设直线MN:y?yM?kMN(x?xM)
?y?1?4k2k2?1??8k?4k2?1??3k??x?4k2?1??， k2?18(k2?1)1?4k2k2?15x?即y??. ???x?3k3(4k2?1)4k2?13k3当k变化时，直线MN恒过定点?0,??. 21.（1）函数f(x)???5?3?lnx?1?a的定义域是(0,??). x1?x?(lnx?1)?lnx xf'(x)??x2x2令f'(x)?0，得x?1；令f'(x)?0，得0?x?1； 故函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减. 故函数f(x)的最大值为f(1)?1?a，无最小值. （2）（i）g(x)?xf(x)?lnx?1?ax， 函数g(x)的定义域为(0,??)，其导数g'(x)?1?a. x①当a?0时，g'(x)?0，函数g(x)在(0,??)上是增函数； ②当a?0时，在区间?0,??1??1?g'(x)?0,??上，；在区间???上，g'(x)?0.
a?a??所以函数g(x)在?0,
?
?1??1?,??是增函数，在???是减函数.
a?a??（ⅱ）由（i）知，当a?0时，函数g(x)在(0,??)上是增函数，不可能有两个零点； 当a?0时，g(x)在?0,最大值, 若g???1??1??1?,??g时增函数，在是减函数，此时?????为函数g(x)的
a?a???a??1???0，则g(x)最多有一个零点，不合题意， ?a?1?1??ln?0，解得0?a?1. ?aa??所以g?aa?1?11e2此时??2，且g????1??1???0，
eeeaa?e??e2?e2e2g?2??2?2lna??1?3?2lna?(0?a?1).
aa?a?e22e2e2?2a令G(a)?3?2lna?，则G'(x)???2??0. 2aaaa所以G(a)在(0,1)上单调递增.
2??e所以G(a)?G(1)?3?e2?0，即g?2??0.
?a??1e2??11?故函数g(x)有两个不同的零点x1，x2(x1?x2)，且x1??,?，x2??,2?.
?ea??aa?综上，的a取值范围是(0,1).
?x?sin???[0,2?)，得 22.（1）由?2?y?cos?x2?y?1，x?[?1,1].
（2）由?sin??????????2得曲线D的普通方程为x?y?2?0. 4??x?y?2?0联立?2得x2?x?3?0.
?x?y?1解得x?1?13?[?1,1]，故曲线C与曲线D无公共点.
21?时，不等式可化为?(2x?1)?(2x?2)?0，即?3?0，无解； 2111②当??x?1时，不等式可化为(2x?1)?(2x?2)?0，解得x?.所以?x?1；
24423.（1）①当x??③x?1时，不等式可化为(2x?1)?(2x?2)?0，即3?0.所以x?1. 综上，不等式f(x)?0得解集为?,???.
（2）f(x)?2x?1?2x?2?(2x?1)?(2x?2)?3， 若f(x)?a?2对任意实数x恒成立，则3?a?2，解得a?5. 故实数a的取值范围是[5,??).
?1?4??
