浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：数列
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设等差数列
?an?的公差d≠0，a1?4d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k?( )
B． 3或1
C． 3
D． 1
A． 3或-1 【答案】C 2．在等比数列( ) A． 2n?1?an?中，a1?2，前n项和为Sn，若数列?an?1?也是等比数列， 则Sn等于
B．3n
C．2n
D．3?1。
n?2
【答案】C
3．数列{an}中，an+1=
an，a1=2，则a4为( )
1?3anB．
A．
8 78 5C．
16 52D．
2 19【答案】D
an?11*
4．已知数列{an}满足：a1?1，a2?，且an?2? (n∈N)，则下图中第9行所有数
an?an?12的和为( )
A． 90
【答案】C
B． 9!
C． 1022
D． 1024
5．在各项均不为零的等差数列
2若an?1?an?an?1?0(n≥2)，则S2n?1?4n?( ) ?an?中，
A．0 B．?2 C．1 D．2 【答案】B
6．在等比数列?an?中,a1A．2n?1?2,前n项和为Sn.若数列?an?1?也成等比数列,则Sn等于( )
B．3n
C． 2n
D．3?1
n?2
【答案】C
7．等差数列{an}中，a6A．31 【答案】B 8．在数列｛
A． －4 【答案】D
9．等差数列{an}中, 若a3?a4A． 45 【答案】C
｝中，已知
＝1，B． －5
＝5，
＝C． 4
－
(n∈N），则
D． 5
※
?2,S5?30,则S8?( )
B．32
C．33
D．34
等于( )
?a5?a6?a7?450,则a2?a8等于( )
B． 75
C． 180
D． 320
10．已知{an}为等差数列，a1A．21 【答案】B
11．已知?an?为等差数列，a1A．-1 【答案】B 12．已知等差数列
A．138 【答案】C
满足
?a3?a5?105，a2?a4?a6?99，以Sn表示{an}的前nC．19
D．18
项和，则使得Sn达到最大值的n是( )
B．20
?a3?a5?105，a2?a4?a6?99，则a20等于( )
C．3
D． 7
B．1
，
C．95
，则它的前10项的和
D．23
( )
B．135
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
1
13．数列{an}的通项公式为an＝，其前n项之和为10，则在平面直角坐标系中，直
n＋n＋1
线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为____________． 【答案】?120
14．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1。若a1=1，且对任意的则S5= 。 【答案】11
15．等差数列-3，1，5……的第6项的值是 【答案】17
16．若?an?为等差数列，Sn是其前n项的和，且S11＝【答案】?都有an＋2＋an＋1-2an=0，
22?，则tana6的值为 33 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．函数f(x)定义在[0,1]上,满足
且f(1)=1,在每个区间=1,2,…)
上, y=f(x) 的图象都是平行于x轴的直线的一部分.
(Ⅰ)求f(0)及的值,并归纳出)的表达式;
(Ⅱ)设直线轴及y=f(x)的图象围成的矩形的面积为, 求
a1,a2及的值.
【答案】 (Ⅰ) 由f(0)=2f(0), 得f(0)=0.
由及f(1)=1, 得.
同理,
归纳得
(Ⅱ) 当时,
所以是首项为,公比为的等比数列.
所以
18．已知等差数列{an}满足a3?a4
?9,a2?a6?10；又数列{bn}满足nb1?(n?1)b2+…
8+2bn?1?bn?Sn，其中Sn是首项为1，公比为的等比数列的前n项和。
9(I）求an的表达式；
(Ⅱ）若cn??anbn，试问数列{cn}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有cn?ck成
立？并证明你的结论。
?a1?2d?a1?3d?9【答案】（I）设{an}的首项为a1，公差为d，于是由?1
?a?d?a1?5d?10?a1?2 解得? ?an?2(n?1)?n?1
d?1?8828n?1 (Ⅱ）Sn?1??()?…?()
9998n?18n?28?…??1 ① 由nb1?(n?1)b2?(n?2)b3?…?2bn?1?bn?()?()9998n?28n?38?()?…??1 ② 得(n?1)b1?(n?2)b2?…?2bn?2?bn?1?()9998n?18n?1 ①—②得b1?b2?…?bn?() 即Tn?b1?b2?…?bn?()
998n?18n?218???()n?2 当n?1时，b1?T1?1，当n?2时，bn?Tn?Tn?1?()?()9999?1(n?1)? ?bn??18n?2
??()(n?2)??99??2(n?1)? 于是Cn??anbn??18n?2
?()?(n?1)(n?2)??99? 设存在正整数k，使对n?N,Cn?Ck恒成立
7 当n?1时，C2?C1??0，即C2?C1
318n?118n?218n?28 当n?2时，Cn?1?Cn??()(n?2)??()(n?1)??()[(n?2)
99999998n?27?n ?(n?1)]?()?
981 ?当n?7时，Cn?1?Cn,当n?7时，C8?C7，当n?7时，Cn?1?Cn ?存在正整数k?7或8，对于任意正整数n都有Cn?Ck成立。
19．函数
f?x?对任意x?R都有f?x??f?1?x??1.
?1??的值； 2??1???n???2?f????n??n?1??f???f?1?，求an；
n??(1）求f?(2）数列
?an?满足：an?f?0??f??，Tn?b12?b22?2an?11， 2(3）令bn?24?bn2，Sn?8?，试比较Tn与Sn的大小．
n【答案】（1）令x?
则有f??1????2??1??1?f?1???f????2??2?1，得n?1??1?1f???1.?f???. ?2??2?2?1?f????n??n?1?f???1.
n?? (2）令x??1?f????n??1?f?1???1.即?n?因为an?f?0??f??1???n???2?f????n??n?1??f???f?1?，
?n?所以an?f?1??f?两式相加得：
?n?1????n??n?2?f????n??1??f???f?0?.
?n??2an??f0?f1?????????f??an?n?1，n?N*. 2?1?????n??n?1??f????n??????f?1??f?0????n?1，
(3）bn?22an?1?2， nn?1时，Tn?Sn； n?2时， ?Tn?b12?b22???11??bn2?4?1?2?3??22?1??
n?n?1???1?? n2? ?4?1?11??1?22?3 =4?1??1?????1??11???????2??23?1???1????? ?n?1n?? =4?2???1?4?8??Sn ?n?n?Tn?Sn.
(a?1)}n?N)3,a9.20．已知数列{log为等差数列，且a 2n1?3?(1)求数列{an}的通项公式； (2)证明
*111?????1.a?aa?aa?a2132n?1n
【答案】（I）设等差数列{log的公差为d. (a1)}2n? 由a即d=1. ?3,a?9得2(log2?d)?log2?log8,13222所以log即a(a?1)?1?(n?1)??n,2?1. 2nn?(II）因为
n111， ?n??1nna?aa?22n?1n所以
1111111 ??????????123na?aa?aa?a22222132n?1n111?n?1?222?1?n?1.121?2
21．已知等比数列(Ⅰ)求数列(Ⅱ)设Tn?an?中，a2?32，a8?1，an?1?an． 2?an?的通项公式；
?log2a1?log2a2?????log2an，求Tn的最大值及相应的n值．
1a116【答案】 (Ⅰ) 由q?8?2?，an?1?an，所以 q?．
a232642 以a1?a232??64． 1q212n?1 所以 通项公式为：an?64?()(Ⅱ)设bn所以，
?27?n(n?N?)．
?log2an，则bn?log227?n?7?n．
?bn?是首项为6，公差为?1的等差数列．
n(n?1)113113169(?1)=?n2?n??(n?)2?． 222228Tn?6n?因为n是自然数，所以，n?6或n?7时，Tn 最大，其最值是 T6?T7?21．
22．如图，将圆分成n个扇形区域，用3种不同颜色给每一个扇形区域染色，要求相邻区域颜色
互异，把不同的染色方法种数记为an。求
(Ⅰ）a1, a2, a3, a4；
(Ⅱ）an与an?1?n?2?的关系式；
(Ⅲ）数列?an?的通项公式an，并证明an?2nn?N*。 【答案】（Ⅰ） 当n?1时，不同的染色方法种数a1?3 ， 当n?2时，不同的染色方法种数a2?6 ， 当n?3时，不同的染色方法种数a3?6 ， 当n?4时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形 ∴不同的染色方法种数a4?3?1?2?2?3?2?1?1?18 。 (Ⅱ）依次对扇形区域1,2,3,??,n,n?1染色，不同的染色方法种数为3?2n，其中扇形区域1与
n?1不同色的有an?1种，扇形区域1与n?1同色的有an种
∴an?an?1?3?2n?n?2? (Ⅲ）∵an?an?1?3?2n?n?2? ∴a2?a3?3?22
a3?a4?3?23
………………
an?1?an?3?2n?1
将上述n?2个等式两边分别乘以??1??k?2,3,k,n?1?，再相加，得
n?1a2???1?n?1an?3?2?3?2?n23?3???1?n?1?222?1???2??3??1???2?n?1??，
∴an?2n?2???1?，
从而an????3, ?n?1???2?2???1?,?n?2?nn。
(Ⅲ）证明：当n?1时，a1?3?2?1 当n?2时，a2?6?2?2 ， 当n?3时，
an?2n?2???1???1?1??2???1? ?1?n?Cn2?Cn3? ?2n?2?2???1? ?2n故an?2nn?N*
nnnn?Cnn?2?n?1?2???1?n ，
??
