10.3 二项式定理
[知识梳理] 1．二项式定理
2．二项式系数的性质
3．常用结论
(1)Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2.
(2)Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2(3)Cn＋2Cn＋3Cn＋…＋nCn＝n2
r0
r－11
0r1
2
3
0
2
4
1
3
5
0
1
2
nnn－1
.
nn－1
.
n(4)CmCn＋CmCn＋…＋CmCn＝Cm＋n. (5)(Cn)＋(Cn)＋(Cn)＋…＋(Cn)＝C2n. [诊断自测] 1．概念思辨
(1)(a＋b)的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(a＋b)中系数最大的项是
2n02
12
22
rn2
n
第n项．( )
(3)(a＋b)某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )
(4)若(3x－1)＝a7x＋a6x＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．教材衍化
7
7
6
n?
(1)(选修A2－3P30例1)?2x－
?
2
1?6
x?
?的展开式的常数项为( )
60
A．－192x B．240x C．－160 D.答案 C
x
1?r?2x－1?6r6－r?r6－rr3－r－解析 ??的展开式的通项为Tr＋1＝C6(2x)??＝(－1)2C6x(r＝
x?x???1,2，…，6)，所以当r＝3时为常数项，此时T4＝－2×C6＝－160，故选C.
(2)(选修A2－3P31例2)二项式?x－A．第六项 B．第五项和第六项 C．第五项和第七项 D．第六项和第七项 答案 C
解析 二项展开式的通项为Tr＋1＝C10xr10－r3
3
?
?
1?10
x?
?的展开式中系数最大的项为( )
1r3rr(－x－)＝(－1)C10·x10－r，每项系数的
22
绝对值与对应的二项式系数相等，由二项式系数性质，知展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为C10，但第六项系数为－C10，显然不是最大的．又因第五项和第七项的系数相等且为C10＝C10，再由二项式系数的增减性规律可知选C.
3．小题热身
(1)(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)的展开式中xy的系数为( ) A．－80 B．－40 C．40 D．80 答案 C
解析 因为xy＝x·(xy)，其系数为－C5·2＝－40，
3
x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C25·2＝80.
33
23
3
2
5
33
4
6
5
5
所以xy的系数为80－40＝40. 故选C.
(2)(2017·山东高考)已知(1＋3x)的展开式中含有x项的系数是54，则n＝________. 答案 4
解析 (1＋3x)的展开式的通项为Tr＋1＝Cn(3x).令r＝2，得T3＝9Cnx.由题意得9Cn＝54，解得n＝4.
题型1 二项展开式
nrr22
2
33
n2
角度1 求二项展开式中的特定项或系数
53
(2016·全国卷Ⅰ)(2x＋x)的展开式中，x的系数是________．(用数字填典例写答案)
答案 10 解析 Tr＋1＝C5(2x)
r5－r·(x)＝2
r5－rr5
C·x5－，令5－＝3，得r＝4，∴T5＝10x，∴
22
rr3
x3的系数为10.
角度2 已知二项展开式某项的系数求参数
3 ?x－a?5
(2015·湖南高考)已知的展开式中含x的项的系数为30，则a＝??典例2x??( )
A.3 B．－3 C．6 D．－6 答案 D
?解析 ?x－
?
1
1
a?55－2r?－a?rr5－rrr的展开式的通项为T＝C(x)·＝(－a)C·x. r＋155???2x?x??
依题意，令5－2r＝3，得r＝1， ∴(－a)·C5＝30，a＝－6，故选D. 角度3 多项展开式
2552
(2015·全国卷Ⅰ)(x＋x＋y)的展开式中，xy的系数为( ) 典例
A．10 B．20 C．30 D．60 答案 C
解析 (x＋x＋y)＝[(x＋x)＋y]的展开式中只有C5(x＋x)y中含xy，易知xy的系数为C5C3＝30，故选C.
方法技巧
1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路 (1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简．
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项得所求．见角度1典例．
2．求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法
(1)对于三项式问题，一般先变形化为二项式，再用通项公式求解，或用组合知识求解．见角度3典例．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合与其他因式相乘情况求解特定项，或根据因式连乘的规律，结合组合知识求解，但要注意适当地运用分类思想，以免重复或遗漏．见冲关针对训练2.
(3)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题，只需依据各个二项展开式中分别得到符合要求的项，再求和即可．
21
2
5
2
5
2
2
32
52
52
冲关针对训练
a?71?1．(2014·湖北高考)若二项式?2x＋?的展开式中3的系数是84，则实数a＝( ) x??
x25
A．2 B.4 C．1 D. 4答案 C
解析 Tr＋1＝C7·(2x)得a＝1，故选C.
2．(2014·全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)的展开式中xy的系数为________．(用数字填写答案)
答案 －20
解析 由二项展开式公式可知，含xy的项可表示为x·C8xy－y·C8xy，故(x－y)(x＋y)的展开式中xy的系数为C8－C8＝C8－C8＝8－28＝－20.
题型2 二项式系数的性质或各项系数的和
n (2015·湖北高考)已知(1＋x)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相典例1
等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．2 B．2 C．2 D．2 答案 D
解析 ∵(1＋x)的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为Cn，Cn，∴Cn＝Cn，得
n3
7
3
7
12
11
10
9
8
27
7
6
1
2
27
7
7
626
8
27
r7－r·??＝2
?a?r?x?
7－rrr7Ca·
1
x2r－7
.令2r－7＝3，则r＝5.由2·C7a＝84
255
n＝10.
对(1＋x)，
令x＝1，得(1＋1)＝C10＋C10＋C10＋C10＋…＋C10＝2，① 令x＝－1，得(1－1)＝C10－C10＋C10－…＋C10＝0，② 利用①＋②可得2×(C10＋C10＋…＋C10)＝2，
∴奇数项的二项式系数和为C10＋C10＋…＋C10＝2.故选D.
0
2
10
9
0
2
10
10
10
0
1
2
10
10
0
1
2
3
10
10
10
?x＋1? ??n的展开式中前三项x的系数为等差数列，则二项式系数最 已知4?典例2?2x??
大项为________．
答案
35x 8
n2?1?21011
解析 ∵Cn＝1，Cn＝，Cn??＝n(n－1)，
22?2?8n12
由题设可知2·＝1＋n(n－1)，n－9n＋8＝0，
28
解得n＝8或n＝1(舍去)．
?x×1?354?4＝x. 所以二项式系数的最大项为C8?4??8
2x??
[结论探究] 典例2中条件不变，试求展开式中系数最大的项． 解 设第r＋1项的系数Tr＋1最大，显然Tr＋1>0， 故有
Tr＋1Tr＋2
≥1且≤1， TrTr＋1
r－rTr＋1C8·29－r∵＝r－1， －r＋1＝TrC8·22r由
9－r≥1，得r≤3. 2r＋1－?r＋1?
Tr＋2Cr8－r8·2又∵＝＝， r－rTr＋1C8·22?r＋1?
由
8－r≤1，得r≥2.
2?r＋1?
57
∴r＝2或r＝3，所求项为T3＝7x和T4＝7x. 24方法技巧 1．赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：
(1)形如(ax＋b)，(ax＋bx＋c)(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．
(2)形如(ax＋by)(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．见典例1.
2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
(1)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx，则f(x)的展开式中各项系数之和为
2
n2mnnf(1)．
(2)奇数项系数之和为
a0＋a2＋a4＋…＝
f?1?＋f?－1?
2
. (3)偶数项系数之和为
a1＋a3＋a5＋…＝
冲关针对训练
f?1?－f?－1?
2
2m. 1．设m为正整数，(x＋y)展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8 答案 B
2m＋1
展开式的二
13·?2m?！7·?2m＋1?！mmmm解析 由题意得a＝C2m，b＝C2m＋1，所以13C2m＝7C2m＋1，∴＝，
m！·m！m！·?m＋1?！7?2m＋1?∴＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，故选B.
m＋1
2．若将函数f(x)＝x表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)＋…＋a5(1＋x)，其中a0，
5
2
5
a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.
答案 10
解析 解法一：(通法)将f(x)＝x进行转化，利用二项式定理求解．
5－rr232f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝Cr·(－1)，T3＝C5(1＋x)(－1)＝5(1＋x)
5
10(1＋x)，
∴a3＝10.
解法二：(赋值法)对等式f(x)＝x＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)＋…＋a5(1＋x)两边连续对x求导三次得：60x＝6a3＋24a4(1＋x)＋60a5(1＋x)，再令x＝－1得60＝6a3，即a3＝10.
题型3 二项式定理的应用
n－1
(1)求证：n∈N且n≥3时，2≥n＋1； 典例(2)求证：3
2n＋26
2
2
5
2
5
3
－8n－9(n∈N)能被64整除；
nn*
(3)计算1.05.(精确到0.01) 解 (1)证明：n≥3时，2＝(1＋1) ＝1＋n＋Cn＋…＋n＋1≥2＋2n，∴2(2)证明：原式＝(1＋8)
1
1
2
2
2
2
3
3
2
n－1
≥n＋1.
n＋1
－8n－9
n＋1n＋1
＝1＋Cn＋18＋Cn＋18＋…＋Cn＋18＝Cn＋18＋Cn＋18＋…＋Cn＋18
2
3
2
3
－8n－9
n＋1n＋1
)．
＝64(Cn＋1＋Cn＋18＋…＋Cn＋18
n＋1*
n＋1n－1
∵Cn＋1，Cn＋1，…，Cn＋1均为自然数，上式各项均为64的整数倍， ∴3
2n＋2
－8n－9(n∈N)能被64整除．
6
6
2
(3)1.05＝(1＋0.05)＝1＋6×0.05＋15×0.05＋…＝1＋0.3＋0.0375＋…≈1.34. 方法技巧
二项式定理应用的常见题型及求解策略
1．整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中关注展开式的最后几项，而求近似值则关注展开式的前几项．见本典例(2)．
2．二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式． 3．(a＋b)的展开式共有n＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，达到证明不等式的目的．见本典例(1)．
4．利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)≈1＋nx.若精确度要求较高，则可使用更精确的公式(1＋x)≈1＋nx＋
冲关针对训练
1－90C10＋90C10－90C10＋…＋(－1)·90C10＋…＋90C10除以88的余数是( ) A．－1 B．1 C．－87 D．87
1
22
33
nnnn?n－1?2
x.见本典例(3)．
2
kkk1010
答案 B
解析 1－90C10＋90C10＋…＋(－1)90C10＋…＋90C10＝(1－90)＝89＝(88＋1)＝88＋C1088＋…＋C1088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.故选B.
10
1
9
91
22
kkk1010101010
?1?62
1．(2017·全国卷Ⅰ)?1＋2?(1＋x)展开式中x的系数为( )
x?
?
A．15 B．20 C．30 D．35 答案 C
?1?6rr6222
解析 因为(1＋x)的通项为C6x，所以?1＋2?(1＋x)展开式中含x的项为1·C6x和
?
x?
1
x2
·C6x.
因为C6＋C6＝2C6＝2×
2
4
2
44
6×5?1?62
＝30，所以?1＋2?(1＋x)展开式中x的系数为30.故选C. 2×1?x?
2．(2018·山西四校联考)若?x＋等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6 答案 C
解析 Tr＋1＝Cn(x)
*
?
?
6
1?nxx?
?的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值
r6n－r15155?1?rr6n－r＝0，即n＝r，??＝Cnx6n－2r，当Tr＋1是常数项时，
24?xx?
10
2
9
10
又n∈N，故当r＝4时，n的最小值为5，故选C.
3．(2018·福建漳州模拟)已知(2x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a9x＋a10x，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为( )
A．－20 B．0 C．1 D．20 答案 D
解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C10×2×(－1)＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.故选D.
4．(2017·浙江高考)已知多项式(x＋1)(x＋2)＝x＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5，则a4
＝________，a5＝________.
答案 16 4
解析 a4是x项的系数，由二项式的展开式得
1222
a4＝C33·C2·2＋C3·C2·2＝16；
22a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C33·C2·2＝4.
3
2
5
4
3
2
9
1
9
[基础送分 提速狂刷练]
一、选择题
1．(2018·广东测试)?x－
?
?
2
1?6
的展开式中，常数项是( ) 2x??
551515A．－ B. C．－ D. 441616答案 D
解析 Tr＋1＝C6(x)
r26－r?－1?r＝?－1?rCrx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.∴常数项为
?2x??2?6????
?－1?4C4＝15.故选D.
?2?616??
2．(2018·福建厦门联考)在?1＋x＋A．10 B．30 C．45 D．120 答案 C
解析 因为?1＋x＋
10
2
??
2
的展开式中，x的系数为( ) ?x?20181?10
?
?
1?10?1019110?1?＝??1＋x?＋2018?＝(1＋x)＋C10(1＋x)2018＋…＋C10?2018??x?x?x??x?
201810
2
2
2
2
5
2
1?10
，所以x只出现在(1＋x)的展开式中，所以含x的项为C10x，系数为C10＝45.故选C. 3．已知(1＋ax)(1＋x)的展开式中x的系数为5，则a＝( ) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 答案 D
解析 由二项式定理得(1＋x)的展开式的通项为Tr＋1＝C5·x，所以当r＝2时，(1＋
5
rr212
ax)(1＋x)5的展开式中相应x2的系数为C25，当r＝1时，相应x的系数为C5·a，所以C5＋
C5·a＝5，a＝－1，故选D.
4．(2018·河南百校联盟模拟)(3－2x－x)(2x－1)的展开式中，含x项的系数为 ( )
A．600 B．360 C．－600 D．－360 答案 C
解析 由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x项的系数为3×C62(－1)－2×C6
2(－1)＝－600.故选C.
1?5?a??5．若?x＋??2x－?的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )
xx2
4
3
33
3
2
4
6
3
1
????
A．－40 B．－20 C．20 D．40 答案 D
解析 令x＝1，得(1＋a)(2－1)＝2，∴a＝1.
1?5??1?rr5－rr5－rr5－2r∴?2x－?的通项为Tr＋1＝C5·(2x)·?－?＝(－1)·2·C5·x.
5
?x??x?
3
令5－2r＝1，得r＝2.令5－2r＝－1，得r＝3.
∴展开式的常数项为(－1)×2·C5＋(－1)·2·C5＝80－40＝40.故选D.
2
3
2
2
3
?x－1?n6．在?23?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是
??x??
( )
A．－7 B．7 C．－28 D．28 答案 B
解析 由题意知n＝8，
x8－r－1?8－r3x?8－r?x1－?rrrrrrTr＋1＝C8·??·?3?＝(－1)·C8·8－r·＝(－1)·C8·， 8－r??2r2?2?x??x3
由8－r－＝0，得r＝6.
3
16
∴T7＝C8·2＝7，即展开式中的常数项为T7＝7.故选B.
27．(2018·石家庄模拟)若?x－的值为( )
rr??
2
9
(a∈R)的展开式中x的系数是－，则?asinxdx?ax?2?0
1?9
21
A．1－cos2 B．2－cos1 C．cos2－1 D．1＋cos2
答案 A
解析 由题意得Tr＋1＝C9·(x)
r
29－r
1?1?rrrr18－3r·(－1)·??＝(－1)·C9·x·r，令18－3r
a?ax?
12132
＝9，得r＝3，所以－C9·3＝－，解得a＝2.所以?asinxdx＝(－cosx)0＝－cos2＋cos0
a2?
0
＝1－cos2.故选A.
8．设a∈Z，且0≤a<13，若51A．0 B．1 C．11 D．12 答案 D 解析 51＋1＋a，
∵52
2018
2018
2018
＋a能被13整除，则a＝( )
＋a＝(52－1)
2018
＋a＝52
2018
＋C2018·52
12017
·(－1)＋…＋C2018×52×(－1)
20172017
能被13整除，∴只需a＋1能被13整除即可，∴a＝12.故选D.
9
2
9
2
2
9
9．(2018·合肥质检)若(x＋2＋m)＝a0＋a1(x＋1)＋a2·(x＋1)＋…＋a9(x＋1)，且(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)＝3，则实数m的值为( )
A．1或－3 B．－1或3 C．1 D．－3 答案 A
解析 令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m，所以有(2＋m)m＝3，即m＋2m＝3，解得m＝1或m＝－3.故选A.
9
99
9
2
9
?31?
??n的展开式中，第6项为常数项，则展开式中x－10．(2017·淮北模拟)已知在?3?
2x??
所有的有理项共有( )
A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 答案 C 解析 Tr＋1＝Cxrnn－r??－
?1?rn－2r，由第6项为常数项 ，得当r＝5时，?r＝Crn?－?x3?3?3?2?
?2x?
1?
n－2r3
＝0，得n＝10.令
10－2r3
＝k∈Z，则10－2r＝3k，即r＝5－k，故k应为偶数．又32
0≤r≤10，故k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.故第3项，第6项与第9项为有理项，故选C.
二、填空题
11．(2014·安徽高考)设a≠0，n是大于1的自然数，?1＋?的展开式为a0＋a1x＋a2x＋…＋anx.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.
答案 3
解析 根据题意知a0＝1，a1＝3，a2＝4，结合二项式定理得
?11
?Cn·＝3，
a?
n?
?
x?na?
2
12
Co\\al(,n)·2＝4，
a
3
?8
即?n－1＝a，n＝3a，
3?
2
2
解得a＝3.
12．若?ax＋?的展开式中x的系数为20，则a＋b的最小值为________．
x??
2
b?6
?
答案 2
解析 因为二项式?ax＋?展开后第k项为C6·(ax)
x??
2
b?6
k－127－k?
?b?k－1＝Ck－1a7－kbk－1x15－3k，所?x?6??
2
2
以当k＝4时，可得x的系数为20ab，即20ab＝20，得ab＝1.故a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时等号成立，此时a＋b取得最小值2.
13．在(1＋x)(1＋y)的展开式中，记xy项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋
6
4
2
2
33333
mnf(1,2)＋f(0,3)＝________.
答案 120
解析 ∵(1＋x)展开式的通项公式为Tr＋1＝C6x，(1＋y)展开式的通项公式为Th＋1＝C4y，∴(1＋x)(1＋y)展开式的通项可以为C6C4xy.
∴f(m，n)＝C6C4.
∴f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C6＋C6C4＋C6C4＋C4＝20＋60＋36＋4＝120. 14．(2017·江西赣州十四县联考)若?x＋
2
3
21
12
3
6
rr4
hh64rhrhmn?
?
1?n的展开式中前三项的系数分别为A，B，C，3x??
且满足4A＝9(C－B)，则展开式中x的系数为________．
答案
56
27
Cnn?n－1??n－n－n?，即n2－7n－8＝0，
解析 易得A＝1，B＝，C＝＝，所以有4＝9??3918?183?
n22
1?8??1?rC88－2rr8－r解得n＝8或n＝－1(舍)．在?x＋?中，因为通项Tr＋1＝C8x·??＝rx，令8－2r?3x??3x?3562
＝2，得r＝3，所以展开式中x的系数为.
27
三、解答题
15．(2018·三亚模拟)已知fn(x)＝(1＋x). (1)若f2019(x)＝a0＋a1x＋…＋a2019x2019
rn，求a1＋a3＋…＋a2017＋a2019的值；
(2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x项的系数． 解 (1)因为fn(x)＝(1＋x)， 所以f2019(x)＝(1＋x)
2019
6
n，
2019
又f2019(x)＝a0＋a1x＋…＋a2019x，
2019
所以f2019(1)＝a0＋a1＋…＋a2019＝2，①
2019
f2019(－1)＝a0－a1＋…＋a2017－a2019＝0，②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a2017＋a2019)＝2所以a1＋a3＋…＋a2017＋a2019＝2
6
72018
，
.
8
(2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)， 所以g(x)＝(1＋x)＋2(1＋x)＋3(1＋x).
66
g(x)中含x6项的系数为C66＋2C7＋3C8＝99.
?1?n16．已知?＋2x?，
?2?
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解 (1)因为Cn＋Cn＝2Cn，所以n－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14. 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5. 353?1?43
∴T4的系数为C7??2＝，
2?2?
34
T5的系数为C47??2＝70. 2
4
6
5
2
?1???
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，
7?1?77
∴T8的系数为C14??2＝3432.
?2?
(2)∵Cn＋Cn＋Cn＝79，∴n＋n－156＝0， ∴n＝12或n＝－13(舍去)． 设Tk＋1项的系数最大，
0122
?1?12?1?1212
∵?＋2x?＝??(1＋4x)， ?2??2?
∴{C124≥C124
kkk－1k－1
，Co\\al(,12)4≥C124
kkk＋1k＋1
，
4752解得≤k≤.
55
∵k∈N，∴k＝10，∴展开式中系数最大的项为T11，
2101010
T11＝C1012·??·2·x＝16896x.
2
?1???
(2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x项的系数． 解 (1)因为fn(x)＝(1＋x)， 所以f2019(x)＝(1＋x)
2019
6
n，
2019
又f2019(x)＝a0＋a1x＋…＋a2019x，
2019
所以f2019(1)＝a0＋a1＋…＋a2019＝2，①
2019
f2019(－1)＝a0－a1＋…＋a2017－a2019＝0，②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a2017＋a2019)＝2所以a1＋a3＋…＋a2017＋a2019＝2
6
72018
，
.
8
(2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)， 所以g(x)＝(1＋x)＋2(1＋x)＋3(1＋x).
66
g(x)中含x6项的系数为C66＋2C7＋3C8＝99.
?1?n16．已知?＋2x?，
?2?
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解 (1)因为Cn＋Cn＝2Cn，所以n－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14. 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5. 353?1?43
∴T4的系数为C7??2＝，
2?2?
34
T5的系数为C47??2＝70. 2
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?1???
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，
7?1?77
∴T8的系数为C14??2＝3432.
?2?
(2)∵Cn＋Cn＋Cn＝79，∴n＋n－156＝0， ∴n＝12或n＝－13(舍去)． 设Tk＋1项的系数最大，
0122
?1?12?1?1212
∵?＋2x?＝??(1＋4x)， ?2??2?
∴{C124≥C124
kkk－1k－1
，Co\\al(,12)4≥C124
kkk＋1k＋1
，
4752解得≤k≤.
55
∵k∈N，∴k＝10，∴展开式中系数最大的项为T11，
2101010
T11＝C1012·??·2·x＝16896x.
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?1???
