失败只有一种那就是半途而废
一 知识要点
1.充分条件和必要条件 （1）如果???，那么
①?是?的充分条件； ②?是?的必要条件； ③?的充分条件是?； ④?的必要条件是?；
（2）既有???，又有???，即???，那么
①?是?的充要条件； ②?是?的充要条件； ③?的充要条件是?； ④?的充要条件是?； （3）对于事件?,?，“条件”又可具体分为以下四种情形：
①?是?的充分非必要条件； ②?是?的必要非充分条件； ③?是?的充要条件；
④?是?的既不充分也不必要条件；
2.子集和推出关系
设A??a|a具有性质p?,B??b|b具有性质q? （1）若A?B，则p是q的充分条件； （2）若A?B，则p是q的必要条件；
（3）若AB，则p是q的充分非必要条件； （4）若BA，则p是q的必要非充分条件； （5）若A?B，则p是q的充要条件；
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失败只有一种那就是半途而废
【例1】设p、q是简单命题，则“p且q为假”是“p或q为假”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【例2】“|x-1|<2
成立”是“x(x-3)<0成立”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【例3】“a=1”是“直线
x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【例4】x
2
<4的必要不充分条件是( )
A.-2≤x≤2 B.-2 【例5】设 p:x<-2011或x>2011;q:x<-2011或x>2011,则?p是?q的 ( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【例6】设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x?b1x?c1?0和 22 / 6 失败只有一种那就是半途而废 a1b1c1??abc2”a2x2?b2x?c2?0的解集分别为M和N，2那么“2是“M=N”的（） A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【例7】设a,b,m?R，则“ma?mb”是“a?b”的（ B. 必要不充分条件 D. 既不充分与不必要条件 ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 在R上是增函数”， 条件乙：“函数y?logax在(0,??)上是增函数”， 则条件甲是条件乙的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 x 【例8】若a?0且a?1，条件甲：“函数y?a 【例9】设 p?r都是q的充分条件,s是q的充要条件,t是s的必要条 件,t是r的充分条件,那么p是t的________条件, r是t的_______条件. 【例10】已知p:log?(|x|-3)>0,q:x 2 -?x+>0,则p是q的_______条件. 16 【例11】在空格内填上“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非 充分又非必要”： （1）“x?0”是“x?1”的条件； （2）“x2?5x?6?0”是“x??2”的条件； （3）“x?y”是“x?y”的条件； （4）“a?0”是“方程ax?b有唯一解”的条件； （5）对于集合A,B，“x?A?B”是“x?A?B”的 条件； （6）对于集合A,B,C，“A?B”是“A?C?B?C”的条件； 【例12】对于a,b?R，以下四个式子： ①甲:(a?1)(a?3)?0，乙：a??3； ②甲：a?5，乙：a?4； 3 / 6 失败只有一种那就是半途而废 ③甲：b2?ac，乙，?； ④甲：a,b不都为偶数，乙：a?b不为偶数； 其中甲是乙的必要不充分条件的是（写出正确的序号）； 【例13】为使实系数一元二次方程ax2?bx?c?0的两根是不相等的正根， abbc下列条件中， 充分非必要条件有； 必要非充分条件有； 充要条件有；（请填上符合条件的序号） ①b2?4ac?0；②?0；③?0；④b2?4ac?0；⑤b2?4ac?0， cbcbc⑥?0，?0；⑦b2?4ac?0，?0，?0；⑧b2?4ac?0，?0；aaaaaa?0,b?0,c?0；⑨b?a?c,ac?0,ab?0； baca 【例14】判断下列各组命题中p是q的什么条件？ 22（1）p：ab?0，q：a?b?0 x?y?x?y （2）p：xy?0，q： 2（3）p：m?0，q：方程x?x?m?0有实根 2（4）p：ax?ax?1?0的解集为R，q：0?a?4 【例15】在M??x|x??3或x?5?,P?x|x?(a?8)x?8a?02??的前提下： （1） 求a的一个值，使它成为M?P??x|5?x?8?的一个充分非必 要条件； （2） 求a的一个取值范围，使它成为M?P??x|5?x?8?的一个必 要非充分条件 【例16】已知P?x|x?a?4??，Q??x|x2?4x?3?0，且x?P是x?Q的必 ?要条件,求实数a的取值范围； 4 / 6 失败只有一种那就是半途而废 【例17】已知p:1?x?1≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).若?p是?q的充分不3必要条件,求实数m的取值范围. 【例18】设 p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足 2??x?x?6≤0, ?2??x?2x?8?0.(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围; (2)若?p是?q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 222【例19】已知：p：x?8x?20?0，q：x?2x?1?a?0，若p是q的充分而不 必要条件。求正实数a的取值范围。 5 / 6 失败只有一种那就是半途而废 2222【例20】设a、b、c为?ABC的三边，求证：方程x?2ax?b?0与x?2cx?b?0有公共根的充要条件是?A?90? 证明： （1）充分性∵?A?90?∴a?b?c 22222∴x?2ax?b?0可化为：x?2ax?a?c?0 222[x?(a?c)][x?(a?c)]?0∴x1??a?c，x2??a?c 22222同理：x?2cx?b?0可化为：x?2cx?c?a?0 [x?(c?a)][x?(c?a)]?0∴x3??a?c，x4??c?a ∴两方程有公共根?a?c （2）必要性 22????2a??b?0?22???2c??b?0∴?2?2(a?c)??0 设两方程有公共根?则?2又∵??0若??0代入任一方程得b?0即b?0这与已知b是三角形的 ∴?边长b?0相矛盾 ??a?c 222把???a?c代入上面方程组与任何一个式子，均可得a?b?c ∴?A?90? 6 / 6 失败只有一种那就是半途而废 2222【例20】设a、b、c为?ABC的三边，求证：方程x?2ax?b?0与x?2cx?b?0有公共根的充要条件是?A?90? 证明： （1）充分性∵?A?90?∴a?b?c 22222∴x?2ax?b?0可化为：x?2ax?a?c?0 222[x?(a?c)][x?(a?c)]?0∴x1??a?c，x2??a?c 22222同理：x?2cx?b?0可化为：x?2cx?c?a?0 [x?(c?a)][x?(c?a)]?0∴x3??a?c，x4??c?a ∴两方程有公共根?a?c （2）必要性 22????2a??b?0?22???2c??b?0∴?2?2(a?c)??0 设两方程有公共根?则?2又∵??0若??0代入任一方程得b?0即b?0这与已知b是三角形的 ∴?边长b?0相矛盾 ??a?c 222把???a?c代入上面方程组与任何一个式子，均可得a?b?c ∴?A?90? 6 / 6
