《有限元》讲义
第2章 弹性力学平面问题有限单元法
2.1 三角形单元(triangular Element)
三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:
①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。 一、结点位移和结点力列阵
设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。
在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x、y两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1)
?d?e?ui????vi??d?i??uj?????????dj??vj????u??dm??m???vm???F?e?X????Yi??F?i??Xj?????????Fj? (2-1-1)?Yj??F??X??m??m???Ym??i
二、单元位移函数和形状函数
前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构
造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。 构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。以位移(ui ,vi ,…um vm )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。 在平面应力问题中，有u,v两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:
u?u(x,y)????x??y
123 v?v(x,y)??4??5x??6y (2-1-2)a
式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)
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确定。将3个结点坐标(xi,yi ),(xj,yj ),(xm,ym )代入上式得如下两组线性方程:
u??2xi?3yi
i1 uj????xj??yj (a)
123 um??2xm?3ym
1和
v??5xi?6yi
i4 vj????xj??yj (b)
546 vm??5xm?6ym
4利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数?1 、?2 、
?????????????3 :
?1?A1A ?2?A2A ?3?A3A
式中行列式:
1uiyiuixiyi
A?ujxjyjA2?1ujyj1umxmym1umym1xiuiA3?1xjuj1xmum
1xiyi A?1xjyj?2A1xmym
A为△ijm的面积,只要A不为0,则可由上式解出:
1(au?au?au) ?mmjj12Aii ??1(bu?bu?bmum) （C）
jj22Aii1(cu?cu?cu)
?3?2Aiijjmm ?式中:
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ai?xjym?xmyj aj?xmyi?xiym am?xiyj?xjyi
bi?yj?ym bj?ym?yi bm?yi?yj （d）
ci?xm?xj cj?xi?xm cm?xj?xi
为了书写方便，可将上式记为: ai?xjym?xmyi b?yj?ym (i,j,m) c?xm?x
iji(i,j,m) 表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m作轮换的方式便可得到(d)
式。 将(c)式代入2-1-2中,整理后可得:
u?N(x,y)u?N(x,y)u?Nm(x,y)um
iijj 同理: v?N(x,y)v?N(x,y)v?Nm(x,y)vm （2-1-2）b iijj 式中: Ni
将三角形单元的位移函数用矩阵表示：
?1(ai?bix?ciy) (i,j,m) (2-1-3) 2A?ui????vi?????u???Ni 0 Nj 0 Nm 0 ??uj?f(x,y)????? (2-1-4)a??? v??0 Ni 0 Nj 0 Nm???i??v????u??m???vm?? 或：
??u??{f}????[N]{d}e (2-1-4)b??v??
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三、单元的应变和应力
１、应变──几何矩阵[B]
由弹性力学知,弹性力学平面问题的几何方程： ?x??u； ?y??v ； ?xy??u??v
?y?y?x?x???????x??x???????y???0?????xy????????y???0????u?????????y???v??????x???
用矩阵表示
?或， ??????H??f? (2-1-5)
[H]称为微分符矩阵,又称为微分算子,“[H]{f}”实际上不是一般的矩阵乘,
可以称为微分符矩阵[H]作用在{f}上,其作用规律符合矩阵乘积规定，实际上是按[H]对{f}求导。
将2-1-4式的{f}=[N]{d}代入: {ε
}=[H][N]{d}=[B]{d} 2-1-6
????N????i?y??0?????x????????x 式中: ?B???H??N????0????????????y????bi1?0?2A??c??i00Nj0Nm0? ?Ni0Nj0Nm??bicjbjcmbm???0bj0bm0??ci0cj0cm?? (2-1-7)称为几何矩阵，对于上述三角形单元，[B]是常量矩阵,因此常把这种三角形单
元称为常应变单元
２、应力矩阵[S]
由弹性力学知,由应力求应变的物理方程是:
E?y?1??y???x?
E?xy2(1??) ?xy???xyGE
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?x?1??x???y?
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由上式解出应力,得到由应变表示应力的物理方程: ?x?E2??x???y?
1???y?E2??y???x?
1???? ?xy?E2?1?1??2xy 用矩阵表示:
???????x????????y???D?????????xy???1???2??0?????
E?D????1???10? 2-1-8 0??0?(1??)??2??
称为弹性矩阵。
将2-1-6式{ε}=[B]{d}代入上式得: ?????D??????D??B?d??????式中:
?S???D??B???????????????bi?E????bi??22?1???A????1???2ci??
?cibj?cjbm?cm??ci?bjcj?bmcm???1??b1??c1??b1??c1??b?2i2j2j2m2m????e? 2-1-9 ???S??d?e 2-1-10
上式称为应力矩阵,是结点位移与应力之间的关系矩阵,在上述三角形单元中它也是一个常量矩阵(常应力单元)。
四、单元刚度矩阵
有了几何矩阵[B]和弹性矩阵[D]后,我们便可将其代入在§1-3中推导出的单元刚度矩阵的一般表达式:
T ?K???B??D??B?dv
????v?????对于平面问题，积分
?dz?t，是单元的厚度，并假定t在单元内不变化(常数)，
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所以三角形单元的单刚:
