平行四边形性质和判定综合（一） 适用学科 适用区域 知识点 初中数学 全国 1.平行四边形的性质； 2.平行四边形的判定； 3.基本辅助线的作法。 适用年级 初中二年级 课时时长（分钟） 60分钟 教学目标 1．回顾平行四边形的概念，了解平行四边形的基本识别方法． 2．按照课本操作步骤的要求，完成操作实践． (1)结合第一个操作实践活动，利用图形平移的性质了解“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”． (2)结合第二个操作实践活动，利用图形中心对称的性质了解“对角线互相平分的四边形是平行四边形”． 3．准备长度相等的木条各一对，尝试在平面内摆出平行四边形，结合实践活动了解“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”． 教学重点 教学难点 平行四边形的性质和判定的应用。 对平行四边形的性质和判定的灵活运用。 教学过程
一、复习预习
平行四边形的识别方法（如图1） 1．从“边”的角度考虑
(1) ∵AB∥_______，_______∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形( )． (2) ∵AD∥_______， __________＝_______，
∴四边形ABCD为平行四边形( )． (3) ∵_______＝CD，AD＝_______，
∴四边形ABCD为平行四边形（ ）． 2．从“对角线”的角度考虑
∵AO＝_______，BO＝_______，即_______与_______互相_______， ∴四边形ABCD为平行四边形( )．
二、知识讲解
1．性质：按边、角、对角线三方面分类记忆．
??对边平行；?边???对边相等.??对角相等；?平行四边形的性质 ?角?
邻角互补.???对角线：对角线互相平分.???另外，由“平行四边形两组对边分别相等”的性质，可推出下面的推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．
2．判定方法：同样按边、角、对角线三方面分类记忆．
?两组对边分别平行?边 ?一组对边平行且相等
?两组对边分别相等?的四边形是 平行四边形
角：两组对角分别相等 对角线：对角线互相平分
3．注意的问题：
平行四边形的判定定理，有的是相应性质定理的逆定理． 学习时注意它们的联系和区别，对照记忆．
4．特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）
5.研究平行四边形问题的基本思想方法是转化法，即把平行四边形的问题转化为三角形及平移、旋转和对称图形的问题来研究． 考点/易错点1
平行四边形的判定的应用容易与性质的应用混淆。 考点/易错点2
平行四边形的判定中注意“两组对边分别相等或者平行”中“分别”两个字的重要性，注意区分。
三、例题精析
【例题1】
【题干】如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE． 试说明：(1)△AFD≌△CEB． (2)四边形ABCD是平行四边形．
【答案】解答：(1) ∵DF∥BE，∴∠1＝∠2．
在△AFD和△CEB中，AF＝CE，∠1＝∠2，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB． (2)∵△AFD≌△CEB，∴AD＝BC，∠3＝∠4．∴AD//BC． 从而由AD＝BC，AD∥BC，得到四边形ABCD是平行四边形．
【解析】(1)说明三角形全等的方法有SAS、ASA、AAS、SSS，本题要说明△AF D≌△CEB，已知AF＝CE，DF＝BE，只要说明∠DFA＝∠CEB，而∠DFA＝∠CEB，由DF∥BE可得到； (2)说明四边形是平行四边形的方法有四种，由于(1)中已经说明△AFD≌△CEB，所以可得到AD＝BC，因而可考虑“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，由题意发现易得AD∥BC．
点评：说明四边形是平行四边形常用的方法有四种，在解题过程中要注意分析条件和图形，选择合适的方法，使说明过程简洁明了．
【例题2】
【题干】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：BE=DF；
（2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．
【答案】解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F， ∴∠AEB=∠CFD=90°， ∴△ABE≌△CDF（A．A．S．）， ∴BE=DF；
（2）四边形MENF是平行四边形． 证明：有（1）可知：BE=DF， ∵四边形ABCD为平行四边行， ∴AD∥BC， ∴∠MDB=MBD， ∵DM=BN，
∴△ DNF≌ △ BNE， ∴ NE=MF，∠ MFD=∠ NEB， ∴ ∠ MFE=∠ NEF， ∴ MF∥ NE，
∴四边形MENF是平行四边形．
【解析】考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。
分析：（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF即可得到BE=DF； （2）根据平行四边形的判定方法：有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形判定四边形MENF的形状．
点评：本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性质．
【例题3】
【题干】如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形AECF是平行四边形 ∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF， ∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO， ∴△FDO≌△EBO， ∴OD=OB， ∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。
分析：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
四、课堂运用
【基础】
1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．
答案
证明：（1）∵BF=DE， ∴BF﹣EF=DE﹣EF，
