第5讲 简单的三角恒等变换
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
4
1．[2017·全国卷Ⅲ]已知sinα－cosα＝，则sin2α＝( )
37227A．－ B．－ C. D.
9999答案 A
4162
解析 ∵sinα－cosα＝，∴(sinα－cosα)＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝，∴
397
sin2α＝－.故选A.
9
2．[2017·山东高考]函数y＝3sin2x＋cos2x的最小正周期为( ) π2πA. B. C．π D．2π 23答案 C
?解析 y＝3sin2x＋cos2x＝2sin?2x＋?
3．[2018·武汉模拟]计算tan15°＋A.2 B．2 C．4 D．22 答案 C
π?2π
，T＝＝π.故选C. ?6?2
1
的值为( )
tan15°
1sin15°cos15°sin15°＋cos15°2
解析 tan15°＋＝＋＝＝＝4.故
tan15°cos15°sin15°sin15°cos15°sin30°选C.
4．[2018·重庆质检]计算sin20°cos110°＋cos160°sin70°的值为( ) 1
A．0 B．1 C．－1 D.
2答案 C
解析 原式＝sin20°cos(180°－70°)＋cos(180°－20°)·sin70°＝－sin20°cos70°－cos20°sin70°＝－(sin20°·cos70°＋cos20°sin70°)＝－sin90°＝－1.故选C.
5．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，则C等于( ) π2πππA. B. C. D. 3364答案 A
22
解析 由已知得tanA＋tanB＝－3(1－tanAtanB)， ∴
tanA＋tanB＝－3，即tan(A＋B)＝－3.
1－tanAtanBπ
又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝3，0＜C＜π，∴C＝. 36．[2018·大连模拟]若3
答案 4解析
sinα＋cosα1tanα＋11
＝，等式左边分子、分母同除以cosα，得＝，解得tanα
sinα－cosα2tanα－12
sinα＋cosα1
＝，则tan2α等于________．
sinα－cosα2
2tanα3
＝－3，则tan2α＝＝. 2
1－tanα4
?π?7．已知sinα＝cos2α，α∈?，π?，则tanα＝________. ?2?
答案 －
3
3
2
2
解析 sinα＝1－2sinα，∴2sinα＋sinα－1＝0.
?π?∴(2sinα－1)(sinα＋1)＝0，∵α∈?，π?， ?2?
13
∴2sinα－1＝0.∴sinα＝，cosα＝－. 22∴tanα＝－3
. 3
3??π??2
8．[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)＝sinx＋3cosx－?x∈?0，??的最大值是________．
2??4??答案 1
33?2?2
解析 f(x)＝1－cosx＋3cosx－＝－?cosx－?＋1.
42??
?π?∵x∈?0，?，∴cosx∈[0,1]，
2??
∴当cosx＝
3
时，f(x)取得最大值，最大值为1. 2
2
9．已知f(x)＝23sinxcosx＋2cosx－1(x∈R)．
?π?(1)求函数f(x)的最小正周期及在?0，?上的最大值和最小值；
2??
π?6?ππ??(2)若f(x0)＝，x0∈?，?，求cos?2x0＋?的值．
6?5?42??
解 (1)∵f(x)＝23sinxcosx＋2cosx－1 ＝3sin2x＋cos2x π??＝2sin?2x＋?， 6??
∴函数f(x)的最小正周期为T＝π， π?π7π??π?∵x∈?0，?，∴2x＋∈?，?， 2?6?6?6?
2
?π?∴f(x)max＝f??＝2， ?6?
f(x)min＝f??＝－1.
2
?π???
?(2)由(1)可知f(x0)＝2sin?2x0＋
?
π?3?即sin?2x0＋?＝，
6?5?
π?6
?＝， 6?5
π?2π7π??ππ?又∵x0∈?，?，∴2x0＋∈?，，
6?6?3?42??π??∴cos?2x0＋?＜0，
6??π??即cos?2x0＋?＝－6??
2?1－sin?2x0＋
?
π?4
＝－. ?6?5
π?5?10．[2018·宝鸡模拟]已知α为锐角，cos?α＋?＝. 4?5?
?(1)求tan?α＋
?
π?π??的值；(2)求sin?2α＋?的值． ?4?3??
解 (1)因为α∈?0，π??所以sin?α＋?＝
4??π??所以tan?α＋?＝4??
??
π?π?π3π?，所以α＋∈?，?， ?2?4?4?4π?252?1－cos?α＋?＝，
4?5?
?sin?α＋?
?cos?α?
π??4?
＝2. π?＋?4?
?(2)因为sin?2α＋
?
π?π????＝sin?2?α＋?? ?2?4????
π?π?4??＝2sin?α＋?cos?α＋?＝， 4?4?5??
π?π??π?3???2?cos?2α＋?＝cos?2?α＋??＝2cos?α＋?－1＝－， 2?4??4?5????
π?π?π????2α＋2α＋所以sin??－ ?＝sin??2?6?3?????π?ππ?π??＝sin?2α＋?cos－cos?2α＋?sin 2?2?66??43＋3
＝.
10
[B级 知能提升]
37?ππ?1．[2018·天水模拟]若θ∈?，?，sin2θ＝，则sinθ等于( ) 8?42?3473
A. B. C. D. 5544答案 D
?ππ??π?解析 因为θ∈?，?，所以2θ∈?，π?，cos2θ≤0，所以cos2θ＝－
?42??2?
1193222
1－sin2θ＝－.又因为cos2θ＝1－2sinθ＝－，所以sinθ＝，sinθ＝.故选D.
881641?π??π?2．[2017·全国卷Ⅲ]函数f(x)＝sin?x＋?＋cos?x－?的最大值为( )
3?6?5??631
A. B．1 C. D. 555答案 A
1?π??π?解析 解法一：∵f(x)＝sin?x＋?＋cos?x－?
3?6?5??1?1313?
＝?sinx＋cosx?＋cosx＋sinx 5?222?21331
＝sinx＋cosx＋cosx＋sinx 1010223336?π?＝sinx＋cosx＝sin?x＋?，
3?555?
π6
∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.故选A.
65解法二：∵??x＋
?
π??π?π
＋?－x?＝， ?3??6?2
1?π??π?∴f(x)＝sin?x＋?＋cos?x－? 3?6?5??1?π??π?＝sin?x＋?＋cos?－x?
3?5??6?
1?π??π?＝sin?x＋?＋sin?x＋?
3?3?5??6?π?6
＝sin?x＋?≤. 3?55?6
∴f(x)max＝.故选A.
5
π?3π???3．[2016·全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin?θ＋?＝，则tan?θ－?＝4?54???________.
4
答案 －
3
π?3π?解析 因为θ是第四象限角，且sin?θ＋?＝，所以θ＋为第一象限角，所以4?54?π?4π???cos?θ＋?＝，所以tan?θ－?＝
4?54???4
＝－.
3
?sin?θ－??cos?θ?
π??π?π??π??－cos?＋?θ－??cos?θ＋??4??4?4???2?
＝＝－ππ??π??π??－?sin?θ＋?sin?＋?θ－???4?4??4???2?
??22
4．已知函数f(x)＝?sin＋cos?－2sin. 2?2?2
23
(1)若f(x)＝，求sin2x的值；
3
(2)求函数F(x)＝f(x)·f(－x)＋f(x)的最大值与单调递增区间． 解 (1)由题意知f(x)＝1＋sinx－(1－cosx)＝sinx＋cosx， 2323
又∵f(x)＝，∴sinx＋cosx＝，
3341
∴sin2x＋1＝，∴sin2x＝.
33
(2)F(x)＝(sinx＋cosx)·[sin(－x)＋cos(－x)]＋(sinx＋cosx) ＝cosx－sinx＋1＋sin2x ＝cos2x＋sin2x＋1 ＝2sin?2x＋
2
2
2
2
xxx??
π??＋1， 4?
π??当sin?2x＋?＝1时，F(x)取得最大值， 4??即F(x)max＝2＋1.
令－
πππ
＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 2423ππ
≤x≤kπ＋(k∈Z)， 88
∴kπ－
从而函数F(x)的最大值为2＋1，单调递增区间为
?kπ－3π，kπ＋π?(k∈Z)．
?88???
3?π?2
5．[2018·四川检测]已知函数f(x)＝cosx·sin?x＋?－3cosx＋，x∈R.
3?4?(1)求f(x)的最小正周期；
?ππ?(2)求f(x)在闭区间?－，?上的最大值和最小值．
?44?
解 (1)由已知，有
f(x)＝cosx·?sinx＋
?1?233?2
cosx?－3cosx＋ 42?
1332
＝sinx·cosx－cosx＋ 224133＝sin2x－(1＋cos2x)＋ 444π?131?＝sin2x－cos2x＝sin?2x－?.
3?442?所以f(x)的最小正周期T＝
2π
＝π. 2
π?5ππ??ππ?(2)由x∈?－，?得2x－∈?－，?，
6?3?6?44?π??1??则sin?2x－?∈?－1，?，
3??2??
π??11?1?即函数f(x)＝sin?2x－?∈?－，?.
3??24?2?所以函数f(x)在闭区间?－
?π，π?上的最大值为1，最小值为－1. ?42?44?
令－
πππ
＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 2423ππ
≤x≤kπ＋(k∈Z)， 88
∴kπ－
从而函数F(x)的最大值为2＋1，单调递增区间为
?kπ－3π，kπ＋π?(k∈Z)．
?88???
3?π?2
5．[2018·四川检测]已知函数f(x)＝cosx·sin?x＋?－3cosx＋，x∈R.
3?4?(1)求f(x)的最小正周期；
?ππ?(2)求f(x)在闭区间?－，?上的最大值和最小值．
?44?
解 (1)由已知，有
f(x)＝cosx·?sinx＋
?1?233?2
cosx?－3cosx＋ 42?
1332
＝sinx·cosx－cosx＋ 224133＝sin2x－(1＋cos2x)＋ 444π?131?＝sin2x－cos2x＝sin?2x－?.
3?442?所以f(x)的最小正周期T＝
2π
＝π. 2
π?5ππ??ππ?(2)由x∈?－，?得2x－∈?－，?，
6?3?6?44?π??1??则sin?2x－?∈?－1，?，
3??2??
π??11?1?即函数f(x)＝sin?2x－?∈?－，?.
3??24?2?所以函数f(x)在闭区间?－
?π，π?上的最大值为1，最小值为－1. ?42?44?
