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综合测试
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.已知角θ的终边上有一点P(-3,y)(y≠0),且sinθ=
2y,则cosθ的值是( ) 4A.?14263 B.- C.- D.?
4444y3?y2?2y, 4解析:由已知sinθ=
所以
13?y2?33?y2?21122,?,3+y=8,y=5. 243?y8?33?5??6. 4cosθ=?答案:D
2.下列四个命题中正确的是( )
A.两条有向线段相等,那么它们的终点一定相同
B.向量a在x轴正方向上的投影是与a方向相同的向量
C.向量a与b共线的充要条件是有且只有一个实数,使得b=λa D.相反向量一定是共线向量
解析:A不正确,两条有向线段相等,只需大小,方向相同,不管起点在哪里,终点也不一定相同,B显然不正确,C中要求向量a为非零向量,D中相反向量是大小相等,方向相反向量,一定共线,故选D. 答案:D
3.已知sinx=3cosx,则sinx·cosx的值是( )
1132 B. C. D. 65109sinxsinx?cosxtanx33解析:sinx=3cosx,tanx==3,sinx·cosx=. ???2222cosxsinx?cosxtanx?13?110A.
答案:C
4.设i、j是互相垂直的单位向量,向量a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,(a+b)⊥(a-b),则实数m为( ) A.-2 B.2 C.-
1 D.不存在 2解析:(a+B)⊥(a-b),即(a+b)·(a-b)=0,a2-b2=0,|a|2-|b|2=0,而|a|2=(m+1)2+9,|b|2=1+(m-1)2,|a|2-|b|2 =m2+2m+10-(m2-2m+2)= 4m+8=0,m=-2,故选A. 答案:A
?,π),b=(0,-1),则向量a与b的夹角为( ) 23???A.-φ B.+φ C.φ- D.φ
2225.已知向量a=(2cosφ,2sinφ),φ∈(
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?2sin?=-sinφ=cos(
解析:设向量a与b夹角为θ,cosθ=
a?b?|a||b|4cos2??4sin2??1?+φ),而23???,π),故+φ∈(π,).
222??所以cos(+φ)=cos(+φ-2π)
223?3?=cos(φ-)=cos(-φ), 22?3?且＜-φ＜π,
223?所以θ=-φ.
2φ∈(
答案:A
6.已知△ABC中,tanA·tanB＜1,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.形状不确定 解析:∵0＜tanA·tanB＜1,此时tanA＞0,tanB＞0, A,B都是锐角,tan(A+B)=答案:C
tanA?tanB,tanC=-tan(A+B)＜0.C是钝角.
1?tanAtanB?,-2)平移后得到的图象的函数解析式是( ) 3??A.y=sin(x-)-2 B.y=sin(x+)-2
33??C.y=sin(x-)+2 D.y=sin(x+)+2
33??解析:y=sinx图象按向量a=(-,-2)平移后图象对应的函数解析式为y=sin(x+)-2.
337.把函数y=sinx的图象按向量a=(-答案:B
8.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则∠C的大小为( ) A.
5???5??2? B. C.或 D.或
663663解析:3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,
平方得9sin2A+24sinAcosB+16cos2B+16sin2B+24sinBcosA+9cos2A=9+16+24(sinAcosB+cosA sinB) z=25+24sin(A+B)=37.
1,又0＜A+B＜π. 2?5??故A+B=或,若A+B=.
666故sin(A+B)=则0＜A＜
???33,0＜B＜,3cosA＞3cos=.
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而sinB＞0,故4sinB+3cosA=1不可能成立,
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若A+B=
5??则成立,所以C=. 66答案:A
9.设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,下面四个命题: ①(a·b)·c-(a·c)·b=0; ②|a|-|b|＜|a-b|; ③(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直; ④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. 其中是真命题的有( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
解析:①③都不一定成立,由于a,b不共线,|a|,|b|,|a-b|可构成三角形三边.②成立. (3a+2b)·(3a-2b)=9a2-4b2=9|a|2-4|b|2.④成立. 答案:D
?)-sin2x的一个单调增区间是( ) 3?7?5?13????5?A.［-,］ B.［,］ C.［,］ D.［,］
121212126336??解析:y=sin(2x-)-sin2x=-cos(2x-),
36?7??由2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z)得函数的单调增区间为［kπ+,kπ+］(k∈Z),令k=0,得
12126?7?［,］. 121210.函数y=sin(2x-答案:B
11.在平行四边形ABCD中,已知AB=4i-2j,AC=7i+4j,AD=3i+6j,则四边形ABCD的面积是( )
A.20 B.552 C.45 D.30 解析:因为AB?AD=(4i-2j)·(3i+6j) =12i2-6i·j+24i·j-12j2 =12-0+0-12=0, 所以AB⊥AD,
即平行四边形ABCD是矩形.
|AB|=4?2?25,|AD|=3?6?35. 所以矩形ABCD面积为25?35=30. 答案:D
12.已知f(x)=|sinx+
222211|-|sinx-|,那么f(x)是( ) 22A.偶函数 B.奇函数
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C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 解析:f(-x)=|sin(-x)+
1111|-|sin(-x)- |=|sinx-|-|sinx+|=-f(x),∴f(x)是奇函数. 2222答案:B
二、填空题(每小题4分,共16分)
1222
=2tanβ+1,那么sinβ+2sinα=______________. 2tan?1解析:因为=2tan2β+1,所以 2tan?13.已知
sin2?2sin2??sinβ+2sinα= 2222sin??cos?sin??cos?2
2
tan2?2tan2?2tan2?1??????1. =
tan2??11?cot2?tan2??11?2tan2??1tan2??1tan2??1答案:1
14.△ABC三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则BA?BC=_______________. 解析:cosB=
49?25?363819??.
2?5?72?5?73519BC=|BA|·|BC|·cos〈BA,BC〉=7×5×=19. BA·
35答案:19
15.向量a=(x,1)与b=(4,x)共线,则x=______________. 解析:a=(x,1)与b=(4,x)共线, ∴x2-4=0.∴x=±2. 答案:±2
16.给出下列命题:
①y=tanx在其定义域上是增函数; ②函数y=|sin(2x+
??)|的最小正周期是; 322③函数y=cos(-x)的单调递增区间是［-π+2kπ,2kπ］(k∈Z); ④函数y=lg(sinx+sinx?1)有无奇偶性不能确定. 其中正确命题的序号是_________________. 解析:①应这样说y=tanx在区间(-②T=
??+kπ,+kπ)k∈Z上为增函数. 222?1?×=,正确. 222③y=cos(-x)=cosx,所以y=cos(-x)的单调递增区间即y=cosx的单调递增区间,为2kπ-π≤x≤2kπ,k∈Z, 即［2kπ-π,2kπ］,k∈Z.
④y=lg(sinx+sinx?1)=f(x),其定义域为x∈R,
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f(-x)=lg［sin(-x)+sinx?1］ =lg(sinx?1-sinx) =lg
221sinx?1?sinx22
=-lg(sinx+sinx?1) =-f(x),
∴y=lg(sinx+sinx?1)为奇函数. 答案:②③
三、解答题(本大题共6小题,共74分) 17.(本小题满分12分) 已知sinα=2cosβ,tanα=
23??,-＜α＜,0＜β＜π,求α、β的值. tan?22解:由tanα=
3cos?sin?,得=3, tan?sin?cos?2cos??cos?3cos?,
sin?把sinα=2cosβ代入得
若cosβ=0,因为0＜β＜π,所以β=而此时sinα=0,因为-
?, 2??＜α＜, 2223sinβ,又sinα=2cosβ,所以
所以α=0,若cosβ≠0,则2sinβ=3cosα,cosα=sin2α+cos2α=
22
sinβ+2cos2β=1, 324(sin2β+cos2β)+cos2β=1, 334211cosβ=,cos2β=, 33421,sinα=±.
22cosβ=±
又因为-
??＜α＜,0＜β＜π, 22中鸿智业信息技术有限公司
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??????,???,????44所以?或?
???????2?.??33?????????0,???,????,???44综上,满足条件的值有?或? ?或??2?????????.2????33??18.(本小题满分12分)
1?2sin(2x?)4. 已知函数f(x)=
cosx(1)求f(x)的定义域;
(2)设α是第四象限的角,且tanα=?解:(1)由cosx≠0,得x≠kπ+
?4,求f(α)的值. 3? (k∈Z). 2?故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z }.
23(2)∵tanα=?,且α是第四象限的角,
443∴sinα=-,cosα=.
55?1?2sin(2??)4 故f(α)=
cos?1?2(=
22sin2??cos2?)1?sin2??cos2?2cos2??2sin?cos?22 ??cos?cos?cos?=2(cosα-sinα)=
14. 53sin2x+a)(x∈R,a∈R,a是常数),且
19.(本小题满分12分)已知M=(1+cos2x,1),N=(1,y=OM?ON(O为坐标原点). (1)求y关于x的函数关系式y=f(x); (2)若x∈［0,
??］时,f(x)的最大值为4,求a的值,并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的26图象经过怎样的变换而得到.
解:(1)y=OM?ON=1+cos2x+3sin2x+a,
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所以f(x)=cos2x+3sin2x+1+a.
?)+1+a, 6???7?因为0≤x≤,≤2x+≤,
2666???所以当2x+=即x=时,f(x)取最大值3+a,
626(2)f(x)=2sin(2x+所以3+a=4,a=1. 所以f(x)=2sin(2x+将y=2sin(x+
?)+2. 61?)图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标保持不变,再向上平移2个
26?单位长度可得y=2sin(2x+)+2的图象.
620.(本小题满分12分)平面上有两个向量e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点Q从点Q0(-2,-1)出发,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|,设P、Q在时刻t=0秒时分别在P0、Q0,则当PQ⊥P0Q0时,用了多长时间? 解:依题得:P0(-1,2),Q0(-2,-1), ∴P0Q0=(-1,-3). ∵e1+e2=(1,1), ∴|e1+e2|=2. ∵3e1+2e2=(3,2), ∴|3e1+2e2|=13.
∴当t时刻时,P(-1+t,2+t). 点Q的位置为(-2+3t,-1+2t), ∴PQ=(-1+2t,-3+t). ∵PQ⊥P0Q0,
∴(-1)×(-1+2t)+(-3)×(-3+t)=0,t=2. ∴用时2秒钟.
21.(本小题满分12分)受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐,在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下面是该港口在某季节每天水深的数据:
0 3 6 9 12 15 18 21 24 t(时)
10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 y(米)
经长期观察,y=f(t)曲线可以近似地看作函数y=Asinωt+k的图象. (1)根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似表达式;
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(2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不踫海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船想在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间?(忽略进出港所需的时间) 解:(1)根据表中数据画出y=Asinωt+k的图象.
13?713?7=3,k==10, 222??T=12,ω==.
126?∴y=3sint+10.
6?(2)y=3sint+10≥11.5,
6?∴3sint≥1.5.
6?1∴sint≥.
625???2kπ+≤t≤2kπ+,
6661152k+≤t≤2k+.
666A=
12k+1≤t≤12k+5. 当k=0时,1≤t≤5, 当k=1时,13≤t≤17.
所以要使它能安全进出港,最多1点进港17点出港,共16小时. 22.(本小题满分14分)已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,0＜φ＜2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点(1,2). (1)求φ;
(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2 008). (1)解:y=Asin2(ωx+φ)=
?),且y=f(x)的最大值为2AA-cos(2ωx+2φ). 22∵y=f(x)的最大值为2,A＞0, ∴
AA+=2,A=2. 22又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,ω＞0,
12??()=2,ω=. 22?422??∴f(x)=-cos(x+2φ)=1-cos(x+2φ).
2222∴
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∵y=f(x)过(1,2)点, ∴cos(∴
?+2φ)=-1. 2?+2φ=2kπ+π,k∈Z. 2?∴2φ=2kπ+,k∈Z.
2?∴φ=kπ+,k∈Z.
4?又∵0＜φ＜,
2?∴φ=.
4?(2)解法一:∵φ=,
4???∴y=1-cos(x+)=1+sinx.
222∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.
又∵y=f(x)的周期为4,2 008=4×502, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008. 解法二:∵f(x)=2sin2(∴f(1)+f(3)=2sin2(f(2)+f(4)=2sin2(
?x+φ), 43??+φ)+2sin2(+φ)=2,
44?+φ)+2sin2(π+φ)=2, 4∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4.
又y=f(x)的周期为4,2 008=4×502, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008.
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