江西省南昌市2018届高三第一次模拟测试
数学（文科）
本试卷分必考题和选做题两部分，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题部分 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的. 1．已知集合A?x?Ny?4?x，B??xx?2n?1,n?Z?，则A?B?( )
A．???,4?
B．?1,3?
C．?1,3,5?
D．?1,3?
2． 欧拉公式eix?cosx?isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定
义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e表示的复数位于复平面中的( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知f?x?是定义在R上的偶函数，且f?x?在?0,???上单调递增，则( )
A．f?0??f?log32??f??log23? C．f??log23??f?log32??f?0?
B．f?log32??f?0??f??log23? D．f??log23??f?0??f?log32?
?i3??4．已知a?0，b?R，那么a?b?0是a?b成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
?x?y?3?0?5．设不等式组?x?y?1?0表示的平面区域为M，若直线y?kx经过区域M内的点，则实数k的
?3x?y?5?0?取值范围为( ) A．(,2]
12
B．[,]
1423 C．[,2]
12D．[,2]
436．已知函数f(x)?2sin(?x??6)(??0)的部分图像如图所示，
D．4
则?的值可以为( ) A．1 B．2 C．3 7．执行如图所示的程序框图，则输出的n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
1
x?a??2,x?18．设函数f?x???，若f?1?是f?x?的最小值，则实数a的取值范围为( )
x?1,x?1??A．??1,2? C．?1,2?
B．??1,0? D．?1,???
9．已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格
是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为( ) A．6?33 4
B．
15 2
C．6?3 10．函数f?x?
xD．8
e???e?x?sinxe2????x???的图象大致为( )
A
B
C
D
x2y211．已知F1,F2为双曲线C:?2?1?b?0?的左右焦点，点A为双曲线C右支上一点，AF1交左支
2b于点B，△AF2B是等腰直角三角形，∠AF2B?A．4
B．23
?2，则双曲线C的离心率为( )
C．2
D．3 12．已知台风中心位于城市A东偏北?(?为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速
3移动，2.5小时后到达距城市A西偏北?(?为锐角)度的200公里处，若cos??cos?，则
4v?( ) A．60 B．80 C．100 D．125
第Ⅱ卷（非选择题部分 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
nx??x?lnx，13．设函数f?x?在?0,???内可导，其导函数为f'?x?，且f?l则f'?1??____________.
??????14．已知平面向量a??1,m?，b??4,m?，若2a?b?a?b?0，则实数m?____________.
????15．在圆x2?y2?4上任取一点，则该点到直线x?y?22?0的距离d??0,1?的概率为___________. 16．已知函数f?x??x3?sinx，若???0,??，??[???,]，且f(??)?f(2?)，则
442?cos(?2??)?________.
2
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题-21
题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答。） (一)必考题：共60分。 17．(本小题满分12分)
已知等比数列?an?的前n项和为Sn，满足S4?2a4?1，S3?2a3?1. (1)求?an?的通项公式； (2)记bn?log2(16)，求b1?b2?…?bn的最大值. Sn?118．(本小题满分12分)
某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数再取整，绘制成如下茎叶图，规定不低于85分(百分制)为优秀，甲班同学成绩的中位数为74.
(1) 求x的值和乙班同学成绩的众数；
(2) 完成表格，若有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教
学改革有关”的话，那么学校将扩大教学改革面，请问学 校是否要扩大改革面？说明理由.
19．(本小题满分12分)
如图，四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD， ABCD为直角梯形，AC与BD相交于O点，AD∥BC，
AD?AB，AB?BC?AP?3，三棱锥P?ACD的体积为9.
(1)求AD的值；
(2)过O点的平面?平行于平面PAB，?与棱BC，AD，PD，PC分别相交于点E,F,G,H，求截面EFGH的周长.
3
20．(本小题满分12分)
3x2y2x2已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的下顶点为A，右顶点为B，离心率e?，抛物线E:y?2ab8的焦点为F，P是抛物线E上一点，抛物线E在点P处的切线为l，且l∥AB.
(1)求直线l的方程；
(2)若l与椭圆C相交于M，N两点，且S△FMN?
21．(本小题满分12分)
已知函数f?x??ex?alnx?e?a?R?，其中e为自然对数的底数. (1)若f?x?在x?1处取到极小值，求a值及函数f?x?的单调区间； (2)若当x??1,???时，f?x??0恒成立，求a的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡。 22． (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
?x?2cos?在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?(?为参数)，以坐标原点为极点，
y?2sin??2?531，求C的方程. 4x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C的极坐标方程；
(2)若直线l1,l2的极坐标方程分别为??为O，M，N，求△OMN的面积.
23． (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数f?x??2x?3a2.
(1)当a?0时，求不等式f?x??x?2?3的解集；
(2)对于任意实数x，不等式2x?1?f?x??2a成立，求实数a的取值范围.
?6???R?，?=2????R?，设直线l1,l2与曲线C的交点3 4
数学（文科）参考答案
一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 B A C B C B B C B A D C 答案 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分． 13．e+1 14.?5 15.
12 16. 32三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17.【解析】（Ⅰ）设{an}的公比为q，由S4-S3=a4得，2a4-2a3=a4,
a4=2， 所以q=2. a3又因为S3=2a3-1所以a1+2a1+4a1=8a1-1， 所以a1=1.
所以
所以an=2n-1.
1-2n16=2n-1，所以bn=log2(（Ⅱ）由（Ⅰ）知，Sn=)=2log224-n=8-2n， 1-2Sn+1bn?bn?1??2，所以{bn}是首项为6，公差为?2的等差数列， 所以b1?6,b2?4,b3?2,b4?0,当n?5时bn?0，
所以当n?3或n?4时，b1?b2???bn的最大值为12.
18. 【解析】（Ⅰ）由甲班同学成绩的中位数为74， 所以7x?75?2?74，得x?3 由茎叶图知，乙班同学成绩的众数为78,83
2甲班乙班合计优秀人数不优秀人数合计6344013274019618080?(6?27?13?34)2?3.382?2.706（表格2分，K2计算4分） （Ⅱ）依题意知K?40?40?19?61有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”，学校可以扩大教学改革面.
19. 【解析】（Ⅰ）四棱锥P-ABCD中，PA^底面ABCD，
ABCD为直角梯形，AD//BC,AD^AB，AB=BC=AP=3，
1AB×AD3AD醋AP==9，解得AD=6. ACD322（Ⅱ）【法一】因为a//平面PAB，平面a?平面ABCD=EF，O?EF， 平面PAB?平面ABCD=AB， P根据面面平行的性质定理，所以EF//AB， GM同理EH//BP,FG//AP, 因为BC//AD,AD=2BC,
BCCO1DFA==， 所以DBOC∽DDOA，且NHADOA2O又因为DCOE∽DAOF，AF=BE,所以BE=2EC，
B同理2AF=FD,2PG=GD， EC12EF=AB=3,EH=PB=2,FG=AP=2
33如图：作HN//BC,HN?PB=N,GM//AD,GM?PA=M,所以HN//GM,HN=GM，
所以VP-= 5
故四边形GMNH为矩形，即GH=MN， （求GH长2分，其余三边各1分）
8+1-2创22cos45°=5
所以截面EFGH的周长为3+2+5+2=5+5+2. 【法二】因为a//平面PAB，平面a?平面ABCD=EF， O?EF，平面PAB?平面ABCD=AB， P所以EF//AB，同理EH//BP,FG//AP G因为BC∥AD,AD=6,BC=3 NFBCCO1A==， 所以DBOC∽DDOA，且HADAO2OEO11?，CE=CB=1,BE=AF=2 所以BCEOF23CHEHCO1===，连接HO，则有HO∥PA， 同理PCPBCA312所以HO?EO，HO?1，所以EH?PB?2，同理，FG?PA?2，
33在DPMN中，所以MN=DHN2?GN2?5，
所以截面EFGH的周长为3+2+5+2=5+5+2.
过点H作HN∥EF交FG于N，则GH?
b11b2320. 【解析】（Ⅰ）因为e?1?2?， 所以?， 所以kAB?
a22a41又因为l∥AB， 所以l的斜率为
2xt1t2x2设P(t,)，过点P与E相切的直线l，由y?得y'?|x?t??，解得t?2
442881所以P(2,)， 所以直线l的方程为x?2y?1?0
2?x2y2??1??4b2b2（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2)，由?
?y?x?1??21?4b222得2x?2x?1?4b?0，x1?x2?1,x1x2?，
2122且D=4-8(1-4b)>0，即b>，
82所以|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2?8b2?1，
【法一】l:x?2y?1?0中，令x?0得y??又抛物线焦点F(0,2)，所以|FD|?2?所以S?FMN?1，l交y轴于D, 215? 221155312|FD|?|x1?x2|??8b2?1?，解得b?4， 2224x2y2??1. 所以椭圆C的方程
164
6
【法二】|MN|?1?15|x1?x2|?8b2?1 42|0-4-1|=55 l:x?2y?1?0，抛物线焦点F(0,2)，则dF?l=所以S?FMN?1155312，解得b?4， |MN|?dF?l??8b2?1?5?2224x2y2??1. 所以椭圆C的方程
164
(x)=e-21. 【解析】（Ⅰ）由f(x)=ex-alnx-e(a?R)，得f￠xa xexex-e(x)=e-=因为f￠ (1)=0，所以a=e，所以f￠xx令g(x)=xex-e，则g￠(x)=ex(1+x)， 当x>0时，g￠(x)>0，故g(x)在x?(1,??)单调递增，且g(1)=0, 所以当x?(0,1)时g(x)?0，x?(1,??)时，g(x)?0. 即当x?(0,1)时，f'(x)<0，当x?(1,??)时，f'(x)>0. 所以函数f(x)在(0,1)上递减，在(1,??)上递增.
ax(x)=ex- （Ⅱ）【法一】由f(x)=e-alnx-e，得f￠xa(x)=ex->0，f(x)在x?[1,??)上递增 （1）当a￡0时，f￠xf(x)min=f(1)=0（合题意）
a(x)=ex-=0，当x?[1,?)时，y=ex?e （2）当a>0时，f￠xaa(x)=ex-?0. ①当a?(0,e]时，因为x?[1,??)，所以y=?e，f￠xxf(x)在x?[1,??)上递增，f(x)min=f(1)=0（合题意）
a(x)=ex-=0 ②当a?(e,??)时，存在x0?[1,??)时，满足f￠xf(x)在x0?[1,x0)上递减，(x0??)上递增，故f(x0) 综上所述，a的取值范围是(??,e]. x【法二】由f(x)=e-alnx-e，发现f(1)=e-alnx-e=0 x由f(x)=e-alnx-e?0在[1,??)恒成立，知其成立的必要条件是f?(1)?0 xxa， f?(1)?e?a?0，即a?e xax①当a?0时，f?(x)?e??0恒成立，此时f(x)在[1,+?)上单调递增， xf(x)?f(1)0（合题意）. 1a②当0?a?e时，在x?1时，有0??1，知?e??a???0， xx而f?(x)?e?x 7 a?0， x所以f(x)在[1,??)上单调递增，即f(x)?f(1)0（合题意） 综上所述，a的取值范围是(??,e]. x而在x?1时，e?e，知f?(x)?e?x 22. 【解析】（Ⅰ）由参数方程??x?2cos?，得普通方程(x-2)2+y2=4， ?y?2sin??2所以极坐标方程?2cos2???2sin2??4?sin??0，即??4sin?. （Ⅱ）直线l1:??又直线l2:???6(??R)与曲线C的交点为O,M，得?M?OM?4sin?6?2， 2?2?(??R)与曲线C的交点为O,N，得?N?ON?4sin?23， 33?11且?MON?，所以S?OMN?OMON??2?23?23. 222 x?+x?x-23. 【解析】（Ⅰ）当a=0时，f(x)+|x-2|=|2x2??3， ?x?0?x?21?0?x?2得x??；? 得1?x?2；? 得x>2， ?3?2x?2?x?32x?2?x?32x?x?2?3???所以f(x)?x?2?2的解集为(??,?]?[1,??). （Ⅱ）对于任意实数x，不等式|2x+1|-f(x)<2a成立，即|2x+1|-|2x+3a2|<2a恒成立， 22xaa?xx?11?-22xx?-3a3|a1，又因为|2x+1|-|22x?+33|?2|232a?|=3a?-1| 13要使原不等式恒成立，则只需|3a2-1|<2a， 当a<0时，无解；当0?a?1332时，1-3a<2a，解得?a?； 333当a>332时，3a-1<2a，解得 8
