万学教育公共课事业部
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.
（1）当x?0时，f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?等价无穷小，则
(A)a?1,b??16. (B)a?1,b?16. (C)a??1,b??116. (D)a??1,b?6.
（2）如图，正方形
??x,y?x?1,y?1?被其对角线划分为
y 四个区域Dk?k?1,2,3,4?，Ik???ycosxdxdy，则max1?k?4?Ik??
D1 k(A)I1.
(B)I2. (C)I3.
(D)I4.
D1 D4 （3）设函数y?f?x?在区间??1,3?-1 D2上的图形为
D1 x3 f(x)-1 1 -2 O -1 1 2 3 x
则函数F?x???x0f?t?dt的图形为
f(x)f(x)1 1 -2 O 1 2 3 x-2 O 1 2 3 x-1 (A)
(B)
-1
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- 1 -
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f(x)f(x)1 1 -1 O 1 2 3 x-2 O 1 2 3 x(C)
(D)
-1
4）设有两个数列?an?,?bn?，若nlim??an?0，则 ???（A）当
?bn收敛时，
n?1?anbn收敛. （B）当
n发散时，
nn发散.
n?1?bn?1??abn?1??收敛时，
?a2b2? (C)当
?bnnn收敛. (D)当
na2nb2n发散.
n?1n?1??b发散时，
n?1?n?1（5）设?3
11,?2,?3是3维向量空间R的一组基，则由基?1,?122,3?3到基
?1??2,?2??3,?3??1的过渡矩阵为
?101?1(A)???220??.
(B)?20??023???.
?033??
??103????11?1???246??1?11??222?(C)?11???1??246?.
(D)?11?4?1??4?. ??11??411??2?146?????1??666???（6）设A,B均为2阶矩阵，A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，若A?2,B?3，则分块矩阵??O?B伴随矩阵为
?A???O3B*??2A*O??.
?B???O2B*??3A*O??. ?C???O3A*??2B*O??.
?D???O2A*??3B*O??. 北京市海淀区北四环西路66号第三极创意天地A17层 100080 www.hwkaoyan.com 全国公共课客服电话：010—62682299
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A?O?的
?- 2 -
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（7）设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7???x?1??，其中??x?为标准正态分布函数，则?2?EX?
(A)0.
(B)0.3. (C)0.7.
(D)1.
（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N?0,1?，Y的概率分布为
1P?Y?0??P?Y?1??，记FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数，则函数FZ?z?的间断点个数
2为 (A)0.
(B)1.
(C)2.
(D)3.
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.
?2z（9）设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数，z?f?x,xy?，则? .
?x?y（10）若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?e，则非齐次方程
xy???ay??by?x满足条件y?0??2,y??0??0的解为y? . （11）已知曲线L:y?x（12）设??2?0?x?2?，则?xds? . L??x,y,z?x2?y2?z2?1，则???z2dxdydz? . ?TTT其中?为?的转置，则矩阵??的非零特征值为 . ??2，
2?（13）若3维列向量?,?满足?X和S分别为样本均值和样本方差. (14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本，
2若X?kS为np2的无偏估计量，则k? .
三、解答题：15~23小题，共94分. （15）（本题满分9分）
22求二元函数f(x,y)?x2?y?ylny的极值.
??（16）（本题满分9分） 设an为曲线y?x与y?x??nn?1?n?1,2,.....?所围成区域的面积，记
S1??an,S2??a2n?1，求S1与S2的值.
n?1n?1北京市海淀区北四环西路66号第三极创意天地A17层 100080
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x2y2??1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点?4,0?且与椭圆（17）（本题满分11分）椭球面S1是椭圆43x2y2??1相切的直线绕x轴旋转而成. 43（Ⅰ）求S1及S2的方程
（Ⅱ）求S1与S2之间的立体体积. （18）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续，在(a,b)可导，则存在???a,b?，使得
f?b??f?a??f?????b?a?
f??x??A，则f???0?存在，（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?内可导，且lim?x?0且f???0??A.
（19）（本题满分10分）计算曲面积分I?????xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y2?z322，其中
??是曲面
2x2?2y2?z2?4的外侧.
（20）（本题满分11分）
?1?1?1???1?????1?，?1??1?. 设A???11?0?4?2???2?????（Ⅰ）求满足A?2??1的?2. A2?3??1的所有向量?2,?3. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量?2,?3证明?1,?2,?3无关.
（21）（本题满分11分）设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3
222（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；
22（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1，求a的值. ?y2（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
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（Ⅰ）求pX?1Z?0；
（Ⅱ）求二维随机变量?X,Y?概率分布.
????2xe??x,x?0（23）（本题满分11 分） 设总体X的概率密度为f(x)??，其中参数?(??0)未知，X1，
?0,其他X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本.
(Ⅰ)求参数?的矩估计量； （Ⅱ）求参数?的最大似然估计量.
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数学一试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.
（1）当x?0时，f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?等价无穷小，则
11. (B)a?1,b?. 6611(C)a??1,b??. (D)a??1,b?.
66(A)a?1,b??【答案】 A.
【解析】f(x)?x?sinax,g(x)?x2ln(1?bx)为等价无穷小，则
f(x)x?sinaxx?sinax1?acosaxa2sinaxlim?lim2?lim2洛lim洛lim2x?0g(x)x?0xln(1?bx)x?0x?(?bx)x?0x?0?3bx?6bxa2sinaxa3?lim???1 ?a3??6b 故排除(B)、(C). x?06b6b??axa另外lim1?acosax存在，蕴含了1?acosax?0?x?0?故a?1.排(D). 2x?0?3bx所以本题选（A）. （2）如图，正方形
??x,y?x?1,y?1?被其对角线划分为
??ycosxdxdy，则max?I??
Dk1?k?4k y 1 四个区域Dk?k?1,2,3,4?，Ik?(A)I1. 【答案】 A.
(B)I2. (C)I3.
(D)I4.
-1 D1 D2 D3 -1 D4 1 x
【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.
D2,D4两区域关于x轴对称，而f(x,?y)??ycosx??f(x,y)，即被积函数是关于y的奇函数，所以
I2?I4?0;
D1,D3两区域关于y轴对称，而f(?x,y)?ycos(?x)?ycosx?f(x,y)，即被积函数是关于x的偶函数，
ycosxdxdy?0； 所以I1?2?(x,y)y?x,0?x?1?北京市海淀区北四环西路66号第三极创意天地A17层 100080 www.hwkaoyan.com 全国公共课客服电话：010—62682299
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I3?2?(x,y)y??x,0?x?1???ycosxdxdy?0.所以正确答案为(A).
（3）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为
f(x) 1 O -1 x-2 则函数F?x??1 2 3 x
?f?t?dt的图形为
0f(x)1 O -1 f(x)1 -2 (A)
1 2 3 x (B)
-2 -1 O 1 2 3 x
f(x)1 O 1 2 3 f(x)1 -1 (C)
x
(D)
-2 -1 O 1 2 3 x
【答案】D.
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由y?f(x)的图形可见，其图像与x轴及y轴、x?x0所围的图
形的代数面积为所求函数F(x)，从而可得出几个方面的特征： ①x??0,1?时，F(x)?0，且单调递减.
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②x??1,2?时，F(x)单调递增. ③x??2,3?时，F(x)为常函数.
④x???1,0?时，F(x)?0为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为（D）.
（4）设有两个数列?an?,?bn?，若limn??an?0，则
????（A）当
?bn收敛时，
n收敛. （B）当
n?1?anbn?1?bn发散时，
anbn发散. n?1?n?1??22? (C)当
?bn收敛时，
nbn收敛. (D)当
nn?1?an?1??b发散时，
n?1?a2b2nn发散.
n?1【答案】C. 【解析】方法一：
举反例：（A）取an?bn?(?1)n1n （B）取a1n?bn?n
（D）取a1n?bn?n
故答案为（C）.
方法二：因为limn??an?0,则由定义可知?N1,使得n?N1时，有an?1
?又因为
?bn收敛，可得limn?1n??bn?0,则由定义可知?N2,使得n?N2时，有bn?1
从而，当n?N22?221?N2时，有anbn?bn，则由正项级数的比较判别法可知
?anbn收敛.
n?1（5）设?,?3
12,?3是3维向量空间R的一组基，则由基?1,1?122,3?3到基
?1??2,?2??3,?3??1的过渡矩阵为
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?101???(A)?220?.
?033???
?120??? (B)?023?.
?103????1?2?1(C)???2?1???2【答案】A.
14141?41???6?1?. 6??1??6?
?1?2?1(D)??4?1????6?1214161?2??1??. 4??1??6?【解析】因为??1,?2,?,?n????1,?2,?,?n?A，则A称为基?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的过渡矩阵. 则由基?1,?2,?3到?1??2,?2??3,?3??1的过渡矩阵M满足
121311??,?,?3?M ??1??2,?2??3,?3??1???2?1?23??101?11???????1,?2,?3??220?
3???2??033?所以此题选(A).
?OA?（6）设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若A?2,B?3，则分块矩阵??的
BO??**伴随矩阵为
?O?A??*?2A?O?C??*?2B【答案】B.
3B*??. O?3A*??. O?
?O?B??*?3A?O?D??*?3B2B*??. O?2A*??. O?
【解析】根据CC?CE，若C?CC,C???1?1?1?C C分块矩阵?OA?OA?2?2的行列式?（?1）AB?2?3?6，即分块矩阵可逆 ?BO?BO?北京市海淀区北四环西路66号第三极创意天地A17层 100080 www.hwkaoyan.com 全国公共课客服电话：010—62682299
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O?OA????BOB???A?OA??O?6??1??0?BO??A?1??O?1B???6??1?O??A?A1??B?B? ?O????O?6??1A???21??B3??O????3AO????2B??? O?故答案为（B）.
（7）设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7???x?1??，其中??x?为标准正态分布函数，则2??EX?
(A)0. 【答案】C.
【解析】因为F?x??0.3??x??0.7??
(B)0.3. (C)0.7.
(D)1.
?x?1??， 2??所以F??x??0.3???x??0.7?x?1?????， 2?2???所以EX??????xF??x?dx??????x?1??x?0.3???x??0.35?????dx
2?????0.3?而
????x???x?dx?0.35????????x?1?x????dx
?2??????x???x?dx?0，?????x?1?x?1?x???dx?u2?2u?1????u?du?2 ????2?2?所以EX?0?0.35?2?0.7.
（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N?0,1?，Y的概率分布为
1P?Y?0??P?Y?1??，记FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数，则函数FZ?z?的间断点个数
2为 (A)0.
(B)1.
(C)2.
(D)3.
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【答案】 B. 【解析】
FZ(z)?P(XY?z)?P(XY?zY?0)P(Y?0)?P(XY?zY?1)P(Y?1)1?[P(XY?zY?0)?P(XY?zY?1)]21?[P(X?0?zY?0)?P(X?zY?1)]2?X,Y独立
1?FZ(z)?[P(X?0?z)?P(X?z)]
21（1）若z?0，则FZ(z)??(z)
21（2）当z?0，则FZ(z)?(1??(z))
2?z?0为间断点，故选（B）.
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
?2z（9）设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数，z?f?x,xy?，则? .
?x?y\\【答案】xf12. ?f2'?xyf22?z?2z''\\\\?f1?f2?y，【解析】. ?xf12?f2'?yx?f22?xf12?f2'?xyf22?x?x?y（10）若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?e，则非齐次方程
xy???ay??by?x满足条件y?0??2,y??0??0的解为y? . 【答案】y??xe?x?2.
【解析】由y?(c1?c2x)ex，得?1??2?1，故a??2,b?1 微分方程为y''?2y'?y?x
*设特解y?Ax?B代入，y'?A,A?1
x
?2A?Ax?B?x?2?B?0,B?2
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? 特解 y*?x?2
? y?(c1?c2x)ex?x?2
把 y(0)?2 ， y'(0)?0代入，得c1?0,c2??1 ? 所求y??xex?x?2 （11）已知曲线L:y?x2?0?x?2?，则?Lxds? . 【答案】
136 【解析】由题意可知，x?x,y?x2,0?x?2，则
ds??x??2??y??2dx?1?4x2dx，
所以
?22Lxds??0x1?4x2dx?18?01?4x2d?1?4x2? ?128?23?1?4x?32?1306 （12）设????x,y,z?x2?y2?z2?1?，则???z2dxdydz? . ?【答案】
415?. 【解析】 方法一：
???z2dxdydz??2??10d??0d??0?2sin??2cos2?d?
??2?d???cos2?d??cos???1000?4d?
?2???cos3??3?0?15d??415? 方法二：由轮换对称性可知
???z2dxdydz????x2dxdydz????y2dxdydz ???所以，
???z2dxdydz?13????x2?y2?z2?dxdydz?1?3??0d??2?0d??10r4sin?dr ?2??sin?d??1r40dr?2?3?03?15???4?0sin?d??15
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（13）若3维列向量?,?满足?T??2，其中?为?的转置，则矩阵??T的非零特征值为 . 【答案】2.
【解析】??T??2
T???T?????T???2??, ???T的非零特征值为2.
(14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方差.
2若X?kS2为np2的无偏估计量，则k? .
【答案】?1.
?【解析】?X?kS2为np2的无偏估计 ? ?E(X?kX2)?np2
?np?knp(1?p)?np2
?1?k(1?p)?p?k(1?p)?p?1
?k??1三、解答题：15~23小题，共94分. （15）（本题满分9分）
求二元函数f(x,y)?x2?2?y2??ylny的极值.
【解析】
fx?(x,y)?2x(2?y2)?0
f2y?(x,y)?2xy?lny?1?0
故x?0,?y?1e f???2(2?y2),?f1xxyy???2x2?y,?fxy???4xy 则fxx??(0,1)?2(2?1e2)，fxy??(0,1?0，f?e.
eyy??e)(0,1e)?fxx???0而(f2xy??)?fxx??fyy???0 北京市海淀区北四环西路66号第三极创意天地A17层 100080
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11?二元函数存在极小值f(0,)??.
ee（16）（本题满分9分）
设an为曲线y?xn与y?xn?1?n?1,2,.....?所围成区域的面积，记
S1??an,S2??a2n?1，求S1与S2的值.
n?1n?1??【解析】由题意，y?xn与y=xn+1在点x?0和x?1处相交， 所以an?1n1n?11n?2111n?1， (x?x)dx?(x?x)???00n?1n?2n?1n?2从而S1???an?1?n1111111?lim?an?lim(????-)?lim(?)? N??N??23N?1N?2N??2N+22n?1?NS2??a2n?1??（n?1n?111111111111?）（=?????)????? 2n2n+1232N2N+123456n12(n?1)x?? 取x?1得 由ln(1+x)=x-x???(?1)2n111ln(2)?1?(???)?1?S2?S2?1?ln2.
234x2y2??1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点?4,0?且与椭圆（17）（本题满分11分）椭球面S1是椭圆43x2y2??1相切的直线绕x轴旋转而成. 43（Ⅰ）求S1及S2的方程
（Ⅱ）求S1与S2之间的立体体积.
x2y2?z2??1， 【解析】（I）S1的方程为43x2y2?1???1的切线为y???x?2?， 过点?4,0?与43?2??1?所以S2的方程为y2?z2??x?2?.
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（II）S1与S2之间的体积等于一个底面半径为
39、高为3的锥体体积?与部分椭球体体积V之差，其中243?25?952V?(4?x)dx??????. .故所求体积为?14444（18）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续，在(a,b)可导，则存在???a,b?，使得
f?b??f?a??f?????b?a?
f??x??A，则f???0?存在，（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?内可导，且lim?x?0且f???0??A.
【解析】（Ⅰ）作辅助函数?(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)(x?a)，易验证?(x)满足：
b?af(b)?f(a)?(a)??(b)；?(x)在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?内可导，且?'(x)?f'(x)?.
b?a根据罗尔定理，可得在?a,b?内至少有一点?，使?'(?)?0，即
f'(?)?f(b)?f(a)?0,?f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)
b?a（Ⅱ）任取x0?(0,?)，则函数f(x)满足：在闭区间?0,x0?上连续，开区间?0,x0?内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在?x0??0,x0???0,??，使得
f'?x0?f又由于lim?x?0'??f(x0)?f(0)……?*?
x0?0?x??A，对上式（*式）两边取x0?0?时的极限可得：
f(x0)?f?0??lim?f'(?x0)?lim?f'(?x0)?A x0?0?x0?0x0?0f?'?0??lim?x0?0故f?'(0)存在，且f?'(0)?A.
（19）（本题满分10分）计算曲面积分I?????xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y2?z322，其中
??是曲面
2x2?2y2?z2?4的外侧.
【解析】I?????xdydz?ydxdz?zdxdy222，其中2x?2y?z?4 2223/2(x?y?z)北京市海淀区北四环西路66号第三极创意天地A17层 100080 www.hwkaoyan.com 全国公共课客服电话：010—62682299
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???x(xy2?z2?2x2(x2?y2?z2)3/2)?(x2?y2?z2)5/2,① ?yx2?z2?2y2?y((x2?y2?z2)3/2)?(x2?y2?z2)5/2,② ?zx2?y2?2z2?z((x2?y2?z2)3/2)?(x2?y2?z2)5/2,③ ?①+②+③=
??x(x?y?z(x2?y2?z2)3/2)??y((x2?y2?z2)3/2)??z((x2?y2?z2)3/2)?0 由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）
?21:x2?y?z2?R2.0?R?116有 ????(x2?y2?z2)3/2?????xdydz?ydxdz?zdxdy????xdydz?ydxdz?zdxdy3?1?34?R33???3dV3??4?1?1RR?R3（20）（本题满分11分）
?1?设A??1?1???1???111?? ????1??0?4?2??1? ????2??（Ⅰ）求满足A?2??1的?2. A2?3??1的所有向量?2,?3. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量?2,?3证明?1,?2,?3无关. 【解析】（Ⅰ）解方程A?2??1
?1?1?1?1??1?1?1?1??1?1?1?1??A,?1?????1111???0000???021???4?2?2??????0211???1???0000? ?0?? r(A)?2故有一个自由变量，令x3?2，由Ax?0解得，x2??1,x1?1 求特解，令x1?x2?0，得x3?1
?1??0 故??k????0?21??1???? ，其中k1为任意常数.
??2????1??北京市海淀区北四环西路66号第三极创意天地A17层 100080 www.hwkaoyan.com 全国公共课客服电话：010—62682299
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解方程A2?3??1
?220?A2????2?20??
??440????220?1110?1????2?A2,?1?????2?201???0000????4402??? ???0000????故有两个自由变量，令x22??1，由Ax?0得x1?1,x3?0
??1???1?2?1求特解????????2??2??0?? 故 ?3?k2?1??0? ，其中k2?0??为任意常数.
??0????0????????
?1k11k2?2由于1?k1?k112?2k1k2?(2k1?1)(k2?)?2k1(k2?)?k2(2k1?1)
?22k1?1022?12?0 故?1,?2,?3 线性无关. 21）（本题满分11分）设二次型f?x,x22212,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3 f的矩阵的所有特征值；
f的规范形为y2y21?2，求a的值. ?（Ⅰ） A??a01??0a?1?? ??1?1a?1??北京市海淀区北四环西路66号第三极创意天地A17层 100080
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（Ⅱ）证明：（（Ⅰ）求二次型（Ⅱ）若二次型【解析】
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??a|?E?A|?0?10?11?(??a)??a?1??a1??a11??a?1?0?1??a1
?(??a)[(??a)(??a?1)?1]?[0?(??a)]?(??a)[(??a)(??a?1)?2]?(??a)[?2?2a????a2?a?2]19?(??a){[a??(1?2a)]2?}24?(??a)(??a?2)(??a?1)
??1?a,?2?a?2,?3?a?1
22（Ⅱ） 若规范形为y1，说明有两个特征值为正，一个为0.则 ?y21) 若?1?a?0，则 ?2??2?0 ，?3?1 ，不符题意
2) 若?2?0 ，即a?2，则?1?2?0，?3?3?0，符合
3) 若?3?0 ，即a??1，则?1??1?0 ，?2??3?0，不符题意 综上所述，故a?2.
（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. （Ⅰ）求pX?1Z?0；
（Ⅱ）求二维随机变量?X,Y?概率分布.
【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球
1C2?24 ?P(X?1Z?0)?11?.
C3?C39??（Ⅱ）X，Y取值范围为0，1，2，故
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1111C3?C3C2?C311P?X?0,Y?0??11?,P?X?1,Y?0??11?C6?C64C6?C66111C2?C2?C3111P?X?2,Y?0??11?,P?X?0,Y?1???11C6?C636C6?C6311C2?C21P?X?1,Y?1??11?,P?X?2,Y?1??0C6?C6911C2?C21P?X?0,Y?2??11?C6?C69
P?X?1,Y?2??0,P?X?2,Y?2??0 X Y 0 1 2 1/4 1/3 1/9 1/6 1/9 0 1/36 0 0 0 1 2 ??2xe??x,x?0（23）（本题满分11 分） 设总体X的概率密度为f(x)??，其中参数?(??0)未知，
?0,其他X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本.
(Ⅰ)求参数?的矩估计量； （Ⅱ）求参数?的最大似然估计量
【解析】 （1）由EX?X
而EX???2x2e??xdx?0????2为总体的矩估计量 ?X???Xn2（2）构造似然函数
L?x1,.....,xn;????f?xi;????2n??xi?ei?1i?1nn???xii?1
取对数lnL?2nln???lnxi???xi
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令dlnLd??0?2nn???x?0???2n2i?n? i?1x1nixii?1n?i?1故其最大似然估计量为????2X. 北京市海淀区北四环西路66号第三极创意天地A17层 100080 www.hwkaoyan.com 全国公共课客服电话：010—62682299
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