数学试卷（文） 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合
A. B. （0，4） C. 【答案】C
【解析】由题意可得：结合交集的定义可知本题选择C选项. 2. 若函数
的定义域[2，4），则
（ ）
，
， ，则 D.
（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B
..................... 结合题中所给的定义域有：本题选择B选项. 3. 将函数A. C. 【答案】D
【解析】由函数图像的平移性质可知，平移后函数的解析式为：
.
本题选择D选项. 4. 在等比数列A.
B.
中，
C.
，则（ ）
D.
的图象向右平移个单位长度后得到 B. D.
的图象，则（ ）
，则
.
【答案】A
【解析】由等比数列的通项公式有：整理可得：本题选择A选项.
点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混． 5. 在边长为6的正△
中，
边上的一点，且
，则
（ ）
，即
.
，
A. -24 B. 24 C. -20 D. 20 【答案】A
【解析】由题意可得：
本题选择A选项. 6. 函数
在
上的图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数的解析式满足
，则函数为奇函数，排除CD选项，
由
本题选择B选项. 7. 若A.
B.
，则
可知：，排除A选项.
（ ）
C. 2或3 D. -2或-3
【答案】C
【解析】由题意结合同角三角函数基本关系可得：整理可得：求解关于
的方程可得：
，
或
.
，
本题选择C选项. 8. 已知A.
B.
C.
，则（ ） D.
【答案】D
【解析】如图所示，绘制函数的横坐标，观察可得：本题选择D选项.
,，即有
和
.
的图像，三个方程的根为图中点
，
9. 已知函数，若恰好存在个整数，使得成立，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】构造函数：由绘制函数当当
可得
，则函数
,则
的极小值为
，
，
的图像如图所示，
的自变量的值为的自变量的值为
；
;
时，满足时，满足
.
综上可得：
本题选择C选项.
10. 某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万无，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元年年份是（ ）（参考数据：A. 2022年 B. 2023年 C. 2024年 D. 2025年 【答案】C 【解析】设从由题意可得：
年后，第年该公司全年投入的研发资金开始超过
，即
，
万元，
）
两边取对数可得：则
，
年.
，即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元年年份是
本题选择C选项. 11. 若函数在（2，3）上有极大值，则的取值范围为
（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】对函数求导可得：
，
由题意可得：方程必有一根
，则
，
令， 当时，，当
时，
， 故当，且，即
时，
函数
在区间
上有极大值.
本题选择B选项. 12. 在数列中，
，且
，记
，则（ A.
能被41整除 B. 能被43整除 C.
能被51整除 D.
能被57整除【答案】A
【解析】由数列的递推公式可得：
结合可得：
）
,
则数列是首项为，公差为的等差数列，
则据此可得：
，故
能被41整除.
，
本题选择A选项.
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知函数【答案】2
【解析】由题意结合函数的周期性可得14. 已知向量【答案】2
【解析】由向量共线的充要条件有：则：
，
时，在
.
处的切线斜率为，则数列
的前项和
，
，其中
.
且与共线，则的最小值为__________.
的周期为4，当
时，
，则
__________.
结合二次函数的性质可得当15. 若曲线
__________. 【答案】
【解析】结合函数的解析式求导可得：则：
裂项求和可得：
，故通项公式：
，
，
.
16. 若函数【答案】
【解析】原问题等价于函数当且：当若若
时，
；
时，分类讨论： ，则，则
恰有2个零点，则的取值范围为__________.
与函数
，则函数在区间
恰有个零点，
上单调递增，
上单调递减，在区间
， ，
据此绘制函数图像如图所示， 结合函数图像观察可得的取值范围为
.
点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑； (2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 将曲线
上各点的横坐标缩短到原来的一半，再将所得曲线上各点的纵坐标变为
的图象.
原来的2倍，得到函数(1)求
在
上的单调递减区间；
（2）设函数【答案】(1)
，
；(2)-8.
，求的最小值.
【解析】试题分析： (1)由题意可得
.
(2)函数的解析式试题解析： （1）由题意可得∵当当故(2) 则
的最小值为
满足
.
，∴
，即，即
的单调递减区间为
，
，
单调递减；
，则
的最小值为
.
，结合正弦函数的性质可得
的单调递减区间为
，
单调递减； ，
.
18. 已知正项等比数列（1）求数列（2）设【答案】(1)
的通项公式；
，求数列；(2)
的前项和.
【解析】试题分析：
(1)由题意结合等比数列的性质可得(2)结合通项公式的特点错位相减可得试题解析：
（1）设公比为，∵，∴，
∵(2)∵∴∴∴即故
点睛：一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解． 19. 在△（1）求（2）设为【答案】（1）
中，角；
边上一点，且
.(2)
，若△
的面积为24，求线段
的长.
的对边分别为
，已知
.
【解析】试题分析：
(1)由题意结合正弦定理和二倍角公式可得(2)由题意可得试题解析： （1）∵∵
，∴
，
，结合余弦定理计算可得
.
∵，∴.
(2)∵又
，∴为锐角，
∴∴∴
，则△的面积为又
，其中
，且
20. 已知向量
（1）若向量在向量方向上的投影不小于（2）若函数【答案】(1);(2)【解析】试题分析：
在
，求正数的最小值；
上有零点，求的取值范围.
(1)由题意结合投影的定义得到关于实数x的不等式，求解不等式可知正数的最小值为； (2)计算可得试题解析：
（1）向量在向量方向上的投影∵
，∴
∵
，
，则
，换元计算可得的取值范围是
即正数的最小值为； (2)∴
在
∴
，即，
，令上递增， ，∴
的单调性；
与曲线
都只有两个交点，证明：这四个交点可以构成一个，
21. 已知函数（1）讨论（2）若直线
平行四边形，并计算该平行四边形的面积.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析，面积为12. 【解析】试题分析：
(1)首先求解导函数，然后分类讨论有：
