所以
2Tn?
1?22?3?23???(2n?5)?2n-1+(2n?3)?2n?(2n?1)?2n?1 ②
由①-②得 ?Tn?2?2?2???2?化简得 Tn?(2n?3)?2n?134n?1n?1(n2??1)2 ，
?6．
1Tn?6(2n?3?)n?2n2?31211??因为 =， ???n?2Tn?1?6(2n?1?)2n?424n?222n?1T?6（1）当n为奇数时，(?1)??1?n，
Tn?1?6T?631所以 ???1?n， 即????．
Tn?1?622n?13111所以当n=1时，??的最大值为? ，所以只需???；
22n?122T?6（2）当n为偶数时，??1?n，
Tn?1?631所以 ???，
22n?13177所以当n=2时，?的最小值为 ，所以只需??；
22n?16617由（1）（2）可知存在????，使得不等式
26T?6(n?N*)恒成立． (?1)n??1?nTn?1?6??
??????13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
北京第四十三中学高三数学（文科）周考试卷（十三）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
1．已知集合A={x∣x2≤9}，B={x∣x<1}，则A∩B=
(A) {x∣x≤3} (B) {x∣-3 0.6，c?log0.67，则a，b，c的大小关系是 (B) c?a?b (C) a?c?b (D) a?b?c ?y?0,?3．若变量x，y满足约束条件?x?2y?1, 则z=3x+5y的取值范围是 ?x?4y?3,?(A) [3,??) (B) [-8,3] (C) (??,9] (D) [-8,9] 4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 (A) 20-2π 52? 32(C) 40?? 34(D) 40?? 3(B)20? 22正视图22侧视图俯视图?????5．已知向量a?(1,2)，b?(?1,0)，若(a?mb)?a，则实数m等于 (A) -5 (C) 0 (B) 5 2(D) 5 ?1x?(),x?0, 则“a=1”是“函数y=f(x)在R上单调递 6．若函数f(x)??2???x?a,x?0,减”的 (A) 充分不必要条件 (C) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 7．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，且2a2，S3，a4?2成等差数列，则数列{an}的前5项和为 (A) 341 (B) 21000 3(C) 1023 (D) 1024 8．已知定义在R上的函数y?f(x)满足f(x?2)?f(x)，当?1?x?1时， f(x)?x3．若函数g(x)?f(x)?logax至少有6个零点，则a的取值范围是 (B) (A) (1，5) (C) 1(0,)?[5,??) 5 1(0,]?[5,??) 5(D) [,1)?(1,5] 15第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数 1?i对应的点的坐标为____． 1?i3(x?0)在x=a时取到最小值，则a=________． x10．已知抛物线y2=8x上一点P到焦点的距离是6，则点P的坐标是_____． 11．已知函数f(x)?1+2x+12．为了了解学生的视力情况，随机抽查了一批学生的视力，将抽查结果绘制成频率分布直方图（如图所示）．若在[5.0,5.4]内的学生人数是2，则根据图中数据可得被抽查的学生总数是 ；样本数据在[3.8,4.2)内的频率是 ． ．． 开始 n=1，A=a0，S=0 S=S+A A=A+2 S=120 否 n=n+1 是 输出n 结束 13．执行如图所示的程序框图，若输出的n的值为10，则a0=____． 14．定义在区间[a,b]上的连续函数y?f(x)，如果???[a,b]，使得 ．下列函数：①f(b)?f(a?)?f'(?)b(，则称a?为区间[a,b]上的“中值点” 1f(x)?3x?2；②f(x)?x2?x?1；③f(x)?ln(x?1)；④f(x)?(x?)3中，在区 2间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为____．（写出所有满足条件的函数的序号） ．． 答题纸 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 答案 7 8 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分 9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB?bcosC?ccosB． （Ⅰ）判断△ABC的形状； （Ⅱ）若f(x)?sinx+cosx，求f(A)的最大值． 16.（本小题共13分） 对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下： 教师教龄 教师人数 经常使用信息技术实施教学的人数 5年以下 8 2 5至10年 10 4 10至20年 30 10 20年以上 18 4 （Ⅰ）求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率； ． （Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰 有一人教龄在5年以下的概率是多少？ 17.（本小题共14分） 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60o，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上． （Ⅰ）求证：AD⊥平面PBE； PQ（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA // 平面BDQ； （Ⅲ）若VP-BCDE =2VQ - ABCD，试求 CP的值． CQEADCB 18.（本小题共13分） 已知函数f(x)?13x?ax2?1 (a?R)． 3（Ⅰ）若曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值； （Ⅱ）若a>0，函数y=f(x)在区间(a，a 2-3)上存在极值，求a的取值范围； （Ⅲ）若a>2，求证：函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点． 19.（本小题共14分） x2y22已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，且经过点M(?2,0)． 2ab（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）设斜率为1的直线l与椭圆C相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，连接MA， MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设yP，yQ分别为点P，Q的纵坐标，且 1111???．求△ABM的面积． y1y2yPyQ 20.（本小题共13分） 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?2?1．数列{bn}满足b1?2， nbn?1?2bn?8an． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：数列{bn}为等差数列，并求{bn}的通项公式； 2n（Ⅲ）设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在常数?，使得不等式 (?1)n??1?Tn?6(n?N*)恒成立？若存在，求出?的取值范围；若不存 Tn?1?6在，请说明理由． 数 学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 B 5 D 6 A 7 A 8 B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．(0,1) 10．(4,?42) 11． 6 212．50，0.12 13．3 14．①④ 注：第12题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．解：（Ⅰ）（法1）因为 asinB?bcosC?ccosB， 由正弦定理可得 sinAsinB?sinBcosC?sinCcosB． ????????3分 即sinAsinB?sinCcosB?cosCsinB， 所以 sin(C?B)?sinAsinB． ????????4分 因为在△ABC中，A?B?C??， 所以 sinA?sinAsinBsinA?0， ????????5分 所以 sinB?1，B?所 以 △ 又 ?． 2ABC 为 B??2的直角三角 形． ????????6分 （法2）因为 asinB?bcosC?ccosB， 由余弦定 理可得 a2?b2?c2a2?c2?b2asinB?b??c?， ????????4分 2ab2ac所以 asinB?a． 因为， 所a?0B?．i ????????5分 所以在△ABC中，B?以 s?． 2 所以 △ABC为 B??2的直角三角 形． ????????6分 （Ⅱ） 因为 ?f(x)?sinx+cosx?2sin(x?)， ????????8分 4所 以 ?f(A)?2sin(A?)． ????????9分 4?因为△ABC是B?的直角三角形， 2所 以 0?A??， ????????10分 2所 以 ????， ????????11分 ?A??444所 以 2??sin(A?)?1． ????????12分 24即 f(A)的最大值为 2． ????????13分 16．解：（Ⅰ）该校教师人数为8+10+30+18=66，该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为2+4+10+4=20． ?? ??????2分 设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件 A， ????????3分 则 P(A)?5分 2010?， ????????66331?P(A)?23． ??33 ??????6分 所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是 23． 33（Ⅱ）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为ai（i=1，2），教 龄在5至10年的教师为b（2，3，4），那么任选2人的基本事件为(a1,a2)，ij=1， (a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,b4)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,b4)，(b1,b2)，(b1,b3)，(b1,b4)，(b2,b3)，(b2,b4)，(b3,b4)共15 个． ???????? 9分 设“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”为事件 B， ????????10分 包括的基本事件为(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,b4)，(a2,b1)，(a2,b2)， (a2,b3)， (a2,b4) 共8 个， ????????11分 则 P(B)?分 8． ????????1315所以恰有一人教龄在5年以下的概率是 8． 15⊥ 17．证明：（Ⅰ）因为 E是AD的中点， PA=PD， 所以 AD PE． ????????1分 因为 底面ABCD是菱形，∠BAD=60o， P所以 AB=BD，又因为E是AD的中点， Q所以 AD⊥ BE． ????????2分 因为 PE∩DBE=E， ????????3分 EO所以 AD⊥平面 APBE． ????????4分 （Ⅱ）连接AC交BD于点O，连结OQ． ????????5分 CB 因为O是AC中点， Q是PC的中点， 所以OQ为△PAC中位线． 所以OQ PA． ????????7分 因为PABDQ，OQ?平面?平 BDQ． ????????8分 所以PA // 平 BDQ． ????????9分 （Ⅲ）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为h1，h2， 所 VQ-ABCD= 以 VP-BCDE= // 面面 13SBCDE h1， 1SABCDh2． ????????10分 3因 为 VP-BCDE =2VQ - ABCD ，且底面积 SBCDE= 3SABCD． ????????12分 4所 以 h18?， ????????13分 h23h1CP因为 ， 所以 ?h2CQCP8?． ????????14分 CQ3 18 ． 解 ： （ Ⅰ ） f?(x)?x2?2ax， ????????1 分 f?(1)?1?2a， ? ???????2分 因为曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行 所以， ????????3分 1?a?所以 a?1． ????????4分 （Ⅱ）令 f?(x)?0， ????????5 分 即 f?(x)?x(x?2a)?0，所以 x?0或 x?2a． ????????6分 因为a>0，所以x?0不在区间(a，a2-3)内， 要使函数在区间(a，a 2 -3)上存在极值，只需 a?2a?a2?3． ????????7分 所以 a?3． ????????9分 （Ⅲ）证明：令f?(x)?0，所以 x?0或x?2a． 因为a>2，所 2a>4， ????????10分 所以f?(x)?0在(0，2)上恒成立，函数f(x)在(0，2)内单调递减． 又 因 为 以 f(??， f(2)?11?12a?0， ????????11分 3有 一 个 零 所以f(x)在(0，2)上恰 点． ????????13分 19 ． 解 ：（ Ⅰ ） 依 题 意 a?2， c2?a2，所以 c?2． ????????2分 因 为 a2??b2，c 所以 b?2． ????????3分 椭 圆 方 程 为 x2y2??1． ????????5分 42（Ⅱ）因为直线 l 的斜率为1，可设l： y?x?m， ????????6分 ?x2?2y2?4则?， ?y?x?m消 y 得 3x2?4mx?2m2?4?0， ????????7分 ??0，得m?6． 因为A(x1,y1)，B(x2,y2)， 所 以 2x1?x2??4m3， 2m2?4x1x2?． ????????8分 3y16y1(x?2)，则yP?设直线MA：y?；同理x1?2x1?26y2．???????9分 yQ?x2?2因为 1111???， y1y2yPyQ以 所 x?2x2?266??1?6y16y26y16y2， 即 x1?4x2?4??0． ????????10分 6y16y2所以 (x1?4)y2?(x2?4)y1?0， 所以 (x1?4)(x2?m)?(x2?4)(x1?m)?0， 2x1x2?m(x1?x2)?4(x1?x2)?8m?0， 2m2?44m4m2??m(?)?4(?)?8m?0， 333所 以 ?8?8m?03 ， 所以 m??1?(-6,6)． ????????12分 所以 x1?x2?42，x1x2??． 33以 ．?????M14|分 2设△ABM的面积为S，直线l与x轴交点记为N， 所 S?1|22132所以 △ABM的面积为10． 20．解：（Ⅰ）当n?1时 a1?S1?2?1?1； 当n?2时 an?Sn?Sn?1?(2?1)?(2因为 a1?1适合通项公式an?2所 n?1nn?11?1)?2n?1， ． 以 an?2n?1(n?N*)． ????????5分 （Ⅱ）因为 bn?1?2bn?8an， 所以 bn?1?2bn?2即 n?2， bn?1bn?n?2． n?122bb1所以 {n是首项为=1，公差为2的等差数列． }1n22b所以 n?1?2(n?1)?2n?1， 2n所 以 bn?(2n?1)?2n． ????????9分 （Ⅲ）存在常数?使得不等式(?1)??1?nTn?6(n?N*)恒成立． Tn?1?6n?因 ① 为 Tn?1?1?2? ?32?2??3?5n?2??(n?12?n 3 ) 2 所以 2Tn? 1?22?3?23???(2n?5)?2n-1+(2n?3)?2n?(2n?1)?2n?1 ② 由①-②得 ?Tn?2?2?2???2?化简得 Tn?(2n?3)?2n?134n?1n?1(n2??1)2 ， ?6． 1Tn?6(2n?3?)n?2n2?31211??因为 =， ???n?2Tn?1?6(2n?1?)2n?424n?222n?1T?6（1）当n为奇数时，(?1)??1?n， Tn?1?6T?631所以 ???1?n， 即????． Tn?1?622n?13111所以当n=1时，??的最大值为? ，所以只需???； 22n?122T?6（2）当n为偶数时，??1?n， Tn?1?631所以 ???， 22n?13177所以当n=2时，?的最小值为 ，所以只需??； 22n?16617由（1）（2）可知存在????，使得不等式 26T?6(n?N*)恒成立． (?1)n??1?nTn?1?6?? ??????13分 （若用其他方法解题，请酌情给分）
