高三数学二轮专题复习教案――数列 一、本章知识结构：
二、重点知识回顾
１．数列的概念及表示方法
（１）定义：按照一定顺序排列着的一列数．
（２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．
（３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．
?S1(n?1)an??aS?Sn?Sn?1(n≥2)． （４）n与n的关系：
2．等差数列和等比数列的比较
（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列．
?a?a?d，a?a·q，q?0，n?Nn?1nn?1n （２）递推公式：． n?1?a?a?(n?1)d，a?aq，n?Nn1n1 （３）通项公式：．
（４）性质
等差数列的主要性质：
①单调性：d≥0时为递增数列，d≤0时为递减数列，d?0时为常数列．
a?an?2apam?an?ap?aq(m，n，p，q?N?)m?n?p?q ②若，则．特别地，当m?n?2p时，有m．
?a?a?(n?m)d(m，n?N)． m ③n ④
Sk，S2k?Sk，S3k?S2k，…成等差数列．
等比数列的主要性质：
?a1?0，?a1?0?a1?0，?a1?0????0?q?1q?1q?1，0?q?1 ①单调性：当?或?时，为递增数列；当?，或?时，为递减数列；当q?0时，为摆
动数列；当q?1时，为常数列．
am·an?ap·aq(m，n，p，q?N?)am·an?a2m?n?p?qm?n?2pp． ②若，则．特别地，若，则
an?qn?m(m，n?N?，q?0)a ③m．
④
Sk，S2k?Sk，S3k?S2k，?，当q??1时为等比数列；当q??1时，若k为偶数，不是等比数列．若k为奇数，
是公比为?1的等比数列．
三、考点剖析
考点一：等差、等比数列的概念与性质
2{a}的前n项和S?12n?n. n例1. （2008深圳模拟）已知数列n（1）求数列
{an}的通项公式； （2）求数列{|an|}的前n项和Tn.
2n?1时,a?S?12?1?1?11；11解：（1）当、
当
n?2时,an?Sn?Sn?1?(12n?n2)?[12(n?1)?(n?1)2]?13?2n.，
{an}的通项公式为an?13?2n.、 a1?11也符合13?2n的形式.所以,数列*a?13?2n?0,又n?N,解得n?6. n （2）令
2n?6时,T?|a|?|a|???|a|?a?a???a?S?12n?nn12n12nn 当；
当
n?6时,Tn?|a1|?|a2|???|a6|?|a7|???|an|
?a1?a2???a6?a7?a8???an
222?2S?S?2?(12?6?6)?(12n?n)?n?12n?72. 6n
2??12n?n,n?6,Tn??2??n?12n?72,n?6. 综上，
点评：本题考查了数列的前n项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n＝１时情况，在解题时经常会忘记。第二
问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想． 例２、（2008广东双合中学）已知等差数列
{an}的前n项和为Sn，且a3?5，S15?225. 数列{bn}是等比数列，
b3?a2?a3,b2b5?128（其中n?1,2,3,?）.
（I）求数列
c?anbn,求数列{cn}前n项和Tn. {an}和{bn}的通项公式；
（II）记n解：（I）公差为d，
?a1?2d?5,?a1?1,???15a?15?7d?225,d?2,1则? ?故an?2n?1(n?1,2,3,?).
?b3?8,?则?b32?bq?128,3??b3?8,q?2. {b}?q设等比数列n的公比为q，
?bn?b3?qn?3?2n(n?1,2,3,?).
n23n?c?(2n?1)?2,?T?2?3?2?5?2???(2n?1)?2, nn （II）
2Tn?22?3?23?5?24???(2n?3)?2n?(2n?1)?2n?1.
345n?1n?1?T?2?2?2?2???2?(2n?1)?2n作差：
23(1?2n?1)?2??(2n?1)?2n?11?2
?2?23(2n?1?1)?(2n?1)?2n?1?2?2n?2?8?2n?2n?2n?1??6?2n?1(2n?3)?
n?1?T?(2n?3?)2?(6n?1,2,?3),. n
点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以２后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。 考点二：求数列的通项与求和
例3.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
??????
按照以上排列的规律，第n行（n?3）从左向右的第3个数为
n2?nn2?n解：前n－1 行共有正整数1＋2＋?＋（n－1）个，即2个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第2＋3个，n2?n?62即为．
点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理
能力。
例4.（2008深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图“福娃迎迎”，则f(5)? ；
形包含f(n)个
f(n)?f(n?1)?＿＿＿＿
解：第1个图个数：1 第2个图个数：1+3+1
第3个图个数：1+3+5+3+1
第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1
第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=41， 所以，f（５）＝４１
f(2)-f(1)=４ ，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６
f(n)?f(n?1)?4(n?1)
点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。 考点三：数列与不等式的联系
例5.（２００９届高三湖南益阳）已知等比数列成等差数列。 （1）求数列
?an?的首项为
a1?13，公比q满足q?0且q?1。又已知a1，5a3，9a5?an?的通项
1an （2）令
bn?log31111???...??1?2bbbbbb1223nn?1，求证：对于任意n?N，都有
24422?5a?a?9a10aq?a?9aq9q?10q?1?0 315111（1）解：∵ ∴ ∴
∵q?0且q?1 ∴
1anq?1n?1?n3 ∴an?a1q?3
（2）证明：∵
bn?log31111????log33n?n ， bnbn?1n(n?1)nn?1
111111111??...??1????????1?bbb2b3bnbn?1223nn?1n?1 ∴121111????...??12b1b2b2b3bnbn?1
点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。
|a||b|a，b，a例６、(2008辽宁理) 在数列n，n中，a1=2，b1=4，且nnn（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测
?1成等差数列，n*b，an?1，bn?1成等比数列n?N（）
|an|，|bn|的通项公式，并证明你的结论；
1115??…??a?ba2?b2an?bn12．
（Ⅱ）证明：1122b?a?a，annn?1n?1?bnbn?1由此可得 解：（Ⅰ）由条件得
a2?6，b2?9，a3?12，b3?16，a4?20，b4?25．
2a?n(n?1)，b?(n?1)nn猜测．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立． ②假设当n=k时，结论成立，即
ak?k(k?1)，bk?(k?1)2，
那么当n=k+1时，
2akak?1?2bk?ak?2(k?1)?k(k?1)?(k?1)(k?2)，bk?1??2?(k?2)2bk．
2所以当n=k+1时，结论也成立．
2a?n(n?1)，b(n?1)nn由①②，可知对一切正整数都成立．
115??a?b612．
（Ⅱ）11n≥2时，由（Ⅰ）知
an?bn?(n?1)(2n?1)?2(n?1)n．
11111?111???…??????…??a?ba?ba?b622?33?4n(n?1)?? 22nn故11?11?111111???????…???62?2334nn?1? 11?11?115???????62?2n?1?6412
?综上，原不等式成立．
点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．
3*an??a?0,a?ca?1?c,c?N,其中c为实数 0n?1n例７. （2008安徽理）设数列满足
（Ⅰ）证明：
an?[0,1]对任意n?N*成立的充分必要条件是c?[0,1]；
1n?1*3，证明：an?1?(3c),n?N;
1222a12?a2??an?n?1?,n?N*3，证明：1?3c
0?c?（Ⅱ）设
0?c?（Ⅲ）设
解： (1) 必要性 ：
∵a1?0,∴a2?1?c ，
∵a2?[0,1],∴0?1?c?1 ，即c?[0,1]
又
*a?[0,1]
充分性 ：设 c?[0,1]，对n?N用数学归纳法证明n 当n?1时，
a1?0?[0,1].假设ak?[0,1](k?1)
33a?ca?1?c?c?1?c?1a?ca?1?c?1?c??0 k?1kk?1k 则，且
∴ak?1?[0,1]，由数学归纳法知an?[0,1]对所有n?N*成立
0?c? (2) 设
13，当n?1时，a1?0，结论成立
当n?2 时，
32∵a?ca?1?c,∴1?a?c(1?a)(1?a?ann?1nn?1n?1n?1)
∵0?C?
123,由（1）知an?1?[0,1]，所以 1?an?1?an?1?3 且 1?an?1?0
∴1?an?3c(1?an?1)
2n?1n?1∴1?a?3c(1?a)?(3c)(1?a)???(3c)(1?a)?(3c)nn?1n?21
n?1*∴a?1?(3c)(n?N) n
0?c?(3) 设
12a12?0?2?3，当n?1时，1?3c，结论成立
x f′(x) f(x) (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值 (-2,0) - ↘ 0 0 极小值 (0,+∞) + ↗ （
2
）
知
当n?2时，由
an?1?c(n?13? )02∴an?(1?(3c)n?1)2?1?2(3c)n?1?(3c)2(n?1)?1?2(3c)n?1
2(1?(3c)n)2?n?1??n?1?222222n?1∴a1?a2???an?a2???an?n?1?2[3c?(3c)???(3c)] 1?3c1?3c
点评：本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。 考点四：数列与函数、概率等的联系
f(x)?例题８.. (2008福建理) 已知函数
13x?x2?23.
2(a,ann?1?2an?1)(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上， （Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点
求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.
f(x)? (Ⅰ)证明：因为
13x?x2?2,3所以f′(x)=x2+2x,
2?(a,a?2a)(n?N)在函数y=f′(x)的图象上, nn?1n?1 由点
?a?0(n?N),所以(an?1?an)(an?1?an?2)?0, n 又
所以 故点
Sn?3n?n(n?1)?2=n2?2nS?f?(n), 2,又因为f′(n)=n2+2n,所以n(n,Sn)也在函数y=f′(x)的图象上.
2?f(x)?x?2x?x(x?2), (Ⅱ)解:
?由f(x)?0,得x?0或x??2.
?当x变化时,f(x)﹑f(x)的变化情况如下表:
注意到
(a?1)?a?1?2,从而
a?1??2?a,即?2?a??1时,f(x)的极大值为f(?2)??①当
23,此时f(x)无极小值；
时,f(x)的极小值为f(0)??2,此时f(x)无极大值； ②当a?1?0?a,即0?a?1时,f(x)既无极大值又无极小值. ③当a??2或?1?a?0或a?1
点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力. 例９ 、（２００７江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数 列的概率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或
-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，
成等差数列的概率为，选B
点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。
考点五：数列与程序框图的联系
例１０、（２００９广州天河区模拟）根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为
x1,x2,?,xn,?,x2008；
y1,y2,?,yn,?,y2008
（Ⅰ）求数列
{xn}的通项公式xn；
（Ⅱ）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}； 的一个通项公式yn，并证明你的结论; （Ⅲ）求
zn?x1y1?x2y2???xnyn(x?N?,n?2008)．
{xn}中，x1?1,xn?1?xn?2
解：（Ⅰ）由框图，知数列∴
xn?1?2(n?1)?2n?1(n?N*,n?2008)
（Ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.
ny?3?1(n?N*,n?2008).
由此，猜想n证明：由框图，知数列{yn}中，yn+1=3yn+2 ∴
yn?1?1?3(yn?1)
yn?1?1?3,y1?1?3.y?1∴n
∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。 ∴∴
yn+1=3·3n－1=3n
yn=3n－1（n?N*,n?2008）
x1y1?x2y2???xnyn
（Ⅲ）zn=
=1×（3－1）+3×（32－1）+?+（2n－1）（3n－1） =1×3+3×32+?+（2n－1）·3n－[1+3+?+（2n－1）] 记Sn=1×3+3×32+?+（2n－1）·3n，① 则3Sn=1×32+3×33+?+（2n－1）×3n+1 ② ①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+?+2·3n－（2n－1）·3n+1 =2（3+32+?+3n）－3－（2n－1）·3n+1
3(1?3n)?3?(2n?1)·3n?1n?1n?1n?13?6?(2n?1)·3?2(1?n)·3?6 1?3=2×=
n?1S?(n?1)·3?3. n∴
又1+3+?+（2n－1）=n2
n?12z?(n?1)?3?3?n(n?N*,n?2008). n∴
点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视。 四、方法总结与2009年高考预测 （一）方法总结
1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。
2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。
3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。
（二）2009年高考预测 1. 数列中
Sn与an的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意Sn与an的关系.关于递
推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。
2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.
3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。
4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.
5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.
6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。
７、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。 五、复习建议
在进行数列二轮复习时，建议可以具体从 以下几个方面着手:
1．运用基本量思想(方程思想)解决有关问题； 2．注意等差、等比数列的性质的灵活运用；
3．注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用； 4．注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；
5．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；
6．掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系；
7．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列； 8．掌握一些数列求和的方法 (1)分解成特殊数列的和 (2)裂项求和
(3)“错位相减”法求和
9．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．
以上关于数列二轮复习的几点建议仅供复习时参考，各校应根据自己的实际情况进行增减，四星以下的学校应重在基础，对于数列的综合问题可略讲，甚至不讲．
