I．题源探究·黄金母题
第 44讲 平面向量在解析几何中的应用
精彩解读
【试题来源】2018届福建省闽侯x2y2【例1】如图，已知椭圆C：2?2?1,(a?b?0)的左、右焦点为F1、F2，
ab第六中学高三上学期期末考试． 其上顶点为A．已知?F1AF2是边长为2的正三角形． （1）求椭圆C的方程；
（2）过点Q(?4,0)任作一动直线l交椭圆C于M,N两点，在线段MN上取一
【母题评析】本题考查轨迹方程的求法、三点共线的证明，考查考生的分析问题解决问题以及转化与化归的能力．
点R,使得
MQQN?MRRN，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上
【思路方法】利用向量共线可以将解析几何中的三点共线或者平行问题代数化，利用向量相等的充要条件是联系的桥梁，同时要注意设而不求技巧的体现．
运动？若在请求出该定直线，若不在请说明理由．
【分析】由已知条件得Q、M、N三点共线，R、M、N三点共线，由
MQQN?MRRN，故可设MQ???QN，MR????RN，其中M、N两点
x2y2??1的交点，所以设是直线y?k(x?4)与椭圆43M(x1,y1),N(x2,y2)，考虑根与系数关系，设R(x0,y0)，带入向量式，利
用向量相等的充要条件，得其坐标间的关系并结合消参技巧得x0??1，故点R在定直线x??1上．
?32k264k2?12??144(1?4k)?0,x1?x2?,x1?x2?，由题意可设223?4k3?4k2
MR????RN，MQ???QN，由MQ???QN得?4?x1??(x2?4)，
故???x1?4．设点R的坐标为(x0,y0)，则由MR????RN得x2?4x0?x1???(x2?x0)，解得
x1?x1?4?x2x2?42xx?4(x1?x2)?12．
x1?4(x1?x2)?81?x2?4x0?x1??x2?1??64k2?12?32k2?24?4??又2x1x2?4(x1?x2)?2?，2223?4k3?4k3?4k?32k224(x1?x2)?8??8?，
3?4k23?4k2从而x0?2x1x2?4(x1?x2)??1，故点R在定直线x??1上．
(x1?x2)?8
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2017高考北京文12】已知点P在圆x2?y2=1上，点A的坐标为(-2，【命题意图】这类题主要考查平0)，O为原点，则AO?AP的最大值为_________． 【答案】6 【解析】
面向量基本定理、向量共线以及向量数量积在解析几何中的应用，能较好的考查考生分析问题
AO?AP?|AO|?|AP|cos??|AO|?|AP|?2?(2?1)?6.所以最解决问题的能力以及基本计算能
力等．
【考试方向】这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易；若以解答题的形式出现，则难度较大． 【难点中心】
向量在解析几何中的作用 （1）载体作用：向量在解析几何中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意
大值是6．
【例3】【2017高考新课标2理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：
x2?y2?1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP?2NM． 2(1) 求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x??3上，且OP?PQ?1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【答案】(1) x?y?2；(2)证明略．
22
【解析】试题分析：(1)设出点P的坐标，利用NP?M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为x?y?2．
222NM得到点P与点，
义、运算脱去“向量的外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题； （2）工具作用：利用a?b
(2)利用OP?PQ?1可得坐标关系?3m?m2?tn?n2?1，结合(1)中的结论整理可得OQPF?0，即OQ?PF，据此即可得出题中的结论．
试题解析：（1）设P?x,y?,M?x0,y0?，设N?x0,0?，
?a?b=0,a//b?a??bNP??x?x0,y?,NM??0,y0?．由NP?2NM得x0?x,y0?2y． 2?b?0?，可以解决垂直、平行问
题，特别是向量垂直、平行的坐
标表示在解决解析几何中的垂x2y2??1．因此点P的轨迹方程为因为M?x0,y0?在C上，所以22直、平行问题时经常用到．
x2?y2?2．
（2）由题意知F??1,0?．设Q??3,t?,P?m,n?，则
OQ???3,t?,PF???1?m,?n?,OQ?PF?3?3m?tn， OP??m,n?,PQ???3?m,t?n?．
2222由OPPQ?1得?3m?m?tn?n?1，又由（1）知m?n?2，故
3?3m?tn?0．所以OQPF?0，即OQ?PF．又过点P存在唯一直线垂
直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【例3】【2017高考江苏13】在平面直角坐标系xOy中，A(?12,0),B(0,6),点
P在圆O：x2?y2?50上，若PA?PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是 ． 【答案】??52,1?．
??【解析】设P?x,y?，则PA???12?x,?y?,PB???x,6?y?，
?PA?PB?x?x?12??y?y?6??x2?12x?y2?6y?12x?6y?50,?12x?6y?50?20,?2x?y?5?0.把y?2x?5代入x2?y2?50，得x2?4x2?20x?25?50,?x2?4x?5?0， ?x1?1,x2??5,?点P的横坐标的取值范围是??52,1?．
??
III．理论基础·解题原理
解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
1．若直线l的方程为：Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行． 2．给出OA?OB与AB相交，等于已知OA?OB过AB的中点．
?3．给出PM?PN?0，等于已知P是MN的中点．
4．给出AP?AQ??BP?BQ，等于已知A,B与PQ的中点三点共线． 5．给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数
???,使AB??AC；③若存在实数
?,?,且????1,使OC??OA??OB，等于已知A,B,C三点共线．
6．给出MA?MB?0，等于已知MA?MB，即?AMB是直角，给出MA?MB?m?0，等于已知?AMB是钝角，给出MA?MB?m?0，等于已知?AMB是锐角．
???MAMB?7．给出?????MP，等于已知MP是?AMB的平分线．
?MAMB???8．在平行四边形ABCD中，给出(AB?AD)?(AB?AD)?0，等于已知ABCD是菱形． 9．在平行四边形ABCD中，给出|AB?AD|?|AB?AD|，等于已知ABCD是矩形． 10．在?ABC中，给出AD?1AB?AC，等于已知AD是?ABC中BC边的中线． 2??IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易；若以解答题的形式出现，则难度较大． 【技能方法】
向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势，平面向量在解析几何的应用非常广泛，通常涉及长度、角度、垂直、平行、共线、三点共线等问题的处理，其目标就是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算．或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题．
（1）运用平面向量最基本的知识，将解析几何问题化归为熟悉的解析几何问题； （2）掌握“向量坐标化”这一基本思想方法；
（3 ）深刻理会向量的代数意义和几何意义，并学会全面分析，正确选择．
【易错指导】
在运算时需注意向量数量积运算不满足交换律和消去律，防止出错。
V．举一反三·触类旁通
一、利用向量相等的关系，把几何问题代数化
两向量相等当且仅当两个向量的长度相等、方向相同，由于向量坐标的唯一性，故两个向量相等的充要条件是坐标对应相等．
x2y2【例1】【2018河南郑州一模】已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左顶点和上顶点分别为A,B，左、右焦点
ab分别是F1,F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1?PF2，则椭圆的离心率的平方为（ ）
A．33?53?1?1?5 B． C． D． 2222【答案】B
【名师点睛】本题在考查椭圆的离心率的同时，充分利用向量的垂直等价条件，通过构造函数，利用函数极值点为零点的要求，建立关于a,b,c的关系式，思考量较大，需要比较扎实的计算功底和计算能力．
x2y2【例2】【2018江西抚州临川区一中上学期质检】已知双曲线C：2?2?1（a?0，b?0）的左、右焦点分
aba2?：x?y?别为F的切线l，切点为M，且直线l与双曲线C的一个交点N满足1、F2，过点F1作圆
422C的渐近线方程为（ ） NF1?NF2?2a，设O为坐标原点，若QN?OF1?2OM，则双曲线
A．y??【答案】C
36x B．y??3x C．y??x D．y??6x 22
【名师点睛】本题在考查椭圆的离心率的同时，充分利用向量的垂直等价条件，通过构造函数，利用函数极值点为零点的要求，建立关于a,b,c的关系式，思考量较大，需要比较扎实的计算功底和计算能力．
x2y2【例2】【2018江西抚州临川区一中上学期质检】已知双曲线C：2?2?1（a?0，b?0）的左、右焦点分
aba2?：x?y?别为F的切线l，切点为M，且直线l与双曲线C的一个交点N满足1、F2，过点F1作圆
422C的渐近线方程为（ ） NF1?NF2?2a，设O为坐标原点，若QN?OF1?2OM，则双曲线
A．y??【答案】C
36x B．y??3x C．y??x D．y??6x 22
