第四章第一节 曲线运动 运动合成与分解(附参考答案)
基础知识一、曲线运动：
1．曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线；曲线运动的速度方向是该点的切线方向；曲线运动速度方向不断变化，故曲线运动一定是变速运动．
2．物体做一般曲线运动的条件：运动物体所受的合外力（或加速度）的方向跟它的速度方向不在同一直线上（即合外力或加速度与速度的方向成一个不等于零或π的夹角）．
说明：做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一侧弯曲．根据曲线运动的轨迹，可以判断出物体所受合外力的大致方向．
当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大，当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小。 3.重点掌握的两种情况：一是加速度大小、方向都不变的曲线运动，叫匀变曲线运动，如平抛运动；另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动．
例1．如图5-1-1所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受力反向，
大小不变，即由F变为－F．在此力作用下，物体以后 A．物体不可能沿曲线Ba运动 B．物体不可能沿直线Bb运动
C．物体不可能沿曲线Bc运动 D．物体不可能沿原曲线返回到A点 练习1．关于曲线运动性质的说法正确的是( )
A．变速运动一定是曲线运动
图5-1-1 B．曲线运动一定是变速运动
C．曲线运动一定是变加速运动
D．曲线运动一定是加速度不变的匀变速运动 练习2.质点在一平面内沿曲线由P运动到Q,如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力,下列
图象可能正确的是（ ）
二、运动的合成：
1．由已知的分运动求其合运动叫运动的合成．这既可能是一个实际问题，即确有一个物体同时参与几个分运动而存在合运动；又可能是一种思维方法，即可以把一个较为复杂的实际运动看成是几个基本的运动合成的，通过对简单分运动的处理，来得到对于复杂运动所需的结果．
2．描述运动的物理量如位移、速度、加速度都是矢量，运动的合成应遵循矢量运算的法则： （1）如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的量取正，相反的量取负，
矢量运算简化为代数运算．
（2）如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则． 3．合运动的性质取决于分运动的情况:
①两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动．
②一个匀速运动和一个匀变速运动的合运动是匀变速运动，二者共线时，为匀变速直线运动，二者不共线时，为匀变速曲线运动。
③两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动，当合运动的初速度与合运动的加速度共线时为匀变速直线运动，当合运动的初速度与合运动的加速度不共线时为匀变速曲线运动。
非常实用优秀的教育电子word文档
三、运动的分解
1．已知合运动求分运动叫运动的分解．
2．运动分解也遵循矢量运算的平行四边形定则．
3．将速度正交分解为 vx＝vcosα和vy=vsinα是常用的处理方法．
4．速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解，常用的思想方法有两种：一种思想方法是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的办法；另一种思想方法是先确定合运动的速度方向（物体的实际运动方向就是合速度的方向），然后分析由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向． 四、合运动与分运动的特征：
（1）等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等．
（2)独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响． (3)等效性:合运动和分运动是等效替代关系，不能并存；
(4)矢量性:加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。 例2.（09·广东理科基础·6）船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2。为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2
的方向应为 （ ）
规律方法 1、运动的合成与分解的应用
合运动与分运动的关系：满足等时性与独立性．即各个分运动是独立进行的，不受其他运动的影响，合运动和各个分运动经历的时间相等，讨论某一运动过程的时间，往往可直接分析某一分运动得出． 例3．如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩．在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d?H?2t (SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做（ ）
(A)速度大小不变的曲线运动． (B)速度大小增加的曲线运动． (C)加速度大小方向均不变的曲线运动． (D)加速度大小方向均变化的曲线运动． 2、绳子与物体连接时速度分解
把物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相同求解
例4．如图所示，卡车通过定滑轮牵引河中的小船，小船一直沿水面运动.在某一时刻卡车的速度为v，绳AO段与水平面夹角为θ，不计摩擦和轮的质量，则此时小船的水平速度多大？
非常实用优秀的教育电子word文档
2
练习3．如图5－1－14示，在河岸上用细绳拉船，为了使船匀速靠岸，拉绳的速度必须是( )
A．加速拉 B．减速拉 C．匀速拉
D．先加速后减速拉
例5．如图所示的装置中，物体A、B的质量mA＞mB。最初，滑轮两侧的轻绳都处于竖直方向，若用水平力F向右拉A，起动后，使B匀速上升。设水平地面对A的摩擦力为f,绳对A的拉力为T，则力f,T及A所受合力F合的大小（ ）
A.F合≠O,f减小，T增大； B.F合≠O,f增大，T不变； C. F合＝O,f增大，T减小； D. F合＝O,f减小，T增大；
3、小船渡河问题分析
图5-1-14 ↑B A F 船在有一定流速的河中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(即在静水中船的运动)，船的实际运动是这两种运动的合运动。 例6.如图所示，河水的流速为4m/s，一条船要从河的南岸A点沿与河岸成30°角的直线航行到北岸下游某处，则船的开行速度（相对于水的速度）最小为 ( )
A．2m/s B．3m/s C．4m/s D．5m/s
C 练习4．如图1所示，直线AB和CD表示彼此平行且笔直的河岸。
若河水不流动，小船船头垂直河岸由A点匀速驶向对岸，小船的
Q 运动轨迹为直线P。若河水以稳定的速度沿平行河岸方向流动，且P 整个河中水的流速处处相等，现仍保持小船船头垂直河岸由A点匀速驶向对岸，则小船实际运动的轨迹可能是图中的（ ）
A A．直线P B．曲线Q C．直线R D．曲线 S
例7．一条宽度为L的河，水流速度为vs，已知船在静水中的航速为vc，那么，（1）怎样渡河时间最短？（2）若vs＜vc怎样渡河位移最小？（3）若vs＞vc，怎样
Vc Vc V1 V 渡河船漂下的距离最短？
D R S B 图1
B Vc Vs Vs A α θ Vs θ θ
V2 图2甲图2乙 图2丙
4、曲线运动条件的应用
做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指的一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出合外力的大致方向．若合外力为变力，则为变加速运动；若合外力为恒力，则为匀变速运动；
例8．质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F1
时，物体可能做( ) A．匀加速直线运动； B．匀减速直线运动；
非常实用优秀的教育电子word文档
V E C．匀变速曲线运动； D．变加速曲线运动。
例9．图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹,a,b是轨迹上的两点．若带电粒子在运动中只受电
a 场力作用，根据此图可作出正确判断的是（ ）
A.带电粒子所带电荷的符号 B.带电粒子在a,b两点的受力方向 C.带电粒子在a,b两点的速度何处较大 D.带电粒子在a,b两点的加速度方向如何
b 例10.（09·广东理科基础·16）如图所示，一带负电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，在电场力作用下形成图中所示的运动轨迹。M和N是轨迹上的两点，其中M点在轨迹的最右点。不计重力，下列表述正确的是（ ）
A．粒子在M点的速率最大 B．粒子所受电场力沿电场方向 C．粒子在电场中的加速度不变 D．粒子在电场中的电势能始终在增加
第二节 平抛物体的运动
基础知识 一、平抛物体的运动
1、平抛运动：将物体沿水平方向抛出，其运动为平抛运动．
（1）运动特点：a、只受重力；b、初速度与重力垂直．尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动
（2）平抛运动的处理方法：平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性．
（3）平抛运动的规律：以物体的出发点为原点，沿水平和竖直方向建成立坐标。
ax=0……① ay=0……④
水平方向 vx=v0 ……② 竖直方向 vy=gt……⑤
x=v0t……③ y=?gt2……⑥
①平抛物体在时间t内的位移S可由③⑥两式推得 s=
?v0t?2?1???gt2? ?2?2
2②位移的方向与水平方向的夹角α由下式决定tgα=y/x=?gt/v0t=gt/2v0
2③平抛物体经时间t时的瞬时速度vt可由②⑤两式推得vt=v0??gt?2，
④速度vt的方向与水平方向的夹角β可由下式决定tgβ=vy/vx=gt/v0 ⑤平抛物体的轨迹方程可由③⑥两式通过消去时间t而推得：y=运动的轨迹是一条抛物线．
⑥运动时间由高度决定，与v0无关，所以t=2h/g，水平距离x＝v0t＝v02h/g
⑦Δt时间内速度改变量相等，即△v＝gΔt，ΔV方向是竖直向下的．说明平抛运动是匀变速曲线运动．
2、处理平抛物体的运动时应注意：
非常实用优秀的教育电子word文档
g22v0·x2， 可见，平抛物体
① 水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的，其中每个分运动都不会因另一个分运动 的存在而受到影响——即垂直不相干关系；
② 水平方向和竖直方向的两个分运动具有等时性，运动时间由高度决定，与v0无关； ③ 末速度和水平方向的夹角不等于位移和水平方向的夹角，由上证明可知tgβ=2tgα 例1．（05·江苏·13）A、B两小球同时从距地面高为h=15 m处的同一点抛出,初速度大小均为v0=10 m/s,A球直向下抛出,B球水平抛出,空气阻力不计,重力加速度取g=10 m/s.求： （1）A
例2.(06·重庆理综·14)如图所示,在同一竖直面内,小球a、b从高度不同的两点,分别以初速度va和vb沿水平方向抛出,经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点.若不计空气阻力,下列关系式正确的是 ( )
2）A球落地时,A、B
2
A.ta>tb,va
例3． 物块从光滑曲面上的P点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图1－16所示，再把物块放到P点自由滑下则 （ ） A.物块将仍落在Q点
B.物块将会落在Q点的左边 C.物块将会落在Q点的右边 D.物块有可能落不到地面上
【小结】若此题中传送带顺时针转动，物块相对传送带的运动情况就应讨论了。
（1）当v0=vB物块滑到底的速度等于传送带速度，没有摩擦力作用，物块做匀速运动，离开传送带做平抛的初速度比传送带不动时的大，水平位移也大，所以落在Q点的右边。
（2）当v0＞vB物块滑到底速度小于传送带的速度，有两种情况，一是物块始终做匀加速运动，二是物块先做加速运动，当物块速度等于传送带的速度时，物体做匀速运动。这两种情况落点都在Q点右边。
（3）v0＜vB当物块滑上传送带的速度大于传送带的速度，有两种情况，一是物块一直减速，二是先减速后匀速。第一种落在Q点，第二种落在Q点的右边。
规律方法 1、平抛运动的分析方法
用运动合成和分解方法研究平抛运动，要根据运动的独立性理解平抛运动的两分运动，即
非常实用优秀的教育电子word文档
水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．其运动规律有两部分：一部分是速度规律，一部分是位移规律．对具体的平抛运动，关键是分析出问题中是与位移规律有关还是与速度规律有关。到底是该分解位移还是分解速度，重点分析题目给的已知条件是什么，如果平抛初位置和落点在同一个斜面上，一定是分解位移，利用斜面与水平面夹角的正切值，把竖直位移和水平位移建立起联系，这是北京这几年平抛考查的方式。 例4．（2010·北京·22 ） 如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从Ｏ点水平飞出，经过3ｓ落到斜坡上的Ａ点。已知Ｏ点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角?＝37°，运动员的质量m=50kg.不计空气阻力。（取sin37°=0.60，cos37°=0.80；g取10m/s2）求
（1） A点与O点时的速度大小； （2） 运动员离开0点时的速度大小； （3） 运动员落到A点时的动能。
例5．如图在倾角为θ的斜面顶端A处以速度V0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求（1）小球从A运动到B处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？ V0 V0 A
Vy1 B θ
例6.(08·全国Ⅰ·14)如图所示,一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上.物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角?满足 ( ) A.tan?=sinθC.tan?=tanθ
B.tan?=cosθ D.tan?=2tanθ
图8
练习1．如图所示，在倾角为θ的斜面上A点以水平速度v0抛出一个小
球，不计空气阻力，它落到斜面上B点所用的时间为 ( )
2vsin ?2vtan ?vsin ?vtan ?A.0 B. 0 C. 0 D. 0
gggg
练习2.如图1所示，在倾角为37°的斜面上A点以水平速度抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B点所用的时间为0.6s，求
37° 非常实用优秀的教育电子word文档
A 图1 小球平抛的水平速度为____________ms
练习3．一水平抛出的小球落到一倾角为?的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为 A．
11 B． C．tan? D．2tan? tan?2tan?
2．研究竖直分运动（初速度为0的匀加速直线运动）：
a.连续相等时间内竖直位移之比为1∶3∶5∶… b.连续相等时间内竖直位移之差为Δy＝gt2
例7． 用闪光照相方法研究平抛运动规律时，由于某种原因，只拍到了 部分方格背景及小球的三个瞬时位置(见图).若已知闪光时间间隔为t＝0.1 s，则小球运动中初速度大小为多少？小球经B点时的竖直分速度大小多大？(g取10 m/s2，每小格边长均为L＝5 cm).
.例8．如图所示，一高度为h=0.2m的水平面在A点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以V0=5m/s的速度在平面上向右运动。求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10m/s2）。某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则
h1?Vt?gsin??t,由此可求得落地的时间t。问：你同意上述sin?220 A A B h 解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则说明理由并求出θ 你认为正确的结果。
三、平抛运动的速度变化和重要推论
①水平方向分速度保持vx=v0.竖直方向，加速度恒为g,速度vy =gt,从抛出点起，每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示．这一矢量关系有两个特点：(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0; (2)任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv=Δvy=gΔt.
②平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
证明：设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的
v0 s/ vα 水平分量vx=v0=s/t，而竖直分量vy=2h/t， tan??y?2h，
vxsh 所以有s??hs? tan?2s vα v
v
例9．作平抛运动的物体，在落地前的最后1s内，其速度方向由跟竖
非常实用优秀的教育电子word文档
风轮 M 直方向成60角变为跟竖直方向成45角，求:物体抛出时的速度和高度分别是多少？ A v0 说明:此题如果画出最后1s初、末速度的矢量图，做起来更直 θ 观． vy vt D 例10． 从倾角为θ=30°的斜面顶端以初动能E=6J向下坡方
向平 抛出一个小球，则小球落到斜面上时的动能E /为______J。（答案14J）。
0
0
N
v0 O
四、平抛运动的拓展（类平抛运动）
例11．如图所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为θ，一物块沿斜面左上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求入射初速度．
说明：运用运动分解的方法来解决曲线运动问题，就是分析好两个分运动，根据分运动的运动性质，选择合适的运动学公式求解
例12．（河北省衡水中学2010届高三上学期第四次调研考试）农民在精选谷种时，常用一种叫“风车”的农具进行分选。在同一风力作用下，谷种和瘪谷（空壳）谷粒都从洞口水平飞出，结果谷种和瘪谷落地点不同，自然分开，如图所示。对这一现象，下列分析正确的是 （ ）
A．M处是谷种，N处为瘪谷 B．谷种质量大，惯性大，飞得远些
C．谷种飞出洞口时的速度比瘪谷飞出洞口时的速度小些 D．谷种和瘪谷在竖直方向做自由落体运动
练习4.．（2010·天津·9）如图所示，在高为h的平台边缘水平抛出小球A,同时在水平地面上距台面边缘水平距离为s处竖直上抛小球B，两球运动轨迹在同一竖直平面内，不计空气阻力，重力加速度为g。若两球能在空中相遇，则小球A的初速度VA应大于
非常实用优秀的教育电子word文档
A、B两球初速度之比为 （答案：sg 2hs h）
练习5。.（09·福建·20）如图所示，射击枪水平放置，射击枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平线上，枪口与目标靶之间的距离s=100 m，子弹射出的水平速度v=200m/s，子弹从枪口射出的瞬间目标靶由静止开始释放，不计空气阻力，取重力加速度g
为10 m/s，求：（1）从子弹由枪口射出开始计时，经多长时间子弹击中目标靶？
（2）目标靶由静止开始释放到被子弹击中，下落的距离h为多少？（答案：（1）0.5s（2）1.25m）
练习6．.如图所示，高为h＝1.25 m的平台上，覆盖一层薄冰，现有一质量为60 kg的滑雪爱好者，以一定的初速度v向平台边缘滑去，着地时的速度方向与水平地面的夹角为45°(取重力加速度g＝10 m/s2)．由此可求 A．滑雪者离开平台边缘时的速度大小是 B．滑雪者着地点到平台边缘的水平距离是 C．滑雪者在空中运动的时间为 D．滑雪者着地的速度大小为
2
第三节 匀速圆周运动
基础知识一、描述圆周运动的物理量
1．线速度：做匀速圆周运动的物体所通过的弧长与所用的时间的比值。 （1）物理意义：描述质点沿切线方向运动的快慢． （2）方向：某点线速度方向沿圆弧该点切线方向． （3）大小：V=S/t
说明:线速度是物体做圆周运动的即时速度
2．角速度：做匀速圆周运动的物体，连接物体与圆心的半径转过的圆心角与所用的时间的比值。
（l）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢． （2）大小：ω＝φ/t（rad／s）
3．周期T，频率f：做圆周运动物体一周所用的时间叫周期．
做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速． 4．V、ω、T、f的关系
T＝1/f，ω＝2π/T，v＝2πr/T＝ωr．
T、f、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了．但v还和半径r有关． 5．向心加速度
（1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢 （2）大小：a=v/r=ωr=4πr/T=ωv，
非常实用优秀的教育电子word文档
2
2
2
2
（3）方向：总是指向圆心，方向时刻在变化．不论a的大小是否变化，a都是个变加速度． （4）注意：a与r是成正比还是反比，要看前提条件，若ω相同，a与r成正比；若v相同，a与r成反比；若是r相同，a与ω2成正比，与v2也成正比． 6．向心力
（1）作用：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小．因此，向心力对做圆周运动的物体不做功．
（2）大小： F＝ma＝mv/r＝mω r= m4πr/T=mωv
（3）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化．即向心力是个变力．
说明: 向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，因此，向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力的实际情况判定． 二、匀速圆周运动
1．特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的．
2．性质：是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动．
3．加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力．
4．质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 三、变速圆周运动（非匀速圆周运动）
变速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方向时刻在改变，而且加速度的大小、方向也时刻在改变，是变加速曲线运动（注：匀速圆周运动也是变加速运动）．
变速圆周运动的合力一般不指向圆心，变速圆周运动所受的合外力产生两个效果． 1．半径方向的分力：产生向心加速度而改变速度方向． 2．切线方向的分力：产生切线方向加速度而改变速度大小．
故利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值． 四、圆周运动解题思路 1．灵活、正确地运用公式
ΣFn＝man=mv/r＝mωr＝m4πr/T 2．正确地分析物体的受力情况，找出向心力．
2
2
2
2
2
2
2
2
规律方法 一.线速度、角速度、向心加速度大小的比较
在分析传动装置的各物理量时．要抓住不等量和相等量的关系．同轴的各点角速度ω和n相等，而线速度v＝ωr与半径r成正比．在不考虑皮带打滑的情况下．传动皮带与皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω＝v/r与半径r成反比． 例1。对如图所示的皮带传动装置，下列说法中正确的是 (A)A轮带动B轮沿逆时针方向旋转． (B)B轮带动A轮沿逆时针方向旋转． (C)C轮带动D轮沿顺时针方向旋转． (D)D轮带动C轮沿顺时针方向旋转．
例2．如图所示，皮带传动装置转动后，皮带不打滑，则皮带轮上A、B、C三点的情况是（ ） A．vA=vB，vB＞vC； B．ωA=ωB，vB = vC
非常实用优秀的教育电子word文档
C．vA ＝vB，ωB＝ωc ；D．ωA＞ωB ，vB ＝vC
例3．如图所示，直径为d的纸质圆筒，以角速度ω绕轴O高速运动，有一颗子弹沿直径穿过圆筒，若子弹穿过圆筒时间小于半个周期，在筒上先、后留下a、b两个弹孔，已知ao、bo间夹角为φ弧度，则子弹速度为
二．向心力的认识和来源
（1）向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种类型的力，是根据力的效果命名的．在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力、万有引力）以外再添加一个向心力．
(2)由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变的运动，故只存在向心加速.度，物体受的外力的合力就是向心力。显然物体做匀速圆周运动的条件是：物体的合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
（3）分析向心力来源的步骤是:首先确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，然后分析圆周运动物体所受的力,作出受力图,最后找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心力．例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O/点，不在球心O，也不在弹力N所指的PO线上．这种分析方
法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
(4）变速圆周运动向心力的来源：分析向心力来源的步骤同分析匀速圆周运动向心力来源的步骤相向．但要注意，
①一般情况下，变速圆周运动的向心力是合外为沿半径方向的分力提供．
②分析竖直面上变速圆周运动的向心力的来源时，通常有细绳和杆两种模型．
v(5)当物体所受的合外力小于所需要提供的向心力时，即F向＜m时，物体做离心运动；当物
r2v体所受的合外力大于所需要的向心力，即F向＞m时，物体做向心运动。
r2物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力.物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和).具体运动类型如下 1．随盘匀速转动（无相对滑动，二者有共同的角速度）
例4． 如图所示，质量为m的小物体系在轻绳的一端，轻绳的另一端固定在转轴上。轻绳长度为L。现在使物体在光滑水平支持面上与圆盘相对静止地以角速度?做匀速圆周运动，求： ω （1）物体运动一周所用的时间T； （2）绳子对物体的拉力。
非常实用优秀的教育电子word文档
O
2。火车转弯（或汽车拐弯外侧高于内侧时）
汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车
的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小F向＝mgtan θ，根据牛顿第二定律：
v2hF向＝m，tan θ＝，
Rd例5.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
A.
3。圆锥摆模型
小球在水平面内是匀速圆周运动，重力和拉力合力提供向心力mgtan? 例6.如图所示，用细绳系着一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，不计空气阻力，关于小球受力有以下说法，正确的是（ ） A.只受重力 B.只受拉力 C.受重力.拉力和向心力 D.受重力和拉力
练习1．（北京市西城区2010年抽样测试）如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细
绳与竖直方向的夹角为θ。下列说法中正确的是 A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B．小球只受重力和绳的拉力作用 C．θ 越大，小球运动的速度越大 D．θ 越大，小球运动的周期越大
4．带电粒子在磁场中只受洛伦兹力模型
m L θ gRh
B. LgRh
C. dgRL
D. hgRd
h
三、圆周运动与其它运动的结合
圆周运动和其他运动相结合，要注意寻找这两种运动的结合点：如位移关系、速度关系、
非常实用优秀的教育电子word文档
时间关系等．还要注意圆周运动的特点：如具有一定的周期性等．
.例7．如图所示，位于竖直平面上的1／4圆轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在地面上C点处，不计空气阻力，求： （1）小球则运动到B点时，对轨道的压力多大？ （2）小球落地点C与B点水平距离S为多少？ （3）比值R／H为多少时，小球落地点C与B点水平距离S最远？该水平距离最大值是多少？
四、圆周运动中实例分析
例8．如图所示，是双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆锥摆运动的精彩场面．若女运动员做圆锥摆运动时和竖直方向的夹角为B,女运动员的质量为m,转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为r,求这时男运动员对女运动员的拉力大小及两人转动的角速度
例9.如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则 （ ） Ａ．球A的角速度一定大于球B的角速度 Ｂ．球A的线速度一定大于球B的线速度 Ｃ．球A的运动周期一定小于球B的运动周期 Ｄ．球A对筒壁的压力一定大于球B对筒壁的压力
例10．如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下述分析正确的是( )
A．螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡 B．螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外，背离圆心
非常实用优秀的教育电子word文档
C．此时手转动塑料管的角速度ω＝
mg μr
D．若杆的转动加快，螺丝帽有可能相对杆发生运动
例11．中央电视台《今日说法》栏目最近报道了一起发生在湖南长沙某区湘府路上的离奇交通事故．家住公路拐弯处的张先生和李先生家在三个月内连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆卡车冲进李先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图所示．交警根据图示作出以下判断，你认为正确的是( )
A．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动 B．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动 C．公路在设计上可能内(东)高外(西)低 D．公路在设计上可能外(西)高内(东)低
第四节 圆周运动的应用
基础知识 一、圆周运动的临界问题
1.圆周运动中的临界问题的分析方法
首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值． 2.特例（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：
注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 ①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/R→v
临界
=Rg（可理解为恰好转过或恰
无支撑模型（也叫绳模型） 好转不过的速度）
注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力
非常实用优秀的教育电子word文档
的合力作为向心力，此时临界速度V临≠Rg
②能过最高点的条件：v≥Rg，当V＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：V＜V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道） （2）如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况： 注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． ①当v＝0时，N＝mg（N为支持力） ②当 0＜v＜Rg时， N随v增大而减小，且mg＞N＞0，N为支持力． ③当v=Rg时，N＝0
④ 当v＞Rg时，N为拉力，N随
有支撑模型（也叫杆模型） v的增大而增大（此时N为拉力，方向指向圆心） 注意：管壁支撑情况与杆子一样
若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动．因为轨道对小球不能产生拉力． 注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度V0?相同的。
gR 。要具体问题具体分析，但分析方法是
二.“质点做匀速圆周运动”与“物体绕固定轴做匀速转动”的区别与联系
（1)质点做匀速圆周运动是在外力作用下的运动，所以质点在做变速运动，处于非平衡状态。 (2）物体绕固定轴做匀速转动是指物体处于类似地球自转的转动状态。对于物体上不在转动轴上的任意微小质量团（可说成质点），则均在做匀速圆周运动。
规律方法 一．变速圆周运动处理方法
1. 先明确圆周运动的过程，初位置和末位置 ，圆心位置。
2． 明确整个过程受哪些力，哪些力做功。（绳子拉力或圆轨道支持力因为与瞬时速度时刻垂直不做功，洛伦兹力做功），求末速度或某些力做功时用机械能守恒定律或动能定理处理。
3．遇到圆周最高点，最低点求绳子拉力或对轨道压力时，对运动物体受力分析，用牛顿第二定律。
4． 在运动圆周运动和其他运动过程分段组合成复杂的过程时，引导学生注意分清每段过程应如何考虑，同时注意每段过程的连接点的物理量，尤其是速度。 例1． 如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是
（ ）
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
非常实用优秀的教育电子word文档
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则在最高点的速率为D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
例2．如图所示， AC为竖直平面内的四分之一圆弧轨道，O为圆心，C位于O点正下方，圆轨道下端C与水平轨道相切。一质量为m的小球，自A点由静止开始沿轨道下滑。已知轨道半径为R，不计各处摩擦及空气阻力，重力加速度用g表示，求： （1）小球下滑到距水平轨道的高度为
gL
1R时速度 2A
O
的方向，并画出示意图；
（2）小球到达C点时的速率；
（3）小球经过圆弧轨道的C点时，对轨道的压力。
C
练习1．如图所示，绝缘轨道处于水平方向的匀强
磁场中，磁感应强度为B，轨道平面与磁场方向垂直。AC为竖直平面内的四分之一圆弧轨道，O为圆心，C位于O点正下方，圆轨道下端C与水平轨道相切。一质量为m，带电量为-q的小球，自A点由静止开始沿轨道下滑。已知轨道半径为R，不计各处摩擦及空气阻力，重力加速度用g表示，求
（1）小球到达C点时的速率；
（）小球经过圆弧轨道的C点时，对轨道的压力。
练习2。如图所示，绝缘轨道处于水平向右的匀强电场中，电场强度为E，轨道平面与电场方向在一个平面内。AC为竖直平面内的四分之一圆弧轨道，O为圆心，C位于O点正下方，圆轨道下端C与水平轨道相切。一质量为m，带电量为-q的小球，自A点由静止开始沿轨道下滑。已知轨道半径为R，不计各处摩擦及空气阻力，重力加速度用g表示，
求：（1）小球到达C点时的速率；（2）小球经过圆弧轨道的C点时，对轨道的压力。
练习3。如图所示，绝缘轨道处于竖直向下的匀强电场中，电场强度为E，轨道平面与电场方向在一个平面内。AC为竖直平面内的四分之一圆弧
A O C D A O D E 非常实用优秀的教育电子word文档 C D E
轨道，O为圆心，C位于O点正下方，圆轨道下端C与水平轨道相切。一质量为m，带电量为-q的小球，自A点由静止开始沿轨道下滑。已知轨道半径为R，不计各处摩擦及空气阻力，重力加速度用g表示，
求：（1）小球到达C点时的速率；
（2）小球经过圆弧轨道的C点时，对轨道的压力。
练习4。如图所示，绝缘轨道处于垂直正交的匀强电场和匀强磁场中，电场方向水平向右，电场强度为E，轨道平面与电场方向在一个平面内。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。AC为竖直平面内的四分之一圆弧轨道，O为圆心，C位于O点正下方，圆轨道下端C与水平轨道相切。一质量为m，带电量为-q的小球，自A点由静止开始沿轨道下滑。已知轨道半径为R，不计各处摩擦及空气阻力，重力加速度用g表示， 求：（1）小球到达C点时的速率；
（2）小球经过圆弧轨道的C点时，对轨道的压力。
例3． 如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（ACD ） A．小球能够通过最高点时的最小速度为0 B．小球能够通过最高点时的最小速度为gR
C．如果小球在最高点时的速度大小为2gR，则此时小球对管 道的外壁有作用力 D．如果小球在最低点时的速度大小为5gR，则小球通过最高点时与管道间无相互作用力 例4．如图所示，离心轨道演示仪结构示意图。弧形轨道下端与半径为R的圆轨道相接，质量为m的小球从弧形轨道上端高h=4R的A点由静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开圆轨道。不计一切摩擦阻力，重力加速度为g。试求:
(1)小球运动到圆轨道最高点时速度的大小； (2)小球在圆轨道最高点时对轨道压力的大小。
A E
h R 二.圆周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程
非常实用优秀的教育电子word文档
例5。在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO/旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m的物块A，设弹簧劲度系数为k，弹簧原长为L。将物块置于离圆心R处，R＞L，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速ω逐渐增大，物块A相对圆盘始终未动。当ω增大到??5k?R?l?4mRO R O时，物块A是否受到圆盘的静摩擦力，如
果受到静摩擦力，试确定其方向。
例6．如图16所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V0，才能使列车通过圆形轨道？
R V0 例7．如图所示，细绳长为L，一端固定在O点，另一端系一质量为m、电荷量为+q的小球，置于电场强度为E的匀强电场中，欲使小球在竖直平面内做圆周运动，小球至最高点时速度应该是多大？
E 非常实用优秀的教育电子word文档
m，q L ·O
拓展：该题中物理最高点与几何最高点是重合的，物理最高点是在竖直平面内做圆周运动的物体在该点势能最大，动能最小，若把该题中的电场变为水平向右．如图，当金属球在环内做圆周运动时，则物理最高点为A点，物理最低点为B点，而几何最高点为C点，几何最低点为D点（这种情况下，两个最高点已不再重合，两个最低点也不再重合）． A处速度的最小值（临界速度）应满足：mvA/R?F合? 思考：物体恰能到达几何最高点时，绳的拉力为多少？
2?mg?2??Eq?2
三.求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围
例8．如图，直杆上0102两点间距为L，细线O1A长为3L，O2A长为L,A端小球质量为m，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度ω转动？
第五节 万有引力定律及其应用
基础知识 一.开普勒运动定律
(1)开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．
(2)开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．
二.万有引力定律
(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．
mm(2)公式：F＝G122,其中G?6.67?10?11N?m2/kg2，称为为有引力恒量。
r(3)适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体,r
非常实用优秀的教育电子word文档
是两球心间的距离．
注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：G在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力．
三、万有引力和重力
重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算
mm中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m2g＝G122, g=GM/r2常用来计算星球
r表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM/（r+h）2，比较得gh=（
r）2·g r?h 在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和m2g刚好在一条直线上，则有 F＝F向＋m2g，
mm2
所以m2g=F一F向＝G122－m2Rω自
rmmmm2
因地球自转角速度很小G122? m2Rω自,所以m2g= G122
rrmm2
假设地球自转加快，即ω自变大，由m2g＝G122－m2Rω自知物体的重力将变小，当
rmm2
G122=m2Rω自时，m2g=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω自＝
rGm1，比现在地球自转角速度要大得多. R3四、讨论天体运动规律的基本思路
基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。解决人造地球卫星有关问题关键是，把万有引力定律与匀速圆周运动规律有机地结合起来，即：
Mmv2?2??G2?m?m?2r?m???ma
rr?T?说明：近地卫星受到的万有引力完全用于提供人造地球卫星绕地
球圆周运动的向心力，因此所有人造地球卫星的轨道圆心都必定在地心．按匀速圆周运动处理．在卫星环绕地球近似做匀速圆周运动的过程中，卫星内物体处于完全失重状态．
2规律方法 1． 万有引力与重力
例1．一物体静置在平均密度为?的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为
非常实用优秀的教育电子word文档
A．?
?4π?? 3G???12
B．??3?? 4πG???12
C．??π?? G???12D．??3π?? G???122.天体表面重力加速度问题
设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，因为物体在天体表面受到的重力近似等于受到的万有引力，所以有mg＝GMmGm，g＝ 22RRMmGM，g′＝ (R?h)2(R?h)2同样可以推得在天体表面上方h处重力加速度mg′＝G重力加速度受纬度、高度、地球质量分布情况等多种因素影响，随纬度的增大而增大，随
高度的增大而减小.
例2． 火星的质量和半径分别约为地球的
11和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面102的重力加速度约为( B )
A.0.2g B.0.4g C.2.5g D.5g
3． 估算天体的质量和密度
把卫星(或行星)绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星(或行星)的引4π2r4π2r3Mm力作为它绕中心天体的向心力.根据G2＝man＝m2得M＝.因此，只需测出卫星
TGT2rM(或行星)的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M.又由ρ＝，可以求出中
423πR3心天体的密度.
例3． 登月飞行器关闭发动机后在离月球表面h的空中沿圆形轨道绕月球匀速飞行，周期是T，已知月球半径是R ，万有引力常量为G，计算月球的平均密度。
练习1。 已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，试估算地球的平均密度？？如果有一颗卫星，绕地球做匀速圆周运动，距地球表面的高度为h，则该卫星绕地球运动的周期是多少？
4、万有引力定律的基本应用
例4．某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a＝?g随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90 N时，求此时卫星距
3
地球表面有多远？（地球半径R＝6.4×10km,g取10m/s2）
非常实用优秀的教育电子word文档
说明:在本问题中，牢记基本思路,一是万有引力提供向心力，二是重力约等于万有引力． 例5。有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T0。当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T。求该气球此时离海平面的高度h。把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。
5、双星问题
基本方法：因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，所以具有周期、频率和角速度均相同；而轨道半径、线速度不同的特点。
例5．在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。
非常实用优秀的教育电子word文档
