模型十五 角模型
（一）单角模型
我们在解决三角函数问题的时候经常遇到这样一类题目：题目只涉及一个未知角或者已知非特殊角，通过二倍或者与已知特殊角的组合，加上各种三角函数的综合使用，使得题目形式变化多各类，丰富多彩，那么在相关的题目中是如何体现这种角的组合，以及三角函数的综合使用的呢?
例1 化简??= 1+2sin(???2)cos(??+2)的结果是（ ）. A.?sin2?cos2 例2 已知值.
例3
（1）设cos(???)=cos ?? ，则??的取值范围是____； （2）设cos(???)= cos?? ，则??的取值范围是____； （3）设sin(???)=sin ?? ，则??的取值范围是____； （4）设sin(???)= sin?? ，则??的取值范围是____.
例4已知sin??+cos??=,??∈ 0,?? ,则tan??=____.
51
1+tan??1?tan??
B.sin2+cos2 C.sin2?cos2 D.?sin2+cos2
=3+2 2，求：（1）sin??+2cos?? 2sin???cos??
；（2）3cos2 ????? +sin(??+??)?cos ????? +2sin2(?????)的
例5已知关于??的方程2??2? 3+1 ??+??=0的两根为sin??和cos??,??∈(0,2??), 求：（1）
sin2??sin???cos??
+
cos??1?tan??
的值；
（2）??的值；
（3）方程的两根及??的值. 模型归纳
有关三角函数的运算，当只出现一个未知角，但伴随与特殊角的组合或多种三角函数综合使用使三角运算丰富多样，要解决这些问题，我们需要掌握一个基本原则，那就是“化简”，使用的公式包括同角三角函数基本关系式和诱导公式.
同角三角函数基本关系式有两个：sin2??+cos2?? =1，tan??=
sin??cos??
.在使用同角三角函数基本关系式的时候需
??
要注意：（1）多种函数同时出现时，要正切化弦；（2）正余弦互求时，通过角的范围确定正负．
诱导公式比较多，总的口诀是：“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇偶”是指在未知角上附加的角是的多少倍，
2
如果是奇数倍，名称需要改变，如果是偶数倍，名称不改变；“符号看象限”是指借助当未知角为锐角时，组合角所在象限所决定的三角函数的正负，来确定是否添加负号.例如sin(+??)中，未知角??上附加的角符号看象限是的一倍
2
2
??
??
（奇数倍），因此名称改变，另外当??为锐角时，+??为第二象限角，sin(+??)>0，因此sin(+??)=cos??.
2
2
2
??????
这类题目的解题模型是：
用诱导公式将角统一，排除特殊附加角的干扰→使用同角三角基本关系式，尽量做到：函数种类、项数减少，次数降低，分式化为整式，无理式化为有理式→保留结果：数字或者最简的三角函数式
模型演练
1.已知cos(??+??)=?，??为第四象限角，则sin(?2??+??)=（ ）. A. 53
35
B.?
513
4
C.± D. 5
52sin???cos??sin??+cos??
43
2.已知tan??=，求（1）
；（2）2sin2??+sin??cos??.
（二）多角模型
我们解决完一个角的三角函数问题之后，开始研究多个角的和或差的三角函数，这种问题不仅在题设和问题构造上变化多样，而且综合使用正弦、余弦和正切函数的和角或差角公式，使问题难度加大，能够发现和研究多个角之间的关系，以及研究不同角三角函数值之间的关系是解决多角问题的关键，那么在具体的题目当中，是如何构建多角问题，以及如何考查和、差角公式呢?
例1 求
例2 已知tan ??+?? =7,tan???tan??=, 求sin??的值.
53
cos10°sin50° tan10°? 3 的值.
例3 若??∈ 0,?? ,cos ??+ =，求sin??的值.
6
5
??
3
例4 已知
2π
3??413
,cos ????? =
15
1213
,sin(??+??)=?，求sin??的值.
5
tan??
3
例5 已知sin(??+??)=,sin ????? =, 求
例6 已知sin??=
例7 已知tan(?????)=,tan??=?, 且??,??∈ 0,?? , 求2?????的值.
2
7
1
1
5,sin??5
tan??
的值.
=
10, 且??,??都是锐角，求??10
+??的值.
模型归纳
对于角之间的关系，我们应该辩证地来看，比如当把??+??看成??与??的和不方便解决问题时，也可以把??看成
??+??与??的差，再如2?????可以看成??乘以2再与??作差，也可以看成??与?????的和，或者看成?????的2倍与??的和等等.
对于多角三角函数的关系问题，主要是对和差角公式的结构的研究，比如，sin ????? =sin??cos???cos??sin??中共涉及到三个角?????、??和??，五个三角函数sin ????? 、sin??、cos??和sin??，没有涉及?????的余弦，针对这一特点，我们将未知（待求） 于等式左侧，两个已知（条件） 于等式右侧.
对于弦函数和切函数同时出现的时候，除非出现弦函数齐次式，一般都需要将切函数化为弦函数.
对于给值求角的题目，通常是借助角的某一个三角函数来求，需要注意两点：（1）三角函数种类的选用，以不造成多解可能为宜，比如当角的范围为 0,?? 时，尽量不选用正弦，因为正弦值求完之后如果不等于，确定它是锐角或钝角比较麻烦，可以考虑使用余弦；（3）三角函数值算完以后，尽量确定该角尽量小的一个范围，以确定该角的具体取值.
对于同一个角的正弦和余弦的组合，我们通常是逆向使用和差角的正余弦公式，以达到化简的目的，比如sin??+ 3cos??=2sin ??+ 等.
3??
这类题目的解题模型是：
分析各个角之间的和或者差的关系，注意辩证使用→根据题目条件和特点，结合角之间的关系选用恰当的和差角公式→根据选用公式的结构特点，使用恰当的运算技巧，进行相关运算
模型演练
1.锐角??,??满足cos??=,cos(??+??)=, 则sin??=（ ）. A.
2517
45
35
B.
5
3
C.
2512
7
D.
5
13
1
2.已知cos???cos??=,sin???sin??=?, 则cos ????? =（ ）. A.
7259
B.
73
51
C.
36
13
D.
13
12
3.已知sin??+sin??+sin??=0, 则cos(?????)=（ ）. A.?1
B.?
21
C.
2
1
D. 1
（三）倍角模型
二倍关系是两个角之间一种非常特殊的关系，二倍角公式是三角函数的一种重要变形，其表现形式多样，有时比较直接，有时不是特别明显，二倍角公式及其变形公式是解决三角函数问题的一种重要手段，也是考查的一个重要内容.那么二倍关系在题目当中如何体现，二倍角公式又是如何考查的呢?
精选例题
例1求值：coscos
5??
2??5
.
例2已知??为锐角，且tan，求
2
1sin2??cos???sin??sin2??cos2??
的值.
例3化简：
例4 求函数sin2??+2sin??cos??+3cos2??的最大值，及相应??的值.
例5 己知sin2??=??,??∈ ,
2??3??
4
1+cos???sin??1?sin???cos??
+
1?cos???sin??1?sin??+cos??
. ，那么sin??+cos??=____.
模型归纳
对于二倍角的余弦公式，我们需要记住几个重要变形：1+cos2??=2cos2??,1?cos2??=2sin2??,cos2??=
1+cos2??
2
,sin2??=
1?cos2??
2
等，另外我们需要了解二倍角公式及其变形公式的结构特点是：协调角的倍数和三角函数的次数的关系，如cos2??=2cos2???1等号左边角2倍，三角发次数1次，等号右边角1倍，三角函数次数2次.了解这一特点，我们可以权据题目的要求，在倍数与次数之间进行转化，比如例4，减小次数，增大倍数.
对于二倍角的正弦公式sin22??=2sin??cos??，我们关注角倍数与三角函数次数情报同时，我们还应关 另一个细节，就是关于三角函数的名称，等号左侧只有一个正弦，等号右侧一个正弦，一个余弦，这就意味着：正向使用公式，派生出一个余弦；逆向使用公式，隐藏掉一个余弦.比如例1，题目所涉及两个角有2倍关系，可以考虑使用二倍角公式， 另外以余弦形式出现，可以考虑逆向使用二倍角正弦公式，以求将余弦逐个隐藏.
我们还应记住几个和1有关的二倍角公式变形：1+sin2??= sin??+cos?? 2,1?sin2??= sin???cos?? 2
这类题目的解题模型是：
根据题目的结构特点，确定已知与待求之间角的关系：倍角关系 选择适当的二倍角公式或变形公式 先利用公式进行变形转化，再将复杂式子化简或求值
模型演练
1.若??≤??<3??，则 2+2cos??+ 1?sin??? sin+cos 可化简为
52
??
??
A.0 B.2 cos?sin
2
2
????
C.?2 cos?sin D.2cos
2
2
2
54
????
2
??
2
2.已知?? ?? = 1+?? ，当??≤??
2??15
B.?2sin?? C.?2cos?? D. 2cos?? cos
8??15
cos
4??15
cos
16??15
的值为____.
（四）三角函数线模型
模型思考
三角函数线是借助有向线段来表示三角函数的方法，是三角函数的图形表示，但是我们在做题的时候，单纯使用三
角函数线有时并不是十分快捷，为了快捷有效地解决问题，我们可以考虑将三角函数线进行改造，得到改良后的三角函数线即我们所说的“大风车”模型，那么什么是“大风车”，“大风车”又该如使使用以及解决什么问题呢? 精选例题
例1 求满足sin??>的角??的取值范围.
21
例2 若??是△??????的内角，则sin??+cos??的取值范围是____.
例3 由不等式组
例4 如果??是第三象限角，且满足 1+sin??=cos+sin，那么是
2
2
2
??
??
??
sin???cos??<0,所确定的角的??取值范围是____.
cos??+sin??>0
A.第四象限角 B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一象限角
例5 设0≤??<，比较sin??与cos??的大小关系.
2??
例6 设??,??是第二象限角，那么下列结论正确的是（ ） A.tan??>tan?? B.tan?? 例7 已知sin??>cos??，那么下列结论成立的是（ ） A.若??,??是第一象限角，cos??>cos?? B.若??,??是第二象限角，tan??>tan?? C.若??,??是第三象限角，cos??>cos?? D.若??,??是第四象限角，tan??>tan?? 例8 若??,??为锐角，且cos??>sin??，则（ ） A.??+ ??< 2?? B. ??+ ??> 2 ?? C. ??+ ??= 2 ?? D. ??< ?? 模型归纳 通过分析，我们可以发现借助“大风车”图示，可以快捷有效地进行同角不同函数或不同角同一三角函数的大小比较或解决取值范围的问题.我们将各种“大风车”总结如下： （1）正弦 特点是：左右对称，向上集中. （2）余弦 特点是：上下对称，向右集中. （3）正切 特点是：单向旋转，上下无穷 （4）sin??+cos?? （5）sin???cos?? 这类题目的解题模型是： 确定比较项：同角不同函数或同函数不同角 通过选定的比较项，确定适归的“大风车”模型 通过模型比较不 同角或不同函数值的大小 确定角或三角函数值的取值范围 特点是：左下最小，右上集中 特点是：右下最小，左上集中 （五）和“1”有关的三角函数模型 模型思考 数字1作为数字的基本单位，在三角函数的运算中却有着广泛的应用，无论是特殊角三角函数值还是三角公式，无处不有1的影子，发现它，利用它，可以快速有效地解决在关三角函数的问题.那么，1是如何在题目中藏身，又是如何发挥它的作用的呢? 精选例题 例1 已知sin4??+cos4??=1，那么sin??+cos??=____. 例2 已知sin??+cos??=1,cos??+cos??=1，则sin??+cos??=____. 例3 已知sin??+sin2??=1，则cos2??+cos4??+cos6??=____. 例4 表达式A.tan?? 例5 化简: 例6 如果??sin??+cos??=1，??sin???cos??=1，且??≠???? (??为整数)那么????等于 A.?1 例7 已知sin??sin??=1，则cos ??+?? =（ ） A.?1 B.0 例8 已知sin??+sin??=2，求sin(?????)的值. 模型归纳 对和“1”有关的公式与性质作一梳理： （1）特殊角sin=1,cos0=1,tan=1等等； 2 4 ?? ?? 1+tan15°1?tan15°1+sin2???cos2??1+sin2??+cos2?? 1tan?? 可以化简为（ ） D.2sin?? B. C.sin?? . B.0 C.0.5 D.1 C.1 D.±1 （2）一般规律 sin2??+cos2??=1,sin??≤1,cos??≤1等等； （3）公式变形 1+sin2??= sin??+cos?? 2,1?sin2??= sin???cos?? 2,1+cos2??=2cos2??,1?cos2??=2sin2??等等. 这类题目的解题模型是 分析题目：抓住特殊角或特殊值 值代入相关表达式计算 模型演练 1.已知sin??+cos??=1，则 2.在△??????中，若tan???tan??>1，则此三角形一定是（） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 sin???cos??1+sin??cos?? 根据特殊角或特值的特点，选择适归的三角公式 将特殊角或特殊 =____.
