证明（1）
一、新课教学
1、 一组直线a、b、c、d、是否不平行（互相相交），请通过观察、先猜想结论，并动手验证
1、 证明的引入 （1）命题“等腰直角三角形的斜边是直角边的2 倍”是真命题吗？请说明理由 分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论。 教师对具体的说理过程予以详细的板书。
小结归纳得出证明的含义，让学生体会证明的初步格式。 （2）通过例2的教学理解证明的含义，体会证明的格式和要求
例2、 证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那
么这两个角相等”是真命题。
分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论（求
证）。
证明过程的具体表述 （略）
小结：证明几何命题的表述格式 （1）按题意画出图形； （2）分清命题的条件
和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； （3）
在“证明”中写出推理过程。 （3）练习：P76课内练习2 二、例题教学
例2、 已知：如图，AC与BD相交于点O，AO=CO，BO=DO。 求证： AB∥CD （证明略） CD三、练习巩固
P76 课内练习3
O四、小结
A（1） 证明的含义 B（2） 真命题证明的步骤和格式
（3） 思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？
六、作业布置
4.2证明（2）
【教学目标】
１．进一步体会证明的含义；
２．探索并理解三角形内角和定理的几何证明； ３．进一步熟练证明的方法和表述；
４．让学生体验从实验几何向推理几何的过渡．
【教学重点、难点】
?重点：探索三角形内角和定理的证明，进一步掌握证明的方法和表述．
?难点：例１是由较复杂的题设条件得出若干结论，用到多个定理，是本节的难点．
【教学过程】
一、复习证明的一般格式和表述，导入新课．
通过一个简单的命题的求证过程，让学生自己回顾证明一个命题的一般格式，并用自己
亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载
的语言进行表述．
（1）求证：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 设问：①如何写出已知、求证，并画出图形
②如何进行证明（可由学生口述）
（2）根据上述题目结合学生的回答引导学生归纳出证明一个命题的一般格式： ①按题意画出图形；
②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出
结论；
③在“证明”中写出推理过程． 二、合作交流，探究新知
（一）通过一个简单的例子向学生简介把一个由实验得到的几何命题经过推理的方法加以论证，让学生体验实验几何向推理几何的简单过渡。
A 命题：求证：三角形任何两边之和大于第三边．
（1）让学生回顾七年级对此命题的说明过程
（2）教师通过“两点之间线段最短”来说明上述命题， 并板书论证过程． （二）探究新知 B C 问题：三角形内角和定理是什么？ 出示命题：
求证：三角形三内角和等于180°． 分析：（1）这个命题的条件和结论是什么？并根据条件和结论画出图形，写出已知，求证．
（2）请同学们回顾，在三角形部分，对这个命题是用哪种实验方法加以说明的．（可请成绩较好的同学回答）
（3）请同学们思考：如何通过添加辅助线的方法把三个角拼在一起，这些线中哪些线容易产生相等的角？（同学之间相互合作，讨论学习，时间可稍长） 根据学生的回答，添辅助线并引导学生梳理推理的过程（此处可引导学生在不同的顶点处添加辅助线）
（4）师生共同完成推理过程．
启发学生再思考，除了选三角形顶点作平行线之外，还有没有其他方法，比如选三角形边上一点（此处也可让学生相互讨论并尝试），师生共同探究出证明过程：
可在BC边上任意取一点P，作PD∥AB，交AC于点D；作PE∥AC，交AB于点E． 证明：∵PD∥AB（已知） A ∴ ∠DPC=∠B
∠CDP=∠A (两直线平行，同位角相等) E D 又 ∵ PE∥AC
B C P ∴ ∠EPB=∠C (两直线平行，同位角相等)
∴ ∠EPB+∠EPD+∠DPC=∠C+∠A+∠B=180° (等量代换)
A 设问：三角形内角和外角之间有什么关系？
（学生讨论，自己试着给出证明过程） 1 D E 三、运用新知，体验成功
如图，比较∠1与∠2+∠3的大小，并证明你的判断
B 亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 2 3 C
（可让学生自行完成，并口述过程，老师作点评） 四、拓展提高，综合运用 A 例１ 已知：如图，AD是∠BAC的角平分线，BC⊥AD于点O， AC⊥DC于点C．
求证：（1）⊿ABC是等腰三角形； （2）∠D=∠B． O B C （一）启发诱导，形成思路
（1）要证明⊿ABC是等腰三角形，只需证明什么？
（AB=AC或∠B=∠ACB） D （2）证明两边相等或两角相等常用的方法是什么？
（三角形全等） 图中能否找到以AB，AC为对应边的全等三角形？⊿ABO与⊿ACO全等吗？应该满足什么
条件？
（3）要证明∠D=∠B，你能找到合适的全等三角形吗？ 根据已知AC⊥DC，能得到∠D与三角形中哪个角互余？ 根据已知BC⊥DA，能得到∠B与三角形中哪个角互余？ （二）指导学生完成证明过程；
（三）指明此题是由结论出发寻求解题思路，这是常用的一种数学方法――分析法． 五、疏理全过程，形成小结
（1）本节课你的最大收获是什么？
（可根据学生的回答大概归纳为：三角形内角和定理的证明方法――作平行线法； 常用的几何证明方法：由结论出发寻求使结论成立的条件，进而形成解题思路――分析
法．）
六、课外作业：见作业本．
4.2证明（3）
【教学目标】
1、继续学习证明的方法和表述
2、通过探求，让学生归纳和掌握证明的两种思考方法。 【教学重点、难点】
?重点：本节教学重点是如何分析证明的途径．
?难点：难点是例6的证明，要用逆向思维的思考方法．
【教学过程】
教师活动 一、引例 显示引例 教学内容 在RtΔABC中，∠ACB=Rt∠,CD⊥AB于D。 C亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载
学生活动 和老师一起ADB
读题，并要求能根据题意准确画图。 图形中，有几个锐角 4个 提问：通过观察,图形中这4个锐角大小有什么关系？ 提出问题，提问学生二、回顾 时帮助总结证明方法。 问题：求证：∠ACD=∠A 证明：∵∠ACB=Rt∠ ∴∠ACD+∠BCD=90° ∵CD⊥AB ∴∠A+∠ACD=90° ∴∠BCD=∠A(其它证法亦可) 板书：课题 1、指导学生，理解题意 三、新课讲解 例5 2、思考：证明两个角§4.2证明（3） 已知：如图，AD是ΔABC的高，E是AD上一点，若AD=BD，DE=DC，求证：∠1=∠C A BE1回答问题 学生思考，然后个别提问 同学们思考，然后让一学生归纳方法。 两两分别相等 审题，认真思考并且积极回答老师的CD提问 学生讨论，然后提问总结。 证明两个角的方法较多，如两条直线平行，程中帮助学生引导∠1和∠C在两个三角形有什么特点。 相等的方法有哪些？ 同位角相等或内错角相等，在本题总结的过3、教师帮助总结 通过证明∠1与∠C所在的三角形全等 通过提问学生总结方法 三、新课4、问：如何证明？ 讲解 DE=DC 例5 通过AD是ΔABC的高，可证出∠ADC=∠BDE=Rt∠ 条件 条件和需证在全等的证明过程中，已知两条件：AD=BD，学生找已知亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载
5、给出解题步骤 证明：∵AD是ΔABC的高 ∴∠BDE=∠ADC=Rt∠ 又∵BD=AD（已知） DE=DC（已知） ∴ΔBDE≌ΔADC（SAS） ∴∠1=∠C（全等三角形的对应角相等） 学生口述证题过程 学生完成练习一后，出示参考证明核对四、课堂（略） 练习一 已知：如图，在ΔABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠1=∠2，求证：∠B=∠ADE 一学生在黑板上演示，其他学生在课本上完成练习。 显示例6（屏幕显示） 已知：AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿五、新课问：证明两直线平行讲解 的方法有哪些？ 例6 BEA审题后思考：证明两直线平行主要有直线EF折叠，使点A与点D重合，求证：EF∥BC F2、通过学生的回答，平行的证法较多，有时无从着手，但联系本题，分组讨论，前总结两直线平行的方法 需引导学生从结论出发进行思考。 面组回答，后面组补充总结 3、问，若在多条交流的河流下游发现河水 被污染，该怎么找到污染源？ 总结出一条可行的方法——逆流而上寻找污染源。 发挥学生的发散思维，让学生充分思考，尽情发挥。 4、联想本题，发生类比，从结论出发总结证明思路。 联系本题，让学生总结出逆流而上寻找证题思路。 5、出示证明过程 证明：因为将纸片沿直线EF折叠后，点A与通过总结，完DC哪些方法。 亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载
点D重合，所以EF是线段AD的对称轴。 ∴EF⊥AD（对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段） ∵AD是ΔABC的高（已知） ∴BC⊥AD（三角形的高的定义） ∴EF∥AD（垂直于同一条直线的两直线平行） 6、提出问题，让学生课外思考完成后上交。 问：审题从结论出发，还有其它的解法 成证题 让学生解一题多种，学生可以互相讨论。 出示（屏幕显示） 已知：如图，AD∥BC，∠B=∠D，求证，ΔADC≌CBA 请写出分析和证明过程 AD学生仔细审题 六、课堂练习2 CB 要求学生用逆向思维的思考方式写出分析过程 学生独立完成，互相讨论，总结方法。 问：这节我们学到了1、会正确表述证明的过程 2、会判断如何证明角、边相等，两直线平行 学生自由回3、学会用证明的两种思考方法，特别要体验逆向思维的必要性 答 七、课堂小结 什么？ 八、作业布置
1、完成课本“作业题” 2、预习下一节 记录 4.3反例与证明
【教学目标】
1、理解反例的意义和作用。
2、掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是错误的
亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载
【教学重点、难点】
?重点：用反例证明一个命题是错误的．
?难点：如何构造一个反例去证明一个命题是错误的．
【教学过程】
一、情景引入
判断下列命题的真假
（1） 素数是奇数
（2） 黄皮肤、黑头发的人是中国人
（3） 在不同项点上有两个外角是钝角的三角形是锐角三角形
我们对真命题的证明，掌握了一定的方法和技能，那么如何来说明一个命题是假命题呢？今天我们将一起来探讨如何说明一个命题是假命题。从而引出课题——反例与证明 二、新课新授 1、讨论
（1）学生讨论1：如何去判断一个命题是假命题的方法？
学生分小组讨论，教师巡回指导，
师生总结：判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可。 （2） 学生讨论2：怎么样反例才能判断一个命题是假命题？
学生分小组讨论，教师巡回指导，
师生总结：具备命题条件但不具备命题结论的例子
如：可以举2是素数，但不是奇数，从而证明“素数是奇数”是假命题. （3）、让学生举一个反例去证明“黄皮肤、黑头发的人是中国人”是假命题 2、例题讲解
例题、判断下列命题的真假，并给出证明 （1） 若2 x + y = 0，则x = y = 0
（2） 有一条边、两个角相等的两个三角形全等
A 解（1）是假命题。 取x = -1 , y = 2 ，
则2 x + y = 2 ×（-1）+ 2 = 0 但x≠0且y≠0。
B C 即x = -1，y = 2 具备2 x + y = 0 的条件，但不具备命题的结论，
C` 所以此命题为假命题
（2） 假命题。
如图：△ABC和△A’B’C’中，
∠A=∠B’ ∠B=∠C’ A`B
AB=A’B’
但很明显△ABC和△A’B’C’不全等， 所以此命题为假命题
例题小结： 如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而
不符合结论的例子就可以了。这称为举“反例”。
3、变式练习： 判断命题“两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”的真假，
并给出证明。
分析：这是一个假命题，要证明它是一个假命题，关键是看如何构造反例。
亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载
本题可以从以下两方面考虑，（1）三角形ABC中，AB=AC，在底边BC延长线上取点D，连DA，这样在△ADB和△ADC中，AD=AD，∠D=∠D，AB=AC，显然观察图形可知△ADB与△ADC不全等，或者，在BC上任取一点E（E不是中点），如图4-4-4（2），则在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠B=∠C，AE=AE，显然它们不全等。 解
A A
这是D 一C B C E 个（1） （2）
假命图4 - 4 - 4 题
，证明如下：
如图4 – 4 – 4（1），在△ABC中，AB=AC，延长CB到D，连结AD。 则AB=AC，（已知） AD=AD，（公共边） ∠D=∠D，（公共角）
但△ADB与△ADC不全等。
评注 能举反例说明一个命题是假命题，反例不在于多，只要能找到一个说明即可。
三、练习 P85 课内练习1、2
四、小结：1、如何去判断一个命题是假命题
2、怎么样的反例才可以证明一个命题是假命题 五、作业：见作业本
亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载
