2008年山东省普通高中学业水平考试数学试题
1.（本小题满分6分）求函数f（x）=2sin（x+
?）-2cosx的最大值。 62. （本小题满分6分）直线L过直线L1:x+y-1=0与直线L2：x-y+1=0的交点，且与直线L3：3x+5y=7垂直，求直线L的方程。
3. （本小题满分7分）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黄球2个，现从中任取一球请确定颜色后再放回盒子里，取出黄球则不再取球，且最多取3次，求： （1）取一次就结束的概率; （2）至少取到2个红球的概率。
4. （本小题满分8分）等差数列｛an｝中，a1+a4+a7=15，a3+a6+a9=3，求该数列前9项和S9. 5. （本小题满分8分）已知奇函数f（x）=(1)求实数a、b的值：
(2)证明函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数:
(3)若g（x=3－f（x），证明g（x）在（-?,??）上有零点。
-x
1x?b的定义域为R，且f（1）=. 22x?a2009年山东省普通高中学业水平考试数学试题
1、本小题满分6分
????25已知向量a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),a?b?，求cos(???)的值.
52、本小题满分6分
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F分别是DC和CC1的中点.求证：D1E?平面ADF 3、本小题8分已知a?R，解关于x的不等式(a?x)(x?1)?0. 4、本小题7分
已知函数f(x)?ax?2bx?a（a,b?R ）(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，求方程f(x)?0恰有两个不相等实根的概率；
(2)若b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)?0没有实根的概率．
1
2
5、本小题8分对于函数f(x)?a?2(a?R). x2?1（1）用函数单调性的定义证明f(x)在(??,??)上是增函数； （2）是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？
2010年山东省普通高中学业水平考试数学试题
1、已知a =（2，1）b=（λ，-2），若a⊥ b，求λ的值 2、（6’）已知一个圆的圆心坐标为（-1， 2），且过点P（2，-2），求这个圆的标准方程
3、（7’）已知?an?是各项为正数的等比数列，且a1=1，a2+a3=6，求该数列前10项的和Sn 4、（8’）已知函数f(x)?31sinx?cosx,x?R 22求f(x)的最大值，并求使f(x)取得最大值时x 的集合
5、（8’）已知函数f(x)满足xf(x)=b+cf(x)，b≠0,f(2)=-1,且f(1-x)=-f(x+1)对两边都有意义的任意 x都成立 （1）求f(x)的解析式及定义域
（2）写出f(x)的单调区间，并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数？
2011年山东省普通高中学业水平考试数学试题
1．已知数列{an}的前n项和为Sn?n2?1，求数列{an}的通项公式。
????2．已知平面向量a?(1,3),b?(cosx,sinx)，设函数f(x)?a?b，求函数f(x)的最大值及取最大
值时x的值。
3．袋中有标号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取出两个球。
（1）写出所有的基本事件； （2）求所取出的两个球的标号之和大于5的概率。 4．设f(x)?x?ax是R上的偶函数
（1）求实数a的值 （2）用定义证明：f(x)在(0,??)上为增函数。5．已知平面上两点
2M(4,0),N(1,0)，动点P满足|PM|?2|PN|
(1) 求动点P的轨迹C的方程。
(2) 若点Q(a,0)是轨迹C内一点，过点Q任作直线l交轨迹C于A,B两点，使证：
???????????????????????????QA?QB的值只与a有关；令f(a)?QA?QB，求f(a)的取值范围。
2
2008
1. 解:
f(x)?2(31sinx?cosx)?2cosx?3sinx?cosx 22?). 6? ∵ －1≤sin(x－)≤1
6 = 2sin(x－
∴ f (x)max = 2 .
2. 解：联立x+y-1=0与x-y+1=0， 得 x = 0, y = 1 . ∴直线l1与直线l2的交点是（0，1）. 因为直线l3的斜率是k3= ?3, 且直线l⊥直线l3 . 55所以，直线l的斜率是k = .
3因此，直线l的方程是5x – 3y + 3 = 0. 3. 解：（1）设第一次就取到黄球的事件为A， 则P（A）=
2 5 （2）设前两次取到红球，且第三次取到黄球的事件为B,
设前三次均取到红球为事件C, 则B、C为互斥事件， 故所求事件的概率为：
P（B∪C）= P（B）+ P(C)
3?3?23?3?39?? =
5?5?55?5?5254. 解：由 ??a4?5?a1?a4?a7?15 得，?
a?1?6?a3?a6?a9?3 得 a1+a9 = a4+a6 = 6 所以，S9=
（9a1?a9）?27 23
5. 解：(1)因为f(X)的定义域为R，且为奇函数， 所以f(0)=0，即=0，所以b=0，
111 所以=所以a=1 2a?12x (2)由（1）知f（x）=2
x?1 又f(1)= 设-1 x1x2 ?22x1?1x2?1X1X22x1x2?x1?x2x12?x2 ==22(x1?1)(x2?1)(X1?X2)?(X2?X1)(x?1)(x?1)2122 = (x1x2?1)(x2?x1) 2(x1?1)(x2?1)2 由 -1 ∴ 函数f(x)在区间（-1，1）上为增函数 . （3）∵ g(x) = 3 - -x x , ∴ g(0) =1>0 . 2 x1?1 g(1) = 111????0. ∴ g(0)g(1) < 0 . 326 ∴ g(x)在（0，1）内至少有一个零点. 因此，函数g(x)在（-∞，+∞）上有零点. 2009 1、解：∵a⊥b，∴a?b=0，又∵a=（2，1），b =（λ，-2），∴a?b=2λ-2=0，∴λ=1 2、解：依题意可设所求圆的方程为（x+1）2+（y-2）2=r2。 ∵点P（2，-2）在圆上，∴ r2=（2+1）2+（-2-2）2=25∴所求的圆的标准方程是（x+1）2+（y-2）2=52 。 3、解：设数列?an?的公比为q，由a1=1，a2+a3=6得：q+q2=6，即q2+q-6=0， a1(1?q10)1?210解得q=-3（舍去）或q=2∴S10=??210?1?1023 1?q1?2 4 4解：∵f(x)?31???sinx?cosx?sinxcos?cosxsin?sin(x?) 22666∴f(x)取到最大值为1 当x??6?2k???2,k?Z,即x?2k???,k?Z时，f(x)取到最大值为1 23∴f(x)取到最大值时的x的集合为?x│x?2k????2??.，k?Z? 3?b， x?c5、解：（1）由xf(x)=b+cf(x)，b≠0，∴x≠c，得f(x)?由f(1-x)=-f(x+1)得 bb??∴c=1 1?x?cx?1?cb?11?由f(2)=-1，得-1= ，即b=-1∴f(x)?， 2?1x?11?x∵1-x≠0，∴x≠1即f(x)的定义域为x│x?1 （2）f(x)的单调区间为（-?，1），（1，+?）且都为增区间 证明：当x∈（-?，1）时，设x1 2011 1．【解析】当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2?(n?1)2?2n?1；当n?1时，a1?S1?2不满足an；所以数列的通项公式为an???2,n?1, ?2n?1,n?2.2．【解析】f(x)?a?b?(1,3)?(cosx,sinx)?cosx?3sinx ???13??2(cosx?sinx)?2sin(x?)，当x??2k??，即x?2k??时，函数f(x)取得最 623226 5 大值2. 3．【解析】（1）随机取两个球的基本事件为（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）. （2）两球标号之和大于5的有（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共有7个，所以所求概率为 7. 10224．【解析】（1）因为函数f(x)?x2?ax是偶函数，f(?x)?x2?ax?f(x)，即x?ax?x?ax，所以a?0. （2）证明：由（1）知f(x)?x2，任设两个变量x1,x2?(0,??)，不妨设x1?x2，则 f(x1)?f(x2)?x1?x2?(x1?x2)(x1?x2)，因为x1?x2，所以x1?x2?0，又x1,x2?(0,??)， 所以x1?x2?0，所以f(x1)?f(x2)?(x1?x2)(x1?x2)?0，f(x1)?f(x2)，即函数f(x)在(0,??)上为增函数. 5．【解析】(1)设点 22PM?(4?x,?y)， ?????????2222PN?(1?x,?y),PM?(4?x)?y),PN?(1?x)?y),由|PM|?2|PN|，得 P 的坐标为 (x,y)，则 (4?x)2?y2)?2(1?x)2?y2)，整理得x2?y2?4，它的轨迹是圆心在原点，半径为2的圆. （2）由题意知直线斜率k存在，则直线方程为y?k(x?a)，代入x?y?4， 222ak2整理得(1?k)x?2akx?(ka?4)?0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，得x1?x2?， 1?k222222a2k2?4x1x2?1?k2QA?QB?(x1?a,y1)?(x2?a,y2)?x1x2?a(x1?x2)?y1y2， y1y2?k2(x1?a)(x2?a)?k2[x1x2?a(x1?x2)]， k2a2?4a?2ak2??a2]?a2?4，与k无关，所以QA?QB?(1?k)[x1x2?a(x1?x2)]?(1?k)[221?k1?k222只与a有关.所以f(a)?a?4，又因为点Q(a,0)是轨迹C内一点，所以?2?a?2，0?a?4， 2?4?a2?4?0，即f(a)?a2?4的取值范围是(?4,0) 6 大值2. 3．【解析】（1）随机取两个球的基本事件为（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）. （2）两球标号之和大于5的有（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共有7个，所以所求概率为 7. 10224．【解析】（1）因为函数f(x)?x2?ax是偶函数，f(?x)?x2?ax?f(x)，即x?ax?x?ax，所以a?0. （2）证明：由（1）知f(x)?x2，任设两个变量x1,x2?(0,??)，不妨设x1?x2，则 f(x1)?f(x2)?x1?x2?(x1?x2)(x1?x2)，因为x1?x2，所以x1?x2?0，又x1,x2?(0,??)， 所以x1?x2?0，所以f(x1)?f(x2)?(x1?x2)(x1?x2)?0，f(x1)?f(x2)，即函数f(x)在(0,??)上为增函数. 5．【解析】(1)设点 22PM?(4?x,?y)， ?????????2222PN?(1?x,?y),PM?(4?x)?y),PN?(1?x)?y),由|PM|?2|PN|，得 P 的坐标为 (x,y)，则 (4?x)2?y2)?2(1?x)2?y2)，整理得x2?y2?4，它的轨迹是圆心在原点，半径为2的圆. （2）由题意知直线斜率k存在，则直线方程为y?k(x?a)，代入x?y?4， 222ak2整理得(1?k)x?2akx?(ka?4)?0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，得x1?x2?， 1?k222222a2k2?4x1x2?1?k2QA?QB?(x1?a,y1)?(x2?a,y2)?x1x2?a(x1?x2)?y1y2， y1y2?k2(x1?a)(x2?a)?k2[x1x2?a(x1?x2)]， k2a2?4a?2ak2??a2]?a2?4，与k无关，所以QA?QB?(1?k)[x1x2?a(x1?x2)]?(1?k)[221?k1?k222只与a有关.所以f(a)?a?4，又因为点Q(a,0)是轨迹C内一点，所以?2?a?2，0?a?4， 2?4?a2?4?0，即f(a)?a2?4的取值范围是(?4,0) 6
