第二章 数列极限
习题
§1数列极限概念
1?(?1)n1、设an=，n=1，2，…，a=0。
n（1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N： ?1=0.1，?2=0.01，?3=0.001；
（2）对?1，?2，?3可找到相应的N，这是否证明了an趋于0？应该怎样做才对； （3）对给定的ε是否只能找到一个N？ 2、按ε—N定义证明：
nn!3n2?n3lim?（1）lim=1；（2）lim；（3）；
n??n?1n??2n2?1n??nn2（4）limsin
n???n=0；（5）limn=0（a>0）。
n??nan3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列： （1）lim1nn??；（2）limn??（3）lim3；
n??11lim；（4）； 3nn??n3（5）lim12nn??；（6）limnn??（7）lim10；
12n??n。
4、证明：若liman= a，则对任一正整数k，有liman?k= a。
n??n??5、试用定义1?证明： （1）数列{
n1}不以1为极限；（2）数列{n(?1)}发散。 n(?1)n6、证明定理2.1，并应用它证明数列{1?}的极限是1。
n7、证明：若liman= a，则lim|an|= |a|。当且仅当a为何值时反之也成立？
n??n??8、按ε—N定义证明： （1）lim(n?1?n)=0；
n??（2）limn??1?2?3???n=0；
n3
1
（3）liman=1，其中
n??n?1,n为偶数， nan=
n2?n，n为奇数。 n
§2收敛数列的性质
1、求下列极限：
1?2nn3?3n2?1(?2)n?3n（1）lim；（2）lim；（3）lim；
n??4n3?2n?3n??n??(?2)n?1?3n?1n2（4）lim(n2?n?n)；（5）lim(n1?n2???n10)；
n??n??111?2???n2。 （6）lim22n??111?2???n3332、设liman= a，limbn= b，且a n??n??3、设{an}为无穷小数列，{bn}为有界数列，证明：{anbn}为无穷小数列。 4、求下列极限： （1）lim(n??111????)； 1?22?3n(n?1)（2）lim(24282?2n2)； n??（3）lim(?n??1232n?1???)； 2n22（4）limnn??1?1； n（5）lim(n??111????)； 222n(n?1)(2n)（6）lim(n??1n?12?1n?22???1n?n2)。 5、设{an}与{bn}中一个是收敛数列，另一个是发散数列。证明{an±bn}是发散数列，又问{anbn}和{ an}（bn≠0）是否必为发散数列？ bn2 6、证明以下数列发散： n（1）{(?1)nn?(?1)n}；（2）{n}；（3）{cos}。 n?147、判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）： （1）若{a2k?1}和{a2k}都收敛，则{an}收敛； （2）若{a3k?2}，{a3k?1}和{a3k}都收敛，且有相同极限，则{an}收敛 8、求下列极限： （1）limn??132n?1?； 242n?p!（2）limp?1n??nn!； （3）lim[(n?1)??n?],0???1； n??（4）lim(1??)(1??2)?(1??2),|?|?1。 n??n9、设a1,a2,?,am为m个正数，证明： limnnna1n?a2??am=max{a1,a2,?,am}。 n??10、设liman= a 。证明： n??（1）limn??[nan]= a ； nn（2）若a>0，an>0，则lim n??an=1。 §3数列极限存在的条件 1、利用lim(1?n??1n)= e求下列极限： nn1n?1)； n??n??n1n1)； （4）lim(1?)n； （3）lim(1?n??n??n?12n1n（5）lim(1?2)。 n??n（1）lim(1?)； （2）lim(1?2、试问下面的解题方法是否正确： 求lim2。 n??1nn解：设an=2及liman= a。由于an= 2an?1，两边取极限（n→∞）得a = 2 a，所以 n??n 3 a = 0。 3、证明下列数列极限存在并求其值： （1）设a1=2，an?1=2an，n=1，2，…； （2）设a1=c（c>0），an?1=c?an，n=1，2，…； cn（3）an=（c>0），n=1，2，…。 n!4、利用{(1?1n1n)}为递增数列的结论，证明{(1?)}为递增数列。 nn?15、应用柯西收敛准则，证明以下数列{an}收敛： sin1sin2sinn?2???n； 222111（2）an=1?2?2???2。 23n（1）an= 6、证明：若单调数列{an}含有一个收敛子列，则{an}收敛： 7、证明：若an>0，且limn??an=l>1，则liman=0。 n??an?18、证明：若{an}为递增（递减）有界数列，则 liman=sup{an}（inf{an}）。 n??又问逆命题成立否？ 9、利用不等式b证明：{(1?n?1-an?1>（n+1）an（b-a），b>a>0 1n?11)}为递减数列，并由此推出{(1?)n}为有界数列。 nn1n310、证明：|e-(1?)|<。 nn1n?11n?131n提示：利用上题可知e<(1?)；又易证(1?)<+(1?)。 nnnn11、给定两正数a1与b1（a1>b1），作出其等差中项a2= a1?b1与等比中项2b2?a1b1，一般地令 an?1?an?bn，bn?1?anbn，n=1，2，…。 2证明：liman与limbn皆存在且相等。 n??n?? 4 12、设{an}为有界数列，记 an=sup{an，an?1，…}，an=inf{an，an?1，…}。 ???证明：（1）对任何正整数n，an≥an； ???（2）{an}为递减有界数列，{an}为递增有界数列，且对任何正整数n，m有an≥am； ?????（3）设an和an分别是{an}和{an}的极限，则a≥a； ???（4）{an}收敛的充要条件是a=a。 ?? 总练习题 1、求下列数列的极限： （1）limnn??n5（2）limn；（3）lim(n?2?2n?1?n)。 n?3； n??en??3n2、证明： （1）limn2qn=0（|q|<1）；（2）limn??n??lgn1lim=0（a≥1）；（3）=0。 n??nnan!3、设liman= a，证明： n??（1）limn??a1?a2???an= a（又问由此等式能否反过来推出liman= a）； n??nnn??（2）若an>0（n=1，2，…），则lim4、应用上题的结论证明下列各题： a1a2?an= a。 1?（1）lim（3）limn??111????23n=0；（2）limn??nn； a=1（a>0） nn??n=1； （4）limnn!1n!n??n=0； （5）limn??n= e； （6）limn??1?2?3???n=1； n 5
