线性代数第八章习题解
习题八
1. 验证
1) 全体n?m级的实矩阵的集合Mn?m(R)关于矩阵的加法和(实)数乘矩阵构成一线性空间.
2) 给定实数轴上一闭区间[a,b](a 证: 1) 任给三n?m级矩阵A,B,C?Mn?m(R), 任给二实数k,l?R, 因有 A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C) O+A=A A+(-A)=O k(A+B)=kA+kB (k+l)A=kA+lA (kl)A=k(lA) 1A=A 因此, Mn?m(R)关于矩阵的加法和(实)数乘矩阵构成一线性空间. 2) 任给三个在闭区间[a,b]上的连续函数f(x),g(x),h(x)?C[a,b], 任给二实数k,l?R, 并用O(x)在此闭区间上的函数值总取0值的函数, 即O(x)=0, a?x?b, f(x)的负函数则为-f(x)因有 f(x)+g(x)=g(x)+f(x) [f(x)+g(x)]+h(x)=f(x)+[g(x)+h(x)] O(x)+f(x)=f(x) f(x)+[-f(x)]=O(x) k[f(x)+g(x)]=kf(x)+kg(x) (k+l)f(x)=kf(x)+lf(x) (kl)f(x)=k[lf(x)] 1f(x)=f(x) 因此, C[a,b]关于函数的相加和实数乘函数松成一线性空间. 2. 取上一题中Mn?m(R)的n×m个元素Eij为(i,j)位元素为1, 其它全为零的矩阵, i=1,2,…,n; j=1,2,…,m. 验证这n×m个元素为Mn×m(R)的一个基. 从而Mn×m(R)的维数为n×m. 证: 首先验证n×m个元素线性无关, 考察关于kij, i=1,2,…,n; j=1,2,…,m的齐次方程 ??kj?1i?1mnijEij?O, 这n×m个相加的矩阵中的每一个kijEij都是只有一个第i行第j列的元素 为kij, 其余元素为0, 这样就有 ??kj?1i?1mnijEij?{kij}m?n, 只有当kij=0, i=1,2,…,n; j=1,2,…,m时才有{kij}m×n=Om×n, 因此知这 n×m个元素Eij线性无关. 此外, 任何{aij}n?m?Mn?m(R), 都有 {aij}n?m???aijEij j?1i?1mn从而这n×m个元素为Mn×m(R)的一个基. 从而Mn×m(R)的维数为n×m. 3. 判断下述变换中哪些是线性变换. 1) 线性空间V中, A???,??V是一固定向量. 2) 线性空间V中, A?????,??V是一固定向量。 3) R3中, A((x1,x2,x3)=(2x1+x2, x3-x2, x1). 4) R3中, A((x1,x2,x3)=(x12, x1+x2, x3). 5) 全体实系数多项式构成的线性空间R[x]中, A(f(x))=f(x-a), a是一固定的数. 6) 同上, R[x]中, A(f(x))=f(x2). 解: 1) 如果α?O, 则不是线性变换, 因AO=α并没有将零向量映射为零向量. 2) 如果α?O, 则不是线性变换, 同样因为AO=α. 3) 任给α,β?R3, α=(a1,a2,a3), β=(b1,b2,b3), k为任意实数, 则 A(α+β)=A(a1+b1,a2+b2,a3+b3)=(2(a1+b1)+(a2+b2), (a3+b3)-(a2+b2),(a1+b1)) =(2a1+a2, a3-a2, a1)+(2a1+a2, a3-a2, a1)=A(α)+A(β) A(kα)=A(ka1,ka2,ka3)=(2ka1+ka2, ka3-ka2, ka1)=k(2a1+a2, a3-a2, a1)=kA(α) 因此A为线性变换. 4) 不是线性变换, 第一个分量产生平方项x12是非线性的原因. 因此找任何一个第一个分量不为零的向量作反例即可, 因此令α=(1,0,0), 并给出实数2, 则Aα=A(1,0,0)=(1, 1, 0), 而A(2α)=A(2,0,0)=(4,2,0)?(2,2,0)=2Aα. 5) 任给实系数多项式f(x),g(x)?R[x], 任给实数k?R, A(f(x))=f(x-a), A(g(x))=g(x-a), A(f(x)+g(x))=f(x-a)+g(x-a)=A(f(x))+A(g(x)), A(kf(x))=kf(x-a)=kA(f(x)), 因此A是线性变换. 6) 任给实系数多项式f(x),g(x)?R[x], 任给实数k?R, A(f(x))=f(x2), A(g(x))=g(x2), A(f(x)+g(x))=f(x2)+g(x2)=A(f(x))+A(g(x)), A(kf(x))=kf(x2)=kA(f(x)), 因此A是线性变换. 4. 在R[x]中, A(f(x))?f?(x),B(f(x)?xf(x), 验证A,B均是线性变换, 且 AB-BA=E. 其中, E是指恒等变换. 证: AB(f(x))?A(xf(x)?(xf(x)??f(x)?xf?(x) BA(f(x))?B(f?(x))?xf?(x) 因此有 (AB?BA)(f(x))?AB(f(x))?BA(f(x))?f(x)?xf?(x)?xf?(x)?f(x) 即AB-BA=E. 5. 设矩阵 ?10?1?? A??221????13?1??定义R3上的一个线性变换A使得A在基α1=(-1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,-1)T下的矩阵为A. 解: 设R3中的任意一向量β在α1,α2,α3,下的坐标向量为(b1,b2,b3)T, 即 ?b1??, 则有 ??(?1,?2,?3)?b2????b3???b1???(?,?,?)A(?,?,?)?1? A??(?1,?2,?3)A?b2123123????b3??现求(α1,α2,α3)-1如下: ??120100???120100??112010??r?032110? 1?r2??????????01?1001???01?1001????120100?r2?(?2)?r1??10210?2?r2?r3?r2?(?3)?r3?? ??????01?1001???????01?1001??????032110???00511?3??r3?(1/5)?r2??1003/5?2/5?4/5?r3?(?2/5)?r1?????????0101/51/52/5?? ?1?3??0051?r1?(?1)?100?3/52/54/?r?(?1/?5)5?3????0101/51/52/5?5?3/5? ??0011/51/???即有(?T??3/52/54/5??1,?2,?3)??1/51/52/5 ?/5?3/5??1/51??(??1???120?1,????10?1???322,?3)A(?1,?2,??13)5?112221?1???????11?01????13?1????11??120??1?????417?1???21311?5?112????379????01?1?????1413??5??91642??? ??23?4????21311?最后得A??1?5??91642?? ??4???23?? 6. 设A,B为R3中如下定义的线性变换: A(x1,x2,x3)=(2x1-x2, x1+x2+x3, -x2+x3) B(x1,x2,x3)=(x2+x3,x1+x3,x1+x2) 分别求A,B和AB在基ε1=(1,0,0)T, ε2=(0,1,0)T, ε3=(0,0,1)T下的矩阵. 解: ?2x1?x2??2?1?x1?A(x,x?0??x1?2,x3)???x1?x2?x3A???x????111????x?12????x?2 ?2?x3????0?11???x3?????x3???2?10?其中A???111?就是A在基ε1, ε2, ε3下的矩阵, ???0?11???x2?x3?B(x,x????011??x1??x1?3)??x1?x3?101??x??B?1,x2x? ?????2???2??x1?x2????110????x3???x3???011?其中B???101?就是B在基ε1, ε2, ε3下的矩阵, ???110??4?2??3??? ?x1??2?10??011??x1???121??x1????111??101??x???222??x? AB(x1,x2,x3)?AB?x2???????2????2???x3????0?11????110????x3????01?1????x3????121???因此,AB?222就是AB在基ε1, ε2, ε3下的矩阵. ????01?1?? 7. 设R3中一线性变换A在基α1=(1,-2,1)T,α2=(0,2,-1)T, α3=(-1,0,3)T下的矩阵为 ?021?? A??101?????121??求A在基β1=(1,1,1)T, β2=(1,1,0)T, β3=(1,0,0)T下的矩阵. 解: 设由基α1, α2, α3 到基β1,β2,β3下的过渡矩阵为T, 则 (α1, α2, α3)T=(β1,β2,β3) 因此, 对分块矩阵(α1, α2, α3|β1,β2,β3)作行初等变换使左边一半变换为单位矩阵时, 右边的一半的内容即为T, 0?1111?r1?2?r21??1?10?111??22??r?02?233? 1?(?1)?r30110?????2???????1?13100???0?140?1?1??1?r2?2?r3?10?1111??10?111r2?r3?r2?(?1)?? ??????0?140?1?1??????01?4011?????2??02?233??006310??11??10?11r3?(1/6)???????01?4011?? ??0011/21/60??r3?r1?1003/27/61?r3?4?r2???????01025/31?? ??0011/21/60???3/27/61??? 5/31因此T?2????1/21/60??再求过渡矩阵的逆T-1, 因为(β1,β2,β3)T-1=(α1, α2, α3), 因此对分块矩阵(β1,β2,β3|α1, α2, α3)作行 初等变换使左边成为单位矩阵, 则右边即为T-1,
