14、九年级数学自招班讲义：小压轴题及综合
姓名
【图形平移】
1．（图形平移）如图五，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝ 4cm，点D是斜边AB上的中点，把△ADC沿着AB 方向平移1cm得△EFP，EP与FP分别交边BC于 点H和点G，则GH＝ ▲ ．
A E D C P
H G （图五） B
F 2．（图形平移）将抛物线y?x2?4x?4沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，
如果?ABC是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是 ．
【图形旋转】
?ABC?60?，?BAE?25?.把线段AE1、 （图形旋转）如图，已知菱形ABCD中，点E在边BC上，
绕点A逆时针方向旋转，使点E落在边CD上，则旋转角?的度数为 ．（0????180?）
A D
B C E
2．（图形旋转）将等腰△ABC绕着底边BC的中点M旋转30°后，如果点B恰好落在原△ABC的边AB上，那么∠A的余切值等于 ．
3、（图形旋转）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AD =2，BC=42,∠B= 45°.直角三角板含45 度角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F. 若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于 ． AD F
CBE
第18题
4．（图形旋转）在Rt?ABC中，?C?90?，AB?5，AC?4，点D是斜边AB的中点，把?ABC绕
点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落在点A?．那么AA?的长是_____▲________．
5．（图形旋转）如图，在?AOB中，已知?AOB?90?，AO?3，BO?6，将?AOB绕顶点O逆时针旋
转到?A?OB?处，此时线段A?B?与BO的交点E为BO的中点，那么线段B?E的长度为 ▲ ． A′ A E B O
B′
（第18题图）
6．（图形旋转）如图6，已知等腰△ABC，AD是底边BC上的高， AD：DC=1：3，将△ADC绕着点D旋转，得△DEF， 点A、C分别与点E、F对应，且EF与直线AB重合， 设AC与DF相交于点O，则S?AOF:S?DOC= ．
7. （图形旋转）如图，△ABC是面积为3的等边三角形，△ADE∽△ABC，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积是 .
ABEFDCBDCA图6
8. （图形旋转）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为__________.
【图形翻折】
1．（图形翻折）在△ABC中，AB=AC，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC
于点N．如果△CAN是等腰三角形，则∠B的度数为_____________．
2、（图形翻折）如图5是一张直角三角形的纸片，直角边AC＝6cm , sinB=
现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，那么DE的
A3， 5CD长等于 ．
EB图5
3．（图形翻折）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点D、E分别在BC、AC上， 且BD=CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF∥AB，则BD的长为 ；
4．（图形翻折）已知在Rt△ABC中，∠A = 90°，sinB?BDA第18题
EC5，BC = a，点D在边BC上，将这个三角形沿5直线AD折叠，点C恰好落在边AB上，那么BD = ．（用a的代数式表示）
A
5．（图形翻折）如图，将△ABE翻折，使点B与AE边上的点D重合，
折痕为AC.若AB=AC=5，AE=9，则CE= ． D
BC
第18题图
E6. （图形翻折）如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，cotA?3，点D、E分别是边BC、AC上4的点，且∠EDC=∠A，将△ABC沿DE对折，若点C恰好落在边AB上，则DE的长为 .
A
E B
DC 图7
7. （图形翻折）如图4，在矩形ABCD中，已知AB?12，AD?8，如果将矩形
A 沿直线l翻折后，点A 落在边CD的中点E处，直线l与分别边AB、
D AD交于点M、N，那么MN的长为 .
B E 图4
C 【新概念】
1.（新概念）对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆
的半径，则称图形A被这个圆“覆盖”．例如图5中的三角形被一个圆“覆盖”.如果边长为1的正六边形被一个半径长为R的圆“覆盖”，那么R的取值范围为 ．
2、（新概念）根据三角形外心的概念，我们可引入如下一个新定义：
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． ．．．．
根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在Rt?ABC中，?A?90?，BC?10，AB?6， 如果准外心P在AC边上，那么PA的长为 ．
C A （第17题图）
B
3．（新概念）我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂三角形。已知等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则该三角形的垂三角形的周长是 ；
4. （新概念）新定义：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的线段叫做“三角形的弦”.已知等边
三角形的一条弦的长度为2cm，且这条弦将等边三角形分成面积相等的两个部分，那么这个等边三角形的边长为 cm.
5．（新概念）如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的
三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在△ABC中，AB=6，BC=7，AC=5，△A1B1C是△ABC以点C为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点C为转似中心的另一个转似三角形△A2B2C（点A2、B2分别与A、B对应）的边A2B2的长为 ．
A(B1) A1
B
C
【分类讨论、多个知识点综合及其他】
D 1、（圆的综合）如图，正方形ABCD中，如果E是BC边上一点，
以点E为圆心、EC为半径的半圆与以点A为圆心，AB 为半径的圆弧外切，那么sin∠EAB的值为__________.
2、（添辅助线）如图7，已知△ABC，点D在边AC上，AD:DC?2:1，
A
（第18题图）
C E B
BD?AB，tan?DBC?
1，则sin?BAC的值是 . 3B A 图7
D C
3．（黄金三角形）已知△ABC中，AB?AC?m，?ABC?72?，BB1平分?ABC交AC于B1，过B1作
B1B2//BC交AB于B2，作B2B3平分?AB2B1交AC于B3，过B3作B3B4//BC交AB于B4，则线段
（用含有m的代数式表示） B3B4的长度为 ．
B4 B2 B
A B3 B1 C
4．（多个知识点综合）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别是 A(?1，0)，B(3，0),C(0，2)，已知动
直线y?m(0?m?2)与线段AC、BC分别交于D、E两点，而在x轴上存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形，那么m的值等于 ．
5.（分类讨论）如图6，已知⊙O1与⊙O2相交于点A、B，AB?8，O1O2?1，⊙O1的半径长为5，
那么⊙O2的半径长为 ．
A O1 O2 B 图6
6. （多个知识点综合）如图7，弧EF所在的⊙O的半径长为5，正三角形ABC的顶点A、B分别在
半径OE、OF上，点C在弧EF上，?EOF?60?.如果AB?OF，那么这个正三角形的边长为 ．
E A C F
B 图7
O
7.（二次函数图像对称性）
已知，二次函数f(x) = ax2 + bx + c的部分对应值如下表，则f(- 3) = ．
8．（圆）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，?BOC?110°，AD∥OC， 则?AOD? 度；
第17题
x y －2 5 －1 0 0 －3 1 －4 2 －3 3 0 4 5 5 12
9.（分类讨论）已知⊙O的半径长为5cm，点P是⊙O外一点，OP?8cm，那么以P为圆心且与⊙O相切的圆的半径长是 cm．
10. （分类讨论）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=9，点P在BC边上，CP=3，点Q为线段AP上的动点，射线BQ与矩形ABCD的一边交于点R，且AP=BR，则
QR= ． BQADBP第18题
C
11．（多个知识点综合）如图5，点G是Rt△ABC的重心，过点G作矩形GECF， 当GF：GE=1：2时，则∠ B的正切值为 ．
GA
ECBF图5
12．（分类讨论）若一个三角形的边长均满足方程x?6x?8?0，则此三角形的周长为 ．
13．（多个知识点综合）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=15，CD=13，AD=8，∠B是锐角，∠B的正弦值为
24，那么BC的长为 ． 5
