2010年高考数学模拟试题（课标卷二）答案详解
一、选择题
1．C 提示：由1?2x?0得x?2. C 提示：z?isin(1. 23?3?3???)为实数，则sin(??)?0，???k?(k?Z). 2223. B 提示：由题意有a?3?4?a?3?4或a?3??4，?a为7或?1.
4．B（文）提示：可以解出自变量x的相应值，也可以根据函数的单调性和值域判断.
3 B（理）提示：T3?1?C5?12?(?2a)3??80a3
5．A 提示： 由于2
0.5?2?log0.5112?120.5,故2?log0.5?0.5? . 4422??6. A提示：
p?q?pqcos?6,长度较小一条对角线长为4?2???2????a?b?6p?q?36p?12?p?q?q?????2???2???15
，另一条对角线长为
?a?b?4p?5q?16p?40?p?q?25q?593 .
7.D 提示：当x?0, f(x)?x3?6x2?9x?4有2个零点，当x?0, f(x)?lnx有1个零点，?y?f(x)共有3个零点.
xx?18 D 提示： 因命题p是假命题, 故?x?[0,1]，k?4?k?2?6(k?5)?0,即
?x?[0,1],k?3030,从而得k的取值范围(??,5)?(6,??) ?XX?1X24?2?6(2?1)?59. B 提示：由图知A?2,???4,??0，y?2sin?4x，f(1)?2,f(2)?2，
f(1)?f(2)?f(3)???f(2010)?f(1)?f(2)?2?2.
10.C 提示：当c?(5,35)时，圆x2?y2?2x?4y?1?0上上恰有两个点到直
线2x?y?c?0的距离等于1，结合选项取c?3.
11．C（文） 能得出AB⊥CD的序号是①、②，共有2个
C（理）将条件集中到平面ABCD上，并在平面ABCD上建立直角坐标系.
1
12 A 提示：按x?y的值分组，当x?y?2时为第一组，当x?y?3时为第二组，…x?y?m?n为第m?n?1组，故该数列的前m?n?2组共有有序数对
(m?n?2)(m?n?1)个，而对于有序数对(m,n)，当x?m时，为第m?n?1组中的第m2（m?n-2)(m?n?1)?m位 选A. 位，故有序数对(m,n)在该数列的第
2二、填空题
13．2 提示：sinA:sin(A?C)?sinA:sinB?2:1?2.
y2x2??1，?0.5k?k?9,?k?6. 14. 6 提示：双曲线方程为
0.5kk?x2 |x|?115. 如f(x)?? 提示：满足条件的函数有无数个，f(x)的图像部分关于
x |x|?1?原点对称，部分关于y轴对称．
25y3(x?y)2216． 提示：由条件易得1??,不等式变为a?2, ?1?2yx13x2x?y?xy令
2y3325?t,f(t)?1?,则函数f(t)在区间[1,]上的最小值是f()?,所以实数a1x2213t?t25. 13的最大值是
三、解答题
17. 提示：（1）a?b?sin?cos??cos?sin??sin(???)?（2）∵a?b，∴sin(???)?0，∴????k?(k?Z) ∴2??2k??2?，∴cos2??cos2?． 18提示：(1)价格满意度为5的概率是满意度不小于3的概率
2 2
1?1?2?1?01?；价格满意度为3且舒适
50101?74?； 50251?7?0?6?1?3，
5(2)满意度为3时舒适满意度的5个数据的平均数是
方差是
4?16?9?9?4?8.4；
5 2
(3)（理）由样本数是50，知a?b?c?6①又P(x?2)?8?c211?a?b133??，即2a?2b?3c?2 ②由y的期望值为， 503505053?a?c15156?b133?4??3??2??1?? ?5?, 505050505050?4a?b?4c?15③.由①②③得a?1,b?3,c?2.
2P(x?3)得3168A?“该人在对价格满意的条件下对舒适度也满意”,则P(A)?50?.
26135019. 提示：(1)连接A1C,交AC1于点E,连接DE,则DE是?A1BC的中位线，
DE//A1B,又DE?面ADC1,A1B?面ADC1,?A1B//面AC1D.
(2)在正三棱锥ABC?A1B1C1中，D是BC的中点，则AD?面BCC1B1,从而AD?MC,又CM?AC1,则CM和面ADC1内的两条相交直线AD,AC1都垂直，
?MC?面ADC1,于是CM?DC1,则?CDC1与?MCB互余，则tan?CDC1与
tan?MCB互为倒数，易得AA1?22,连结B1D,?S?B1C1D?22,?AD?面B1C1D,
?三棱锥B1-ADC1的体积为
26. 3(3)过D作DH?AC,垂足为H,过H在面ACC1A1内作HG?AC1，（理）垂足为G,
易证?DGH是二面角C-AC1-D的平面角，在ADC1中，DH?36,GH?,在22?DGH中，tan?DGH?2 2方法2：以D为坐标原点，DC,DA为x,y轴，建立空间直角坐标系，设BB1?h，则D(0,0,0),B(?1,0,0),C(1,0,0),A(0,3,0),B1(?1,0,h)，C1(1,0,h)， A1(0,3,h)，
???hM(?1,0,)，A1B?(?1,?3,?h)，AD?(0,?3,0),C1A?(?1,3,?h)，设平面AC1D4的法向量n?(x,y,z)，则
?????AD?n?0????CA?n?0?1?n?(h,0,?1)，?A1B?n?A1B//面AC1D.
??? 3
??h?h2?0，(2)CM?(?2,0,),AC1?(1,?3,h)，CM?AC1,CM?AC1??2?44??h?22.平面AC1D的法向量为n?(22,0,?1)，B1A?(1,3,?22)点
??B1(?1,0,22)到平面AC1D的距离d?B1A?n???n42，?S?ADC?3?33. 21334226. ?VB1?ADC1????3233(3)（理）由(2)知平面AC1D的法向量为n?(22,0,?1)，取AC的中点为
??1333F(,,0),所以面ACC1的法向量为n1?FB?(?,,0),设二面角C-AC1-D的平2322?面角为?，则cos??6. 320 提示： （1）由C2:x2?4y知F1(0,1),设点A(x0,y0)(x0?0), 因点A在抛物线C2上,故x02?4y0 …① 又AF1?55226,则y0?1?……②, 由①，②解得x0??,y0?. 3333椭圆C1的两个焦点F1(0,1),F2(0,?1),点A在椭圆上,由椭圆定义得
2a?AF1?AF2=4
y2x2??1. ∴a?2,又c?1,∴b?a?c?3, ∴椭圆C1的方程为43222（2）设P点坐标为(x,y),圆心C(?3,0),则CM??CN,CM?CN??CM??3,
2PM?PN?(PC?CM)?(PC?CN)?PC?(CM?CN)?PC?CM?CN
2?PC?3?(x?3)2?y2?3?x2?23x?y2,
4y2x2??1 ∴y2?4?x2且?3?x?3 ∵
3431212∴PM?PN??x?23x?4??(x?33)?13
33当x?3时, PM?PN取得最大值9.
2 4
1111121.解: （1）当n?3时,
S??a??, nann?1Sn?Sn?1Sn?1?Sn
化简得S2n?Sn?1Sn?1(n?3), 又由a1?a2?1得S2?2,
112?1?a,解得a3?2, 3∴S21?1,S2?2,S3?4，也满足Sn?Sn?1Sn?1,而Sn恒为正值, ∴数列?Sn?是等比数列. （2）?S?1n?的首项为1，公比为2，Sn?2n.当n?2时,aSn?2n?n?Sn?1?2,
∴a?1,n?1n???2n?2,n?2 当k?51,52,?,100时，b?3k?2k . k?1,2,?50时 时，b199?2kk?b101?k?2.
若1?n?50,n?N?，则由题设得
199?2nTb197195??2199?2nn?1?b2???bn?2?2??2199?23，
若51?n?100,n?N?,
则T??b2199?299n?3?299?2101???22n?3n?T50?b51?b52? 2199?2100?22n?1?3，
??2199?2199?2n,1?n?50, ?T?3n???2199?2100?22n?1
??3,51?n?100.22 提示：（1）∵f(x)?x?1?lnx(x?0) ∴f/(x)?1?1x?x?1x， 当x?(0,1)时，f/(x)?0，f(x)递减，当x?(1,??)时，f/(x)?0，f(x)递增， 5
∴f(x)的最小值为f(1)?0. （2）由⑴知当x?0时恒有f(x)?0,即x?1?lnx, ∴ex?1?x,从而有ex?x?1,当且仅当x?0时取等号,
112312分别令x?1,,,?,1可得 n1113141n?1, e?1?1?2,e??1?,e3??1?,?,en??1?2233nn1相乘可得e1111?????23n34n?1?2??????n?1.
23n12x?elnx(x?0),则 2(3)令F(x)?h(x)?g(x)?F/(x)?x?e(x?e)(x?e), ?xx当x?(0,e)时,F/(x)?0,F(x)递减, 当x?(e,??)时,F/(x)?0,F(x)递增, ∴当x?e时F(x)取得最小值0,
ee处有公共点(e,).
2e设函数h(x)与g(x)存在“分界线”,方程为y??k(x?e),应有
2eh(x)?kx??ke在x?R时恒成立,即x2?2kx?e?2ke?0在x?R时恒成立,
2则h(x)与g(x)的图象在x?必须??4k2?4(2ke?e)?4(k?e)2?0,得k? 下证g(x)?e.
eeex?在x?0时恒成立,记G(x)?elnx?ex?,
22则G(x)?/ee?ex/?e?,当x?(0,e)时,G(x)?0,G(x)递增, xx/当x?(e,??)时,G(x)?0,G(x)递减, ∴当x?即g(x)?e时G(x)取得最大值0,
eex?在x?0时恒成立,
2ee,b??.
26
综上知, 函数h(x)与g(x)存在“分界线”,其中k?
∴f(x)的最小值为f(1)?0. （2）由⑴知当x?0时恒有f(x)?0,即x?1?lnx, ∴ex?1?x,从而有ex?x?1,当且仅当x?0时取等号,
112312分别令x?1,,,?,1可得 n1113141n?1, e?1?1?2,e??1?,e3??1?,?,en??1?2233nn1相乘可得e1111?????23n34n?1?2??????n?1.
23n12x?elnx(x?0),则 2(3)令F(x)?h(x)?g(x)?F/(x)?x?e(x?e)(x?e), ?xx当x?(0,e)时,F/(x)?0,F(x)递减, 当x?(e,??)时,F/(x)?0,F(x)递增, ∴当x?e时F(x)取得最小值0,
ee处有公共点(e,).
2e设函数h(x)与g(x)存在“分界线”,方程为y??k(x?e),应有
2eh(x)?kx??ke在x?R时恒成立,即x2?2kx?e?2ke?0在x?R时恒成立,
2则h(x)与g(x)的图象在x?必须??4k2?4(2ke?e)?4(k?e)2?0,得k? 下证g(x)?e.
eeex?在x?0时恒成立,记G(x)?elnx?ex?,
22则G(x)?/ee?ex/?e?,当x?(0,e)时,G(x)?0,G(x)递增, xx/当x?(e,??)时,G(x)?0,G(x)递减, ∴当x?即g(x)?e时G(x)取得最大值0,
eex?在x?0时恒成立,
2ee,b??.
26
综上知, 函数h(x)与g(x)存在“分界线”,其中k?
