第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
第1课时 函数及其表示
基础过关题
一、映射
1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .
2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的 叫做象， 叫做原象。 二、函数
1．定义：设A、B是 ，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的 ，记作 .
2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。
3．函数的表示法有 、 、 。
典型例题
例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.
xA. y?1,y? B. y?x?1?x?1,y?x2?1 xC. y?x,y?3x3 D. y?|x|,y?(x)2
解：C
变式训练1：下列函数中，与函数y=x相同的函数是 （ ）
x22x
A.y= B.y=(x) C.y=lg10D.y=2log2x
x解：C
例2.给出下列两个条件：（1）f(x+1)=x+2x;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.
解：（1）令t=x+1,∴t≥1，x=（t-1）.
则f(t)=(t-1)+2(t-1)=t-1,即f(x)=x-1,x∈［1，+∞).
2
（2）设f(x)=ax+bx+c (a≠0),
2
∴f(x+2)=a(x+2)+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2. ∴??a?1?4a?42
，∴?，又f(0)=3?c=3,∴f(x)=x-x+3.
?b??1?4a?2b?22x2
2
2
2
变式训练2：（1）已知f（?1）=lgx，求f（x）；
（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）； （3）已知f（x）满足2f（x）+f（
1）=3x，求f（x）. x解：(1)令
22+1=t，则x=，
t?1x22，∴f（x）=lg,x∈(1,+∞). t?1x?1∴f（t）=lg
（2）设f（x）=ax+b，则
3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7. （3）2f（x）+f（
1）=3x， ① x113，得2f（）+f（x）= ② xxx31，∴f（x）=2x-. xx把①中的x换成
①32-②得3f（x）=6x-
例3. 等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线
ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.
解：作BH⊥AD，H为垂足，CG⊥AD，G为垂足， 依题意，则有AH=
a3，AG=a.
22（1）当M位于点H的左侧时，N∈AB，
由于AM=x，∠BAD=45°.∴MN=x.∴y=S△AMN=x（0≤x≤（2）当M位于HG之间时，由于AM=x，∴MN=
122
a）. 2aa，BN=x-. 22a1aa2a31∴y=S AMNB =·［x+（x-）］=ax-(?x?a).
2228222（3）当M位于点G的右侧时，由于AM=x，MN=MD=2a-x. ∴y=S ABCD-S△MDN=·(2a?a)?(2a?x)?21a22123a2115a23?(4a2?4ax?x2)??x2?2ax?(a?x?2a). 42242?12?x?2?1a2综上：y=??ax?8?2?15a22??x?2ax?4??2?a?x??0,??2??a3?x??,a?. ?22??3?x??a,2a??2???x2,??1,变式训练3：已知函数f(x)=?1??,?xx?0,x?0,x?0.
（1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f?f(?1)?的值.
解：（1）分别作出f(x)在x＞0,x=0,x＜0段上的图象，如图所示，作法略.
（2）f(1)=1=1,f(-1)=-
2
1?1,f?f(?1)?=f(1)=1. ?1归纳总结
1．了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性．
2．函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法．使用换元法时，要注意研究定义域的变化． 3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．
第2课时 函数的定义域和值域
基础过关题
一、定义域：
1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：
① 已知函数的解析式，就是 .
② 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域.
③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域：
1．函数y＝f (x)中，与自变量x的值 的集合.
2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法） 例如：① 形如y＝
12?x22
，可采用 法；② y＝2x?1(x??2)，可采用 法或
3x?23法；③ y＝a[f (x)]＋bf (x)＋c，可采用 法；④ y＝x－1?x，可采用 法；⑤ y＝x－1?x2，可采用 法；⑥ y＝sinx可采用 法等.
2?cosx典型例题
例1. 求下列函数的定义域： （1）y=
(x?1)0|x|?x; (2)y=
13x?32?5?x2; (3)y=x?1·x?1.
解：（1）由题意得?即??x??1?x?1?0, ,化简得??|x|?x?|x|?x?0?x??1.故函数的定义域为{x|x＜0且x≠-1}. x?0???x2?3?0?x??3,. （2）由题意可得?解得?2?5?x?0??5?x?5?故函数的定义域为{x|-5≤x≤5且x≠±3}. （3）要使函数有意义，必须有
?x??1?x?1?0即,∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）. ,??x?1x?1?0??变式训练1：求下列函数的定义域：
x20
25?x2+lgcosx; （1）y=+(x-1) ; (2)y=+(5x-4); (3)y=
lg(4x?3)12?x?x20
lg(2?x)?2?x?0?x?2?2解：（1）由?12?x?x?0,得???3?x?4,所以-3＜x＜2且x≠1.
?x?1?x?1?0??故所求函数的定义域为（-3，1）∪(1,2).
3??x??4?4x?3?0?1144?31??（2）由?4x?3?1,得??x??,∴函数的定义域为??,???(?,)?(,??).
2255?42???5x?4?0??4?x?5???5?x?5?25?x2?0?, （3）由?,得???cosx?02k???x?2k??(k?Z)??22?借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为???5,??3?????3????(?,)??,5?. 2?22?2?例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f(
13131); x(3)y=f(x?)?f(x?); (4)y=f(x+a)+f(x-a). 解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤,y=f(3x)的定义域为［0, ］. （2）仿（1）解得定义域为［1，+∞).
（3）由条件，y的定义域是f(x?)与(x?)定义域的交集.
12??10?x??1???x??12?333列出不等式组?????x?, ?33?0?x?1?1?1?x?4??33??313131313?
故y=f(x?)?f(x?)的定义域为?,?. ?3333
?
?
1112
（４）由条件得?①当?②当??0?x?a?1??a?x?1?a??,讨论：
?0?x?a?1?a?x?1?a?a?1?a,1即0≤a≤时，定义域为［a,1-a］;
2?1?a?1?a,?a??a,1即-≤a≤0时，定义域为［-a,1+a］.
2??a?1?a,综上所述：当0≤a≤时，定义域为［a，1-a］；当-≤a≤0时，定义域为［-a，1+a］. 变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)2f(x-a)（0＜a＜）的定义域是 （ ） A.? B.［a，1-a］ C.［-a，1+a］ D.［0，1］ 解：B
例3. 求下列函数的值域：
（1）y=
x2?xex?11?2x (2)y=x-; (3)y=. ;x2?x?1ex?1121212解：（1）方法一 （配方法） ∵y=1-∴0＜
1133,而x2?x?1?(x?)2??,
x?x?124422141?1??,∴??y?1.∴值域为??,1?.
x?x?133?3?方法二 （判别式法）
x2?x,得(y-1)x2?(1?y)x?y?0. 由y=2x?x?1∵y=1时,x??,?y?1.又∵x?R，∴必须?=(1-y)-4y(y-1)≥0.
?∴??y?1.∵y?1,∴函数的值域为??,1?.?132
1?3?
（2）方法一 （单调性法）
1?1??定义域??x|x??，函数y=x,y=-1?2x均在???,?上递增，
?2??2?故y≤?1?2??.
1?∴函数的值域为????,?.
?2?121212方法二 （换元法）
1?t2112
.∴y=-（t+1）+1≤（t≥0）, 令1?2x=t,则t≥0，且x=222∴y∈（-∞，］.
ex?11?yx1?yx
（3）由y=x得,e=＞0,解得-1＜y＜1. .∵e＞0,即
e?11?y1?y12∴函数的值域为{y|-1＜y＜1}. 变式训练3：求下列函数的值域： （1）y=
1?x; (2)y=|x|1?x2. 2x?5解：（1）(分离常数法)y=-?121277，∵≠0,
2(2x?5)2(2x?5)12∴y≠-.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-}.
(2)方法一 (换元法)
∵1-x≥0,令x=sin?,则有y=|sin?cos?|=|sin2?|, 故函数值域为［0，］.
方法二 y=|x|21?x??x?x??(x?)?,
242222
1212121411?∴0≤y≤,即函数的值域为??0,?.
2?2?例4．若函数f（x）=x-x+a的定义域和值域均为［1，b］（b＞1），求a、b的值. 解：∵f（x）=(x-1)+a-.
∴其对称轴为x=1，即［1，b］为f（x）的单调递增区间. ∴f（x）min=f（1）=a-=1 ① f（x）max=f（b）=b-b+a=b ②
3??a?,由①②解得?2
?b?3.?122
2
121212122
变式训练4：已知函数f(x)=x-4ax+2a+6 (x∈R).
（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a的值；
（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.
解： (1）∵函数的值域为［0，+∞),
∴Δ=16a-4(2a+6)=0?2a-a-3=0∴a=-1或a=.
（2）对一切x∈R，函数值均非负,∴Δ=8(2a-a-3)≤0?-1≤a≤,∴a+3＞0,
∴f(a)=2-a(a+3)=-a-3a+2=-(a+)+
2
2
2
2
2
3232322
173?(a???1,?). ?42??3193?∵二次函数f(a)在?上单调递减，∴f（a），f（a）max=f（-1）=4， ?1,min=f()=-???2?24∴f(a)的值域为???19?,4?. 4??总结归纳
1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义
的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义. 2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.
第3课时 函数的单调性
基础过关题
一、单调性
1．定义：如果函数y＝f (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、 若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为 . 2．判断单调性的方法： (1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ . (2) 导数法，若函数y＝f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f (x)在这个区间上是增函数；②若 ，则f (x)在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论 1．若f (x), g(x)均为增(减)函数，则f (x)＋g(x) 函数； 2．若f (x)为增(减)函数，则－f (x)为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性； 4．复合函数y＝f [g(x)]是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f [g(x)]为 ，若f (x), g(x)的单调性相反，则f [g(x)]为 . 5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 . 典型例题 例1. 已知函数f(x)=a+ x x?2 (a＞1)，证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数. x?1证明 方法一 任取x1,x2∈(-1,+∞), 不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0, a＞1且a＞0, ∴a?a?a(a?1)?0，又∵x1+1＞0,x2+1＞0, x2?x1x1 x2x1x1x2?x1∴ x2?2x1?2(x2?2)(x1?1)?(x1?2)(x2?1)3(x2?x1)＞0, ???x2?1x1?1(x1?1)(x2?1)(x1?1)(x2?1)x2x1于是f(x2)-f(x1)=a?a+ x2?2x1?2＞0, ?x2?1x1?1故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 方法二 f(x)=a+1-x 3(a＞1), x?1x 求导数得f?(x)=alna+ 33x ,∵a＞1,∴当x＞-1时，alna＞0,＞0, (x?1)2(x?1)2x f?(x)＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 方法三 ∵a＞1,∴y=a为增函数， 又y= x x?2?3?1?，在（-1，+∞）上也是增函数. x?1x?1x?2在（-1，+∞）上为增函数. x?1∴y=a+ 变式训练1：讨论函数f（x）=x+ a（a＞0）的单调性. x解：方法一 显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性， 设x1＞x2＞0,则 f(x1)-f(x2) =（x1+ aaa）-（x2+）=(x1-x2)2（1-）. x1x2x2x1a＞1, x1x2∴当0＜x2＜x1≤a时， 则f（x1）-f（x2）＜0，即f(x1)＜f(x2),故f（x）在（0，a］上是减函数. 当x1＞x2≥a时，0＜ a＜1，则f（x1）-f（x2）＞0,即f(x1)＞f(x2), x1x2故f（x）在［a，+∞）上是增函数.∵f（x）是奇函数， ∴f（x）分别在（-∞，-a］、［a，+∞）上为增函数； f（x）分别在［-a，0）、（0，a］上为减函数. 方法二 由f?(x)=1-a=0可得x=±a x2当x＞a或x＜-a时，f?(x)＞0∴f（x）分别在（a，+∞）、（-∞，-a］上是增函数. 同理0＜x＜a或-a＜x＜0时，f?(x)＜0 即f（x）分别在（0，a］、［-a，0）上是减函数. 例2. 判断函数f(x)=x?1在定义域上的单调性. 2解： 函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1}, 则f(x)= x?1, 2可分解成两个简单函数. f(x)=u(x),u(x) =x-1的形式.当x≥1时，u(x)为增函数，u(x)为增函数. ∴f（x）=x?1在［1，+∞)上为增函数.当x≤-1时，u（x)为减函数，u(x)为减函数， 22 ∴f(x)=x?1在（-∞,-1］上为减函数. 2变式训练2：求函数y=log（4x-x）的单调区间. 1 2 2 解： 由4x-x＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x，则y=logt. 12 22 ∵t=4x-x=-（x-2）+4，∴t=4x-x的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］. 又y=logt在（0，+∞）上是减函数， 1 2 222 ∴函数y=log（4x-x）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4). 1 2 2 例3. 求下列函数的最值与值域： （1）y=4-3?2x?x; (2)y=x+ 24;(3)y=x2?1?(2?x)2?4. x2 2 解：（1）由3+2x-x≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x=4-(x-1). ∴t∈［0，4］，t∈［0，2］， 从而，当x=1时，ymin=2，当x=-1或x=3时，ymax=4.故值域为［2，4］. (2)方法一 函数y=x+ 4是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论 x2 x＞0时,即可知x＜0时的最值. ∴当x＞0时,y=x+ 44≥2x?=4，等号当且仅当x=2时取得.当x＜0时，y≤-4, xx等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值. 方法二 任取x1,x2,且x1＜x2, 因为f(x1)-f(x2)=x1+ 4(x?x)(xx?4)4-(x2+)=1212, x1x2x2x1所以当x≤-2或x≥2时，f(x)递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减. 故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4, 所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值. （3）将函数式变形为y=(x?0)?(0?1)?(x?2)?(0?2), 2222可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点. ymin=|AB|=(0?2)?(1?2)?13，可求得x=时，ymin=13. 2223显然无最大值.故值域为［13，+∞）. 变式训练3：在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每 2 月最多生产100台报警系统装置，生产x（x＞0）台的收入函数为R（x）=3 000x-20x (单位：元)，其成本函数为C（x）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差. （1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）； （2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？ 22 解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=（3 000x-20x）-（500x+4 000）=-20x+2 500x-4 000 （x∈［1，100］且x∈N,） 22 MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）+2 500（x+1）-4 000-（-20x+2 500x-4 000） =2 480-40x （x∈［1，100］且x∈N）. （2）P（x）=-20(x-1252 )+74 125，当x=62或63时，P(x)max=74 120（元）. 2因为MP（x）=2 480-40x是减函数，所以当x=1时，MP(x)max=2 440(元）. 因此，利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值. 例4．（20092广西河池模拟）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f( x1)=f(x1)-f(x2)，且x2当x＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值； （2）判断f(x）的单调性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. 解：（1）令x1=x2＞0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0. （2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1＞x2,则 x1x2x1＞1,由于当x＞1时，f(x)＜0, x2所以f()＜0,即f(x1)-f(x2)＜0,因此f(x1)＜f(x2), 所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. （3）由f( 9x1)=f(x1)-f(x2)得f()=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2. 3x2由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数， 由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x＞9或x＜-9.因此不等式的解集为{x|x＞9或x＜-9}. 变式训练4：函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R上的增函数； 2 （2）若f(4)=5,解不等式f(3m-m-2)＜3. 解：（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2, 则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0. ∴f（x2）＞f(x1). 即f(x)是R上的增函数. （2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5， ∴f（2）=3， 2 ∴原不等式可化为f(3m-m-2)＜f(2), 2 ∵f(x)是R上的增函数，∴3m-m-2＜2, 解得-1＜m＜,故解集为（-1,）. 4343归纳总结 1．证明一个函数在区间D上是增(减)函数的方法有：(1) 定义法.其过程是：作差——变形——判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2) 求导法.其过程是：求导——判断导函数的符号——下结论. 2．确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内. 3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围. 第4课时 函数的奇偶性 基础过关题 1．奇偶性： ① 定义：如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有 ，则称f (x)为奇函数；若 ，则称f (x)为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x) . ② 简单性质： 1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2） 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论： ①已知条件中如果出现f(x?a)??f(x)、或f(x?a)f(x)?m（a、m均为非零常数，a?0），都可以得出f(x)的周期为 ； ②y?f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)中心对称或y?f(x)的图象关于直线 x?a,x?b轴对称，均可以得到f(x)周期 典型例题 例1. 判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)=x?1?1?x; 22(2)f(x)=log2(x+x?1) (x∈R); 2(3)f(x)=lg|x-2|. 22 解：（1）∵x-1≥0且1-x≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}. ∵f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1), 故f(x)既是奇函数又是偶函数. （2）方法一 易知f(x)的定义域为R， 又∵f(-x)=log2［-x+(?x)?1］=log2 21x?x?12=-log2(x+x?1)=-f(x), 2∴f(x)是奇函数. 方法二 易知f(x)的定义域为R， 又∵f（-x）+f（x）=log2［-x+(?x)?1］+log2(x+x?1)=log21=0,即f(-x)=-f(x), 22∴f(x)为奇函数. （3）由|x-2|＞0，得x≠2. ∴f（x）的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数. 变式训练1：判断下列各函数的奇偶性： （1）f（x）=（x-2） 2?x； 2?xlg(1?x2)（2）f（x）=2； |x?2|?2?x?2（3）f（x）=??0??x?2?(x??1),(|x|?1), (x?1）.解：（1）由 2?x≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数. 2?x?1?x2?0，（2）由?2得定义域为（-1，0）∪（0，1）. |x?2|?2?0.?lg(1?x2)lg(1?x2)这时f（x）=. ???(x2?2)?2x2lg?1?(?x)2?lg(1?x2)∵f（-x）=-???f(x),∴f（x）为偶函数. (?x)2x2（3）x＜-1时，f（x）=x+2，-x＞1,∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）. x＞1时，f（x）=-x+2，-x＜-1，f(-x)=x+2=f(x). -1≤x≤1时，f（x）=0，-1≤-x≤1,f（-x）=0=f（x）. ∴对定义域内的每个x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函数. 例2 已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y). （1）求证：f(x)是奇函数； （2）如果x∈R，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值. （1）证明： ∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称. ∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. + （2）解：方法一 设x,y∈R，∵f（x+y）=f（x）+f（y）， + ∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R，f（x）＜0, ∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x). ∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0， ∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值. ∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3. ∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 方法二 设x1＜x2,且x1,x2∈R. 则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). ∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减. ∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-， ∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3. ∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 变式训练2：已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式. 解：∵f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0. 当x＞0时，-x＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f（x）=xlg（2+x）， 即f（x）=-xlg(2+x) （x＞0）.∴f(x)=?即f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R). ??xlg(2?x)??xlg(2?x)(x?0), (x?0).1212+ 12例3 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x). （1）求证：f(x)是周期函数； （2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2 009］上的所有x的个数. （1）证明： ∵f（x+2）=-f（x）， ∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x）， ∴f（x）是以4为周期的周期函数. （2）解： 当0≤x≤1时，f(x)=x, 设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f（-x）=（-x）=-x. ∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）, ∴-f（x）=-x，即f(x)= x. 故f(x)= x(-1≤x≤1) 又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1, ∴f(x-2)=(x-2), 又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x）， ∴-f（x）=（x-2）， ∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）. ?1x??2∴f（x）=???1(x?2)??2121212121212121212121212(?1?x?1) (1?x?3)由f(x)=-,解得x=-1. ∵f（x）是以4为周期的周期函数.故f(x)=-的所有x=4n-1 (n∈Z). 令0≤4n-1≤2 009,则≤n≤ 141005, 212又∵n∈Z，∴1≤n≤502 （n∈Z）, ∴在［0，2 009］上共有502个x使f(x)=-. 变式训练3：已知函数f(x)=x+|x-a|+1,a∈R. （1）试判断f(x)的奇偶性； （2）若-≤a≤，求f(x)的最小值. 解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)+|-x|+1=f(x), 22 此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a+1,f(-a)=a+2|a|+1, 2 2 121212f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数. （2）当x≤a时,f(x)=x-x+a+1=(x-)+a+ 122 122 3, 4∵a≤,故函数f(x)在（-∞，a］上单调递减， 从而函数f(x)在（-∞，a］上的最小值为f(a)=a+1. 当x≥a时，函数f(x)=x+x-a+1=(x+)-a+, ∵a≥-，故函数f(x)在［a，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a，+∞)上的 最小值为f(a)=a+1. 综上得，当-≤a≤时，函数f(x)的最小值为a+1. 12122 2 2 2 122 3412归纳总结 1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a与－a，验证f(a)±f(－a)≠0. 2．对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究y轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个定义域上的性质. 3．函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解. 第5课时 指数函数 基础过关题 1．根式： n(1) 定义：若x?a，则x称为a的n次方根 ① 当n为奇数时，a的n次方根记作__________； ② 当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作________(a>0). (2) 性质： nn① (a)?a； ② 当n为奇数时，nan?a； a(a?0)③ 当n为偶数时，nan?_______＝ ? ???a(a?0)2．指数： (1) 规定： ① a0＝ (a≠0)； ② a-p＝ ； 0, m③ a? n a m ( a ? . mn(2) 运算性质： rsr?sa ?① a?a? a ( 0 , (a>0, r、s?Q) rsr?s(a, (a>0, r、s?Q) ② (a)? a ? 0 rrra ?b(a>0, r?0,r、s?Q) ③ (a?b)? a ?b ( 0 , 注：上述性质对r、s?R均适用. 3．指数函数： ① 定义：函数 称为指数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ；3) 当________时函数为减函数，当_______时为增函数. ② 函数图像： 1) 过点 ，图象在 ；2) 指数函数以 为渐近线(当0?a?1时，图象 x?x向 无限接近x轴，当a?1时，图象向 无限接近x轴)；3)函数y?a与y?a的图象关 于 对称. ③ 函数值的变化特征： 0?a?1 a?1 ① x?0时 ② x?0时 ③ x?0时 ① x?0时 ② x?0时 ③ x?0时 典型例题 371例1. 已知a=,b=9.求： （1）a2a?3?93a?1?b?1a?a; （2）. (ab)?1?831571?6245?(??)32解：（1）原式=a1971?23.a31??23÷［a 81(?)?322a151?32］= a=a. ?12∵a=，∴原式=3. （2）方法一 化去负指数后解. 11a?b?a?bab?ab?a?b.∵a=1,b?9,∴a+b=82. ?1199(ab)?1abab?1?1方法二 利用运算性质解. a?1?b?1a?1b?111?????b?a. (ab)?1a?1b?1a?1b?1b?1a?1∵a=,b?9,∴a+b= 1982. 9 变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）: 2（1） (a3?b?1)2?a2?b36?111a?b5; 211?513?2?3232?1（2）a?b?(?3ab)?(4a?b). 61111解：（1）原式= a3b2?a2b3ab52?16?1656?a13111???326?b115??236?a0?b0?1. 161332b)??ab?(ab)??a?b???（2）原式=-ab?(2a·?3?3?3254??54?12?32541ab3x ??5ab. 4ab2例2. 函数f(x)=x-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(b)与f(c)的大小关系是 （ ） xxxx A.f(b)≤f(c) B.f(b)≥f(c) xx C.f(b)＞f(c) D.大小关系随x的不同而不同 解：A 变式训练2：已知实数a、b满足等式()?()，下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a ab2x 1213＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解：B 例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间： （1）f(x)=3 x2?5x?42 ;（2）g(x)=-()?4()?5. xx1412解：（1）依题意x-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1, ∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）. 令u=x2?5x?4?(x?)2?,∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞）， ∴u≥0，即x?5x?4≥0，而f(x)=3 25294x2?5x?4≥3=1, 0 ∴函数f(x)的值域是［1，+∞）. ∵u=(x?)2?529,∴当x∈（-∞，1］时，u是减函数， 4当x∈［4，+∞）时，u是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知， f（x）=3 x2?5x?4在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数. 故f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］. （2）由g(x)=-()?4()?5??()?4()?5, xx2xx14121212∴函数的定义域为R，令t=() (t＞0),∴g(t)=-t+4t+5=-(t-2)+9, ∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)+9≤9,等号成立的条件是t=2, 即g(x)≤9,等号成立的条件是()=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］. x12x22 2 12由g(t)=-(t-2)+9 (t＞0),而t=()是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减 x2 12区间，求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间. ∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减， 由0＜t=()≤2,可得x≥-1,由t=()≥2,可得x≤-1. xx1212∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增， 故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）. 变式训练3：求下列函数的单调递增区间：（1）y=()解：（1）函数的定义域为R. 令u=6+x-2x,则y=(). u126?x?2x2;(2)y=2 x2?x?6. 2 12∵二次函数u=6+x-2x的对称轴为x=, 在区间［，+∞）上，u=6+x-2x是减函数， 又函数y=()是减函数， ∴函数y=()故y=()126?x?2x22 14142 12u 126?x?2x2在［，+∞）上是增函数. 1414单调递增区间为［，+∞）. u （2）令u=x-x-6,则y=2, ∵二次函数u=x-x-6的对称轴是x=, 在区间［，+∞）上u=x-x-6是增函数. 又函数y=2为增函数， ∴函数y=2故函数y=2 x2?x?62 2 12122 u 在区间［，+∞）上是增函数. 的单调递增区间是［，+∞）. exa?是R上的偶函数. aex12x2?x?612例4．设a＞0,f(x)= （1）求a的值； （2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数. e?xaexa（1）解： ∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），∴??x??x, aeae∴（a-)(e?x1a1)=0对一切x均成立， ex∴a- 1=0，而a＞0,∴a=1. a（2）证明 在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2, 则f(x1)-f(x2)=e + x111-ex-x xee212=(e?e) ( x2x11ex1?x2x1?1). x2x2x1∵x1＜x2,∴e?e,有e?e?0. ∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴e1ex?x12x1?x2＞1, -1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2), 故f(x)在（0,+∞）上是增函数. 2x 变式训练4：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=x. 4?1 （1）求f（x)在［-1，1］上的解析式； （2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数. （1）解： 当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1). ∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-2?x2x??. 4?x?14x?1由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1), ?2x?4x?1?x?2得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有f（x）=??x?4?1?0??2x(2)证明 当x∈(0,1)时，f(x)=x. 4?1x?(0,1)x?(?1,0) x???1,0,1?设0＜x1＜x2＜1, 2x2x(2x?2x)(2x?x?1)则f(x1)-f(x2)=x??, 4?14x?1(4x?1)(4x?1)1221121212∵0＜x1＜x2＜1,∴22＞0，2 x2?x1x1?x2-1＞0,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2), 故f(x)在（0，1）上单调递减. 归纳总结 1． bN＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的三种不同表示形式， 因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中， 根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底. 2．处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解. 3．含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类. 4．含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的 函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合. 第6课时 对数函数 基础过关题 1．对数： (1) 定义：如果ab?N(a?0,且a?1)，那么称 为 ，记作 ，其中a称为对数的底，N称为真数. ① 以10为底的对数称为常用对数，log10N记作___________． ② 以无理数e(e?2.71828?)为底的对数称为自然对数，logeN记作_________． (2) 基本性质： ① 真数N为 (负数和零无对数)；② loga1? ；③ logaa? ； 01④ 对数恒等式：alogaN? ． N(3) 运算性质： ① loga(MN)＝___________________________； ② logaM＝____________________________； Nn③ logaM＝ (n∈R). ④ 换底公式：logaN＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) nnlog?mbab⑤ a .m 2．对数函数： ① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； y?a(a?0,且a?1)互为反函数. 4) 函数y?logax与函数 x② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当0?a?1时，图象向上无限接近y轴；当a?1时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝logax与 的图象关于x轴对称． ③ 函数值的变化特征： 0?a?1 a?1 ① x?1时 ① x?1时 ② x?1时 ② x?1时 ③ 0?x?1时 ③ 0?x?1时 典型例题 例1 计算：（1）log2 2?3(2?3) （2）2(lg2)+lg22lg5+(lg2)?lg2?1; 2（3）lg 12324-lg8+lg245. 493解：（1）方法一 利用对数定义求值 设log2?(2?3)=x,则(2+3)=2-3=3x 12?3=（2+3）,∴x=-1. -1 方法二 利用对数的运算性质求解 log2?3(2?3)=log2?3 12?3=log2?3(2+3)=-1. 2-1 （2）原式=lg2（2lg2+lg5）+(lg2)?2lg2?1=lg2(lg2+lg5)+|lg2-1| =lg2+(1-lg2)=1. 1141（3）原式=（lg32-lg49）-lg82+lg245 232= (5lg2-2lg7)-3lg2+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(235)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2 17+log212-log242-1; 2482 1252433212121212121212（2）(lg2)+lg22lg50+lg25; （3）(log32+log92)2(log43+log83). 解：(1)原式=log2 748+log212-log242-log22=log2 7?1248?42?2?log2122?log22?323??. 2（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( lg2lg2lg3lg33lg25lg35?)·(?)?·?. lg32lg32lg23lg22lg36lg24例2 比较下列各组数的大小. （1）log32与log56;（2）log1.10.7与log1.20.7; 35（3）已知logb＜loga＜logc,比较2,2,2的大小关系. 121212bac 解：（1）∵log32＜log31=0,而log56＞log51=0,∴log32＜log56. 3535(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞log0.71.1?log0.71.2, ∴ 1log0.71.1?1log0.71.2, 即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7. 方法二 作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象. 如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7. (3)∵y=log1x为减函数，且logb?loga?logc, 2121212 函数单元测试题答案 一、选择题 1. D 2.D 3.C 4.（B 5.D 6.A 7. C 8. B 9. B 10. C 11. A 12.C 二、填空题 13. -3 14. 124 15.（2，2.5） 16. ①③④ 三、解答题 17．（1）证明 ∵x=1是f(x)的图象的一条对称轴， ∴f（x+2）=f(-x).又∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x)=-f(x+2)=-f(-x),即f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数. （2）解 ∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f［（x+2）+2］ =-f（x+2）=f（x），∴T=4.若x∈［3，5］，则(x-4)∈［-1，1］， ∴f（x-4）=（x-4）3.又∵f(x-4)=f(x), ∴f(x)=(x-4)3,x∈［3，5］.若x∈(5，7］，则(x-4)∈(1，3］，f(x-4)=f(x).由x=1是f(x)的图象的一条对称轴可知f［2-(x-4)］=f(x-4) 且2-(x-4)=(6-x)∈［-1，1］，故f(x)=f(x-4)=f(6-x)=(6-x)3=-(x-6)3. 综上可知f(x)=??(x?4)3,3?x?5,??(x?6)3,5?x?7. 18.解 （1）过C点作CE⊥AB于E， 在△BEC中，CE=52?32=4，∴sinB=45. 由题意，当x∈（0，5］时，过P点作PF⊥AB于F， ∴PF=xsinB=4x，∴S=1×10×4525x=4x, 当x∈(5，9］时，∴S=12×10×4=20. 当x∈（9，14］时，AP=14-x，PF=AP·sinA= 4(14?x)5， ?4x14∴S=×10×(14-x) ×=56-4x.综上可知,函数S=f(x)=??2025?56?4x?x??0,5?x??5,9?. x??9,14?(2)由(1)知,当x∈(0,5］时,f(x)=4x为增函数,所以,当x=5时,取得最大值20. 当x∈(5,9］时,f(x)=20,最大值为20.当x∈(9,14］时,f(x)=56-4x为减函数,无最大值.综上可知:当P点在CD上时,△ABP的面积S最大为20. 19.解（1）由题意得 （100-x）·3 000·（1+2x%）≥100×3 000,即x2-50x≤0,解得0≤x≤50. 又∵x＞0,∴0＜x≤50. (2)设这100万农民的人均年收入为y元, 则y=(100?x)?3000?(1?2x%)?3000ax?60x2?3000(a?1100?)x?300000100 =- 610x2?30(a?1)x?3000.∴若25（a+1）≤50,即0＜a≤1时，当x=25（a+1）时， ymax=?6?252(a?1)210?30(a?1)?25(a?1)?3000?375a2?750a?3375. 若a＞1时，函数在?0,50?上是增函数. ∴当x=50时， ymax=?610×502+30(a+1)×50+3 000=-1 500+1 500a+1 500+3 000=1 500a+3 000. 答 若0＜a≤1,当x=25(a+1)时,使100万农民人均年收入最大. 若a＞1,当x=50时,使100万农民的人均年收入最大. 20.解 （1）f(x)=lg 1?ax1?2x(-b＜x＜b)是奇函数等价于： 对任意x∈(-b,b)都有 ??f(?x)??f(x)，①,??ax1?2?1?ax?1?2x?0，②①式即为lg11?2x?lgx1?ax，由此可得 1?ax1?1?2x?2x1?ax,也即a2x2=4x2,此式对任意x∈(-b,b)都成立相当于a2=4, 因为a≠2,所以a=-2， 代入②式，得 1?2x1?2x＞0,即-12＜x＜12,此式对任意x∈(-b,b)都成立相当于 -1≤-b＜b≤122, 所以b的取值范围是（0, 12］. （2）设任意的x1,x2∈(-b,b)，且x1＜x2,由b∈（0，1］，得-1≤-b＜x1＜x2＜b≤1222,0＜1-2x2＜1-2x1,0＜1+2x1＜1+2x2, 从而f(x2)-f(x1)= lg1?2x21?2x?lg1?2x1?lg(1?2x2)(1?2x1)(1?2x?lg1?0. 21?2x12)(1?2x1)因此f(x)在（-b,b)内是减函数，具有单调性. 21.解 (1)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x, 所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-22+2,即f(1)=1. 所以 若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a. (2)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0. 所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0.在上式中令x=x0,有f(x0)-x02+x0=x0. 又因为f(x0)=x0,所以x0-x02=0,故x0=0或x0=1.若x0=0,则f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x. 但方程x2-x=x有两个不同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0. 若x0=1，则有f(x）-x2+x=1,即f(x)=x2-x+1.易验证该函数满足题设条件. 22.解 （1）当x∈［-，0］时，-x∈［0，］. ∴f(-x)=-(-x)2-(-x)+5=-x2+x+5.又∵f(x)是偶函数， ?2??x?x?5,2 ∴f（x）=f(-x)=-x+x+5.∴f(x)=????x2?x?5,???3?x???,0??2? ?3?x??0,?.?2?3232（2）由题意，不妨设A点在第一象限，坐标为（t,-t2-t+5）,其中t∈（0，］. 由图象对称性可知B点坐标为（-t，-t2-t+5）.则S(t)=S矩形ABCD=2t（-t2-t+5）=-2t3-2t2+10t. =-6t-4t+10.由s=0，得t1=-s（?t）（?t）2 325（舍去），t2=1. 3当0＜t＜1时，s＞0;t＞1时,s＜0. （?t）（?t） ∴S(t)在（0，1］上单调递增，在［1，］上单调递减.∴当t=1时，矩形ABCD的面积取得极大值6， 且此极大值也是S（t）在t∈（0，］上的最大值.从而当t=1时，矩形ABCD的面积取得最大值6. 3232
