第2章 力系的等效与简化
2－1 脊柱上低于腰部的部位A是脊椎骨受损最敏感的部位，因为它可以抵抗由力F对A之矩引起的过大弯曲效应，如图所示。已知F、d1和d2。试求产生最大弯曲变形的角度?。
解：本题实际是求使A处产生最大约束力偶，由力矩特性：F?AC（图a）时力臂最大。
d 此时：??tan?12
d1 ? F C d2d1 ?A BMA
FRA
(a) 习题2－1图
2－2 作用于铣刀上的力系可以简化为一个力和一个力偶。已知力的大小为1200N，力偶矩的大小为240N·m，方向如图所示。试求此力系对刀架固定端点O的力矩。 解：图（a）：
rA?(0.2, 0, 0.25)m FA?(0, 6003, ?600)N M?(0, 1203, ?120)N·m M0??M0(F)?M0(FA)?M
i ?0.2j06003k0.25?(0, 1203, ?120) ?6000 ?(?260, 328, 87.8)N·m y O z rA A 30? M FA
－ 习题 2 2 图 (a)
2－3 如图所示，试求F对点A的力矩。 解：MA(F)?rAB?F
x
ijk ?-ddd
43FF0551 =Fd(?3,4,?7)
5 习题2－3图
— 11 —
rAB
(a)
2－4 图示作用于管板子手柄上的两个力构成一力偶，试求此力偶矩矢量。 解：M??M(F)
??150?0.25?2i?150?0.15j ?(?75,22.5,0)N?m
习题2－5图 习题2－4图
2－5 齿轮箱有三个轴，其中A轴水平，B和C轴位于yz铅垂平面内，轴上作用的力偶如图所示。试求合力偶。
解：MA =（1, 0, 0）MA =3.6（1, 0, 0）kN·m
MB =（0, sin40°,cos40°）MB =6（0, sin40°,cos40°）kN·m MC =（0, sin40°,-cos40°）MC =6（0, sin40°,-cos40°）kN·m ∴ M = ΣMi = MA+ MB + MC =（3.6, 12sin40°, 0）kN·m
2－6 槽钢受力如图所示。试求此力向截面形心C平移的结果。 解：r =（-0.0203, 0, 0.102）m F =（0, 20, 0）kN F向C平移，得
FR =（0, 20, 0）kN
ijk MC?-0.020300.102
0200 =（-2.04, 0, -0.406）kN·m
习题2－6图 习题2－7图
2－7 截面为工字形的立柱受力如图所示。试求此力向截面形心C平移的结果。 解：r =（-50, 125, 0）mm F =（0, 0, -100）kN F向C平移，得
FR =（0, 0, -100）kN
ijk MC?MC(F)?r?F?-0.050.125
0?100
习题2－8图
00 =（-12.5, -5, 0）kN·m
2－8 平行力（F,2F）间距为d，试求其合力。
解：(1)图(a)
AFAF'dBF??FR2FFRdBF x
（a）
?MC(F)?0
?F(d?x)?2F?x?0
CC
（b）
— 12 —
?x?d
?FR?2F?F?F
方向如图
2－9 已知图示一平面力系对A（3,0），B（0,4）和C（–4.5,2）三点的主矩分别为：MA = 20kN·m，MB = 0，MC =–10kN·m。试求该力系合力的大小、方向和作用线。 解：由已知MB = 0知合力FR过B点；
由MA = 20kN·m，MC = -10kN·m知FR位于A、C间，且 AG?2CD（图（a）） 在图（a）中： 设 OF = d，则 d?4cot?
(d?3sin?)?AG?2CD CD?CEsin??(4.5? 即 (d?3)sin??2(4.5?d)sin? 2（1） （2）
d)sin? 2
习题2－9图
d?3?9?d d?3
∴ F点的坐标为（-3, 0） 合力方向如图（a），作用线如图过B、F点；
4?? tan34 AG?6sin??6??4.8
5 MA?FR?AG?FR?4.8
yCDGE4?2?d32025?kN FR??4.5AOxF4.86510 即 FR?(,)kN FR 234(a) 作用线方程：y?x?4 3 讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G点与E点重合。
2－10 空间力系如图所示，其中力偶矩M = 24N·m，作用在Oxy平面内。试求此力系向点O简化的
z结果。
F2
10N r2r3F 3O yr1 M4NF1
x
习题2－10图
(a)
解：M =（0, 0, -24）N·m F1 =（0, 4, 0）N F2 =（6, -8, 0）N F3 =（-6, 0, -8）N
∴ FR = ΣFi =（0, -4, -8）N MO?M??MO(F)
?M?r1?F1?r2?F2?r3?F3 =（0, 0, -24）+（0, 0, 12）
ijkijk ?06
4?84?304?604 ?8— 13 —
=（0, 24, -12）N·m
2－11 图示电动机固定在支架上，它受到自重160N、轴上的力120N以及力偶矩为25N·m的力偶的作用。试求此力系向点A简化的结果。
z z
F1
75 Ay75
r2575
200 x M
F2
(a) 习题2－11图
解：由已知F1 =160N，F2 =120N，F3 =25N·m F1 =（0, 0, -160）N F2 =（-120, 0, 0）N M =（25, 0, 0）N·m r =（0.075, 0.2, 0.025）m 向A点简化，得
FR = F1 + F2 =（-120, 0, -160）N MA?M?r?F1?r?F2 =M?r?(F1?F2)
i?120j0k?160 =（25, 0, 0）?0.0750.20.025
=（-7, 9, 24）N·m
2－12 对于图示作用在平板上的平行力系，试求其合力。 解：图（a）由已知 F1 =（0, 0, -30）N F2 =（0, 0, 50）N F3 =（0, 0, -40）N r 1 =（2, 1, 0）m r 2 =（0, 2, 0）m r 3 =（1, 3, 0）m 向O点简化，得
???Fi=（0, 0, -20）N 主矢：FR 主矩：MO??MO(F)
?r1?F1?r2?F2?r3?F3
习题2－12图
ijk?30ijkij3k0?40
F1zr2r3F2 ?210?020?100005000Or1yF3
=（-50, 100, 0）N·m
将主矢，主矩进一步化简，其合力作用线平行z轴， 过Oxy平面上点A（x, y）。
ijk0=（-20y, 20x, 0）=（-50, 100, 0） 则 MO?rA?FR?xyx(a)
00?20 ∴ x = 5，y = 2.5
∴ 合力FR =（0, 0, -20）N，且FR过点A（5, 2.5, 0）。
2－13 试确定作用在曲轴的各曲柄销中点的力系F（是否平衡。假定各力F（kk = 1,2,…,6）ii = 1,2,…,6）的大小均为F，其作用线均通过曲轴的轴线并与之相垂直，指向背离轴线。各曲颈中点之间的轴向距离均为d，其布置如图所示。
— 14 —
习题2－13图
解：由已知，F1 = F2 = F3 = F4 = F5 = F6 = F，所以显然有 ΣFx = 0，ΣFy = 0，ΣFz = 0，即主矢FR = 0。 由图可知：
F1 = F（0, 0, 1），r 1 =（0, 0, 0）d F2 = F（? F3 = F（
13, 0, ?），r 2 =（0, 1, 0）d
2213,0 , ?），r 3 =（0, 2, 0）d
22 F4 = F（0, 0, -1），r 4 =（0, 3, 0）d
F5 = F（? F6 = F（
613, 0, ），r 5 =（0, 4, 0）d
2213, 0, ），r 6 =（0, 5, 0）d
22O(Fi) 主矩MO??Mi?1??r?Fii?16i??3Fdk
习题2－14图
∴ 原力系不平衡
2－14 图示三个大小均为FO的力分别与三轴平行，且在三个坐标平面内。试问l1、l2、l3需满足何种关系，此力系才可简化为一合力。 解：先向O点简化，得
主矢FR =（F2, F3, F1）= FO（1, 1, 1） 主矩MO = -FO（l3, l1, l2）
为使力系能进一步简化为一合力，需 FR·MO = 0
2 即 FR·MO =?FO（l3 + l1 + l2）= 0
∴ l1 + l2 + l3 = 0
2－15 折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为M的力偶作用在曲杆AB上。试求支承处的约束力。
习题2－15图 FB FBBDDBF B?FB45B M FBDFDFDMMAM AA FAA FA FA FA (a)
(b) (c) (d)
— 15 —
M 2lM 图（b）：FA?FB?
l 由图（c）改画成图（d），则
M FA?FBD?
lM ∴ FB?FBD?
l 解：图（a）：FA?FB?2M l2－16 图示的结构中，各构件的自重略去不计。在构件AB上作用一力偶，其力偶矩数值M = 800N·m。
B试求支承A和C处的约束力。
FB FB' B M ?45 D A45? C FA FC
(a)
(b)
习题2－16图
解：BC为二力杆，受力如图（a）：FB = FC 由图（b）：ΣMi = 0
M???2694N FA?FBBD ∴ FC = 2694 N
2－17 齿轮箱两个外伸轴上作用的力偶如图所示。为保持齿轮箱平衡，试求螺栓A、B处所提供的约束力的铅垂分力。
FBy FAy
习题2－17图 (a)
解：ΣMi = 0，?500?125?FAy?0.5?0 FD?2FBD? FAy = 750N（↓） FBy = 750N（↑）
（本题中FAx ，FBx等值反向，对力偶系合成结果无贡献。）
2－18 卷扬机结构如图所示。物体放在小台车C上，小台车上装有A、B轮，可沿铅垂导轨ED上下运动。已知物体重2kN。试求导轨对A、B轮的约束力。 解：W = 2kN，T = W ΣFx = 0， T FA = FB D ΣMi = 0，W?300?FA?800?0
AFA3800 ∴ FA?W?0.75kN 8FBB FB = 0.75 kN，方向如图。
300C 2－19 试求图示结构中杆1、2、3所受的力。
解：3杆为二力杆
W 图（a）：ΣMi = 0，F3?d?M?0
M F3?
d F = F3（压） 图（b）：ΣFx = 0，F2 = 0
习题2－18图
(a)
— 16 —
ΣFy = 0，F1?F?M（拉） dF1dF2M
31d2A
A
F3
FA F
习题2－19图 (a) (b)
2－20 为了测定飞机螺旋桨所受的空气阻力偶，可将飞机水平放置，其一轮搁置在地秤上。当螺旋桨未转动时，测得地秤所受的压力为4.6kN；当螺旋桨转动时，测得地秤所受的压力为6.4kN。已知两轮间距离l = 2.5m。试求螺旋桨所受的空气阻力偶的力偶矩大小M。
W 解：?4.6 kN
M2O ?F?6.4?4.6?1.8kN ΣMi = 0，?M??F?l?0 WWW M??F?l?1.8?2.5?4.5kN·m 22 2－21 试求图示两种结构的约束力FRA、FRC。
ΔF'ΔF 解：（a），CD为二力杆，图（c）——力偶系 ΣMi = 0， (a)
习题2－20图
FRA?FRC?M2d2 （b）AB为二力杆 图（d）ΣMi = 0，
M FRC?FD?
dM??FD FRA?FD DdA MBD 45?
M FRA FRAFRCFRCC
(d) (c)
2－22 试求机构在图示位置保持平衡时两主动力偶的关系。 解：图（a）：ΣMi = 0，
M FD?1 （1）
d 图（b）：ΣMi = 0，
??d?M2 FDM2 d 由（1）、（2），得 M1 = M2 ?? FDAD?2M d
习题2－21图
AD(e)
'FDB
（2） 'FD
习题2－22图
M1M FAFD (b) (a)
2－23 试求机构在图示位置保持平衡时主动力系的关系。 解：AB为二力杆 图（a）：ΣFx = 0
FABcos??F （1）
B2
— 17 —
图（b）：ΣMi = 0
??dcos??M FAB（2）
' 由（1）、（2），得M = Fd FABFAB
? FMB FOO
FN
(a) (b) 习题2－23图
2－24 在图示三铰拱结构的两半拱上，各作用等值反向的两力偶M。试求约束力FRA、FRB。 解：图（a）：ΣMi = 0 FBy = FAy = 0 （1） 图（b）：ΣMi = 0
M FBx?
dM ∴ FRB?（←）
d 由对称性知
M FRA?（→）
dFCCCA
FAxMMABFBxM
习题2－24图
FAy FBy (a) (b)
FBx
— 18 —
