高二年级第二次月考数学试卷
一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1．下列语句中是命题的是（ B ）
A．周期函数的和是周期函数吗？ B．sin45?1 C．x?2x?1?0 D．梯形是不是平面图形呢？
2．设原命题：若a?b?2，则a,b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（ A ）
A．原命题真，逆命题假
2220
B．原命题假，逆命题真 D．原命题与逆命题均为假命题
C．原命题与逆命题均为真命题
3．有下述说法：①a?b?0是a?b的充要条件. ②a?b?0是③a?b?0是a?b的充要条件.则其中正确的说法有（ A ） A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3311?的充要条件. ab4．一次函数y??m1x?的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ B ） nnA．m?1,且n?1 B．mn?0 C．m?0,且n?0 D．m?0,且n?0 5.方程|x|?|y|?|xy|?1表示的曲线是（D）
A．一条直线 B．一个正方形 C．一个圆 D．四条直线
6.已知点O(0,0),A(1,?2)，动点P满足|PA|?3|PO|，则点P的轨迹方程是（C） A．8x2?8y2?2x?4y?5?0 B．8x2?8y2?2x?4y?5?0 C．8x2?8y2?2x?4y?5?0 D．8x2?8y2?2x?4y?5?0
x2y2??1的焦点坐标为（A） 7.椭圆
1625 （A）(0, ±3) （B）(±3, 0) （C）(0, ±5) （D）(±4, 0)
8.已知F1, F2是定点，| F1 F2|=8, 动点M满足|M F1|+|M F2|=8，则点M的轨迹是(D) （A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段
9.过点(3, －2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程是(C)
x2y2x2y2x2y2x2y2??1 （B）??1 （C）??1 （D）??1 （A）
101551015102510x2y2??1上一点，10.已知P为椭圆P到一条准线的距离为P到相应焦点的距离之比为(C) 916 （A）
454 （B） （C） 5477 （D）
147
x2?y2?4上一点P到两焦点距离之和与该点到两准线的距离之和的比是(B) 11.椭圆4 （A）3 （B）
13 （C） （D）随P点位置不同而有变化
2212．如图，已知椭圆中心在原点，F是焦点，A为顶点，准线l交x轴于点B，点P, Q在椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥AO, 则椭圆的离心率是①
|PF||QF|；② ；|PD||BF|lDBPQAFyxO③
|AO||AF||FO|；④ ；⑤ ，其中正确的个数是 (D) |BO||AB||AO|（A）1个 （B）3个 （C）4个 （D）5个 二、填空题（共4题，每题5分，共20分）
2213.已知方程x?y?2x?4?0的曲线经过点P(m,1)，那么m的值为 ?3或1 。
x2y2??1上一点，则点A到该椭圆的左焦点的距离是14、．已知A(4, 2.4)为椭圆
2516_____13/5_________.
x2y2??115、P为椭圆10064上的一点，F1和F2是其焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的
面积为 _________ . 16、有下列四个命题：
①、命题“若xy?1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③、命题“若m?1，则x?2x?m?0有实根”的逆否命题； ④、命题“若A2B?B，则A?B”的逆否命题。
其中是真命题的是 ①，②，③ （填上你认为正确的命题的序号）。 三、解答题（共六题，共70分） 17、（12分）已知p:1?x?1?2；q:x2?2x?1?m2?0(m?0) 若?p是?q的必要非充3分条件，求实数m的取值范围。
?p:1?x?1?2,x??2,或x?10,A??x|x??2,或x?10? 3?q:x2?2x?1?m2?0,x?1?m,或x?1?m,B??x|x?1?m,或x?1?m?
?p是?q的必要非充分条件，?B?1?m??2?m?9,?m?9。 A，即?1?m?10?18、（12分）椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4, 短轴长为
8, 求椭圆的标准方程
?a?c1?x2y2?由?a?c4解得a＝5，又椭圆焦点在y轴上，∴椭圆方程为 + = 1 .
1625
??b?419、（12分）求过点P(3, 0)且与圆x2+6x+y2－91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程。
x2y220、（12分）设椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交
ab于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,AF?2FB.
(I)
求椭圆C的离心率；
(II) 如果|AB|=
15，求椭圆C的方程. 4解：
设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意知y1＜0，y2＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为 y?3(x?c)，其中c?a2?b2. ?y?3(x?c),?联立?x2y2得(3a2?b2)y2?23b2cy?3b4?0
?2?2?1b?a?3b2(c?2a)?3b2(c?2a)解得y1? ,y2?22223a?b3a?b因为AF?2FB，所以?y1?2y2. 即
3b2(c?2a)?3b2(c?2a) ?2?22223a?b3a?bc2?. ……6分 a3得离心率 e?1243ab215（Ⅱ）因为AB?1?y2?y1，所以?22?.
3433a?b由
c25155?得b?a.所以a?，得a=3，b?5. a3443x2y2??1. 椭圆C的方程为95
21、（12分）已知关于x的方程 (1?a)x2+(a+2)x?4=0 a?R 求： 1) 方程有两个正根的充要条件；
2) 方程至少有一个正根的充要条件。
解：1) 方程(1?a)x2+(a+2)x?4=0有两个实根的充要条件是：??1?a?0
??0??a?1?a?1即：??? 2a?2,ora?10(a?2)?16(1?a）?0??即： a≥10或a≤2且a?1
设此时方程两根为x1，x2 ∴有两正根的充要条件是：
?a?1?a?2,ora?10?a?1??a?2,ora?10?? ? ?a?2?0? 1 43 ??a?1?1?a?0?? ???0? ?a?2,ora?10 ? a<1 ?xx?0?4?12??0?a?1 综上：方程(1?a)x2+(a+2)x?4=0至少有一正根的充要条件是a≤2或a≥10。 22xy 22、（12分）设F1、F2分别为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右两个焦点． ab 3 (1)若椭圆C上的点A(1，)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点 2坐标； (2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程； (3)若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时． 求证：kPM·kPN是与点P位置无关的定值． 解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2. ?3?又点A?1，?在椭圆上， ?2? 12 因此2＋2＝1得b＝3， 2b于是c＝1. xy 所以椭圆C的方程为＋＝1， 43焦点F1(－1,0)，F2(1,0)． (2)设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足： －1＋x1y1x＝，y＝， 22 (2x＋1)(2y)即x1＝2x＋1，y1＝2y.因此＋＝1. 43 2 2 2 2 2 ?3?2 ?2??? ?1?24y 即?x＋?＋＝1为所求的轨迹方程． ?2?3 xy (3)设点M(m，n)是椭圆2＋2＝1① ab mn 上的任一点，N(－m，－n)是M关于原点的中心对称点，则2＋2＝1② ab 2 2 2 2 2 又设P(x，y)是椭圆上任一点，且kPM·kPN存在． y－ny＋n 则kPM＝，kPN＝， x－mx＋my－ny＋ny－n ∴kPM·kPN＝·＝22. x－mx＋mx－m x－my－ny－nb ①－②得2＋2＝0，22＝－2， abx－mab ∴kPM·kPN＝－2. a 故kPM·kPN与P的取值无关． 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 又设P(x，y)是椭圆上任一点，且kPM·kPN存在． y－ny＋n 则kPM＝，kPN＝， x－mx＋my－ny＋ny－n ∴kPM·kPN＝·＝22. x－mx＋mx－m x－my－ny－nb ①－②得2＋2＝0，22＝－2， abx－mab ∴kPM·kPN＝－2. a 故kPM·kPN与P的取值无关． 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
