数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
A??x|x?2?B??x|x?1?A?CUB=
1．若全集U?R，集合，，则
A．?x1?x?2? B．?xx?0? C．?x1?x?2? D．?x|x?1?
?6
（B）x?
2．函数f(x)?2cos2x?1的图象的一条对称轴方程是（ ） （A）x?
?3
（C）x?
?4
（D）x?
?2
x3.已知命题p:?x?R，x?2?lgx，命题q:?x?R，e?1，则C
A．命题p?q是假命题 B．命题p?q是真命题 C．命题
p???q?是真命题 D．命题
p???q?是假命题
4．等差数列?an?的前m项的和是30，前2m项的和是100，则它的前3m项的和是C
A．130 B．170 C．210 D．260
5．已知a,b,c分别为方程x?log3x?3,x?log4x?3,x?log3x?1 的解，则a,b,c 的大小关系为D
Ａ．c?a?b Ｂ．c?b?a Ｃ．a?b?c Ｄ．b?a?c 6．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，
AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，
1?????????且AM=3AB，则DM?DB等于B
A．－1 B．1
33C．－3 D．3
高三数学（理科）试题第1页（共8页）出题人：蒋昊杭 审题人：邱天洲
f(x)?sin(2x??)(??7．将函数
??2的图象向左平移6个单位长度
)???0,??g(x)f(x)后，所得函数为奇函数，则函数在?2?上的最小值A
?
A．
311?2 B．2 C．2 3D．2
8．函数f(x)?|x?2|?lnx在定义域内零点的个数为（ C ） A．0 B．1 C．2 D．3[来
9．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是O,
O1,O2.动点P从A点出发沿
着圆弧按A?O?B?C?A?D?B的路线运动（其中
A,O,O1,O2,B五点共线）
，记点P运
y?O1P,y2动路程为x，设于x的函数关系为
y?f?x?，则
y?f?x?的大致图象是A
x、x、x3,
10．对函数f(x),若对于定义域中的任意三个数12f(x1)、f(x2)、f(x3)都能作为一个三角形的三边长，
则称f(x)为
9x?m?3x?1f(x)?x9?3x?1是“三角型函“三角型函数”。已知函数
数”，则实数m的取值范围是C
?12，1） C．[
?A．[1，4] B．（
12，4] D．[1，2]
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第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。 11.函数y=sinx+cosx的最大值 2 . 12．等比数列
若
?an?的前n项和为Sn，且4a1,2a2,a3成等差数列，
a1?1，则S4= 15
???????????b?2，向量c满足(a?c)?(b?c)?0， 13．向量a,b满足|a|?|b|?a?则
?c的最小值为 3?1 ；
14. 对于函数y?f(x)，部分x与y的对应关系如下表：
x y 数列
1 3 2 7 3 5 4 9 5 6 6 1 7 8 8 2 9 4 {xn}满足：x1?1，且对于任意n?N*，点(xn,xn?1)都在函数
y?f(x)的图像上，则x1?x2?x3?x4???x2015?x2016的值为
7560 ???2tx2?2tsin?x???x4??f?x??2x2?cosx15．关于x 的函数的最大值为a，
最小值为b ，且a?b?2 ，则实数t的值为 1 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 已知命题：“题．
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式(x?a)(x?a?4)?0的解集为N，若x?N
是x?M的必要不充分条件，求a的取值范围．
解：(1)由题意知，方程x?x?m?0在(1,2)上有解，即m的取
2?x??x1?x?2?，使等式x?x?m?0成立”是真命
2高三数学（理科）试题第3页（共8页）出题人：蒋昊杭 审题人：邱天洲
值范围就为函数y?x?x在(1,2)上的值域，易得
2M?m0?m?2?．
(2) x?N是x?M的必要不充分条件，所以M?N,且M?N集合M?xa?x?4?a?， 则????a?0，解得?a?2?a?0?。
?4?a?23217. （本小题满分12分） 已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。 （Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数在定义域上为增函数，求a的取值范围 解：（Ⅰ）当a=2时f（x）=x-6x+3x+1 f’(x)=3x-12x+3>0
（2?3，??）?单调增区间-?，2-3， 单调减区间（2-3,2?3））
2
（Ⅱ） f’(x)=3x-6ax+3?0在R上恒成立
2
??36a-36?0
2
32???-1?x?1
xxxf?x??103sincos?10cos2222．18．（本小题满分12分）已知函数
（1）求函数
f?x?的最小正周期；
g(x)?f(x?（2）已知
?6)?13.
（ⅰ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，A为锐角。
3b?c,求sinB?sinC的已知g(A)?53?8，b?1，△ABC的面积为2值；
（1）因为f?x??103sinxxxcos?10cos2 222?53sinx?5cosx?5
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????10sin?x???5．
6??所以函数f?x?的最小正周期??2?． （2）由已知得
g?x??10sinx?8，
A??3,
1133又?S?ABC?bcsinA??1?c??,解得c?2,
2222?在?ABC中由余弦定理得,:a2?b2?c2?2bccosA?3,即a?3.
由
bca???sinBsinCsinA332,得b?2sinB,c?2sinC,
?19
b?c?2.
sinB?sinC
解：（1）由已知an+1=2an+λ，可得an+1+λ=2(an+λ)． （1）由已知an+1=2an+λ，可得an+1+λ=2(an+λ)．
∵ a1=1，
当a1+λ=0，即λ=-1时，an+λ=0，此时{an+λ}不是等比等列． ????3分
当a1+λ≠0，即λ≠-1时，
an?1???2（常数）．
an??此时，数列{an??}是以a1???1??为首项，2为公比的等比数列，
∴ an???(1??)?2n?1，于是an???(1??)?2n?1． （2）当λ=1时，an=2n-1， ∴ bn?123nn. ∴ ， S??????nn123n22222高三数学（理科）试题第5页（共8页）出题人：蒋昊杭 审题人：邱天洲
1123n1，得Sn?2?3?4???n?1, 2222221111n两式相减得 Sn??2???n?n?1
2222211(1?n)2?n ?2n?1121?2两边同乘以
?1?Sn?2?20
1n， ?2n2n?11n． ?n?1n22
解：（1）在Rt△ABC中，AC=ABcos60o=6?∵ CD?CA?AD，
∴ CD?CA?(CA?AD)?CA?CA?AD?CA
211?3，AD?AB?2. 23?|CA|2?|AD|?|CA|?cos?AD，CA?
=9+2×3×cos120o=6.
（2）在△ACD中，∠ADC=180o-∠A-∠DCA=120o-θ， 由
正
弦
定
理
可
得
CDAC?sinAsin?ADC，即
3332. CD??sin(120???)2sin(120???) 在△AEC中，∠ACE=θ+30o，∠AEC=180o-60o-(θ+30o)=90o-θ，
3?由
正
弦
定
理
可
得
：
CEAC?sinAsin?AEC，即
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3332， ?6分 CE??sin(90???)2cos?3?113333S?DCE?CD?CE?sin30????242sin(120???)2cos?271??， 16sin(120???)?cos?令f(θ)=sin(120o-θ)cosθ，0o≤θ≤60o， ∵ f(θ)=(sin120ocosθ-cos120osinθ)cosθ
????31cos2??sin?cos? 2231?cos2?11???sin2? 22223131?(cos2??sin2?) 422231?sin(2??60?)， 42由0o≤θ≤60o，知60o≤2θ+60o≤180o， ∴ 0≤sin(2θ+60o)≤1， ∴
331?， ≤f(θ)≤
442143≤， f(?)3∴ 4(2?3)≤
∴
9327 (2?3)≤S?DCE≤
44xf(x)?e?x 21. （本小题满分14分） 已知函数
1f(1)）（1）求曲线y?f(x)在（，处的切线方程；
（2）当x?0,f(2x)?4bf(x)?f(?2x)?4bf(?x)恒成立，求b的最大值
?f(x)?f(1)?f(?x)?f(1)
（3）解关于x的不等式：?解：（1）由题意知：f?(x)?e?1?f?(1)?e?1
所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?(e?1)x
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x
（2）g(x)?e2x?e?2x?4b(ex?e?x)?(8b?4)x
2x?2xx?xe?e?2b(e?e)?(4b?2)?g'(x)=2???
=2(ex?e?x?2)(ex?e?x?2b?2)
（i）当b?2时，g'(x)≥0，等号仅当x?0时成立，所以g(x)在
(??,??)单调递增。
而g(0)=0，所以对任意x?0,g(x)?0，成立； （ii）当b?2时，若时x?lnb(?1?2b?2b )x满足2?ex?e?x?2b?2，即
g'(x)＜0.即g(x)在区间(0,ln(b?1?b2?2b)上单调递减
而g(0)=0，因此当0?x?ln(b?1?b2?2b)时，g(x)＜0. 综上，b的最大值为2.
x??e?x?e?1,（3）??x ①
??e?x?e?1,设函数g(t)?e?t?e?1，则g?(t)?e?1
当t?0时，g?(t)?0；当t?0时，g?(t)?0，故g(t)在(??,0)单调递减，
在(0,??)单调递增。
又g(1)?0,g(?1)?e?1?2?e?0，故当t?[?1,1]时，g(t)?0 当x?[?1,1]时，g(x)?0,g(?x)?0，即①式成立；
x当x?1时，由g(t)的单调性，g(x)?0，即e?x?e?1；
tt当x??1时，g(?x)?0，即e?x?x?e?1
综上，x的取值范围是[-1,1]
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