专题2 函数（2）
一、填空题：
例1 已知函数f(x)?x?3ax(a?R)，若直线x?y?m?0对任意的m?R都不是曲线y?f(x)的切线，则a的取值范围是 ．答：???,?
2提示：∵f?(x)?3x?3a，不等式f?(x)??1对任意x都成立，∴?3a??1,a?3??1?3?1． 3例2 设曲线y??ax?1?e在点A?x0,y1?处的切线为l1，曲线y??1?x?e在点B?x0,y2?处的切线为l2，若
x?x存在x0??0,?，使得l1?l2，则实数a的取值范围是 ．答：?1,?
22提示：直线l1，l2的斜率分别为k1??ax0?a?1?e0，k2??x0?2?ex?x0?3????3???．
0由题设得k1k2??ax0?a?1??x0?2???1在?0,?上有解，∴a?．
?x0?2??x0?1??2??3?x?3?令t?x0?3???3,??，则a?t?1t?42???????3?t1?3???1,?． 4t??5?2?t例3 已知函数y?f?x?上任一点x0,f?x0?处的切线斜率k??x0?3??x0?1?，则该函数的单调递减区
2??间为 ．答：???,3?
提示：由f??x???x?3??x?1??0得x?3．
例4 已知函数f?x??2sinx?2???2??为增函数，?bx?b?R?在?0,,??为减函数，则??2?cosx33????b? ．答：b?0
2cosx?1?2???提示：f??x??，由题设得?bf???0，∴b?0．经检验满足． 23???2?cosx?例5 已知函数f?x??lnx?12则实数a的取值范围为 ．答：ax?2x?a?0?存在单调递减区间，
2??1,0??0,???
1ax2?2x?1提示：f?(x)??ax?2??．
xx
∵函数f?x?存在单调递减区间，∴f??x??0在?0,???上有解．
?1??1??1?从而a????2?????1??1，∴a??1．又a?0，∴?1?a?0或a?0．
?x??x??x?例6 已知函数f?x??x?ax?2x?b，其中a,b?R．若函数f?x?仅在x?0处有极值，则a的取值
43222范围是 ．答：??,?
33提示：f??x??x4x2?3ax?4，显然x?0不是方程4x2?3ax?4?0的根．为使f?x?仅在x?0处有极值，必须4x2?3ax?4?0成立，即有??9a2?64?0．解得?例7 若函数f(x)满足f(x)＝f(??x)，且当x?(?大小关系为 ． 答：f(3)?f(1)?f(2)
提示：由f(x)＝f(??x)，得函数f(x)的图象关于直线x?又当x?(??88?????88?a?．这时，f(0)?b是唯一极值． 33??,)时，f(x)?x?sinx，则f(1),f(2),f(3)的22?2对称．
??????,)时，f?(x)?1?cosx?0恒成立，∴f(x)在??,?上为增函数． 22?22?∵f(2)?f(??2)，f(3)?f(??3)，且0???3?1???2?∴f(??3)?f(1)?f(??2))，即f(3)?f(1)?f(2)．
?2，
例8 若函数f?x??ax?ax?2?a?0?满足f??1??1,f?1??1，则方程f?x??1的实数解的个数为
3个．
答：
提示：设g?x??f?x??1，则由题设知g??1?g?1??0，∴g?x??f?x??1在??1,1?内至少有一个零点．又
g??x??3ax2?a?a?3x2?1??a?0?，易知a?0时，g?x?单调递增；a?0时，g?x?单调递减．∴g?x?仅
有一个零点，即方程f?x??1仅有一根．
例9 如图，从点P1?0,0?作x轴的垂线交曲线y?e于点Q1?0,1?，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点
xP2．现从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，
则
?PQkk?1nk? ．
e?e1?n答：
e?1提示：设点Pk?1的坐标是(xk?1,0)?k?2?， ∵y?ex，∴y??ex，∴曲线在点Qk?1(xk?1,e． xk?xk?1?1（2?k?n）
∵x1?0，∴xk??(k?1)，∴PkQk?e∴
xkxk?1)处的切线方程是y?exk?1?exk?1(x?xk?1)．令y?0，则
?e?(k?1)．
?PQkk?1nk??1?e?e??1?2?e?(k?1)1?e?ne?e1?n． ??1?e?1e?1y2例10 如图，用一块形状为半椭圆x??1(y?0)的铁皮截取一个以短轴BC为底的等腰梯形ABCD，记所
4得等腰梯形ABCD的面积为S，则S的最大值是 ．
y33答： AD2 提示：设AD?2x，
2则S?1??2x?2??21?x2?2?x?1?1?x2?0?x?1?． 22记f?x??4?x?1?1?x2?2??0?x?1?，
1． 2B oC x则f??x??8?x?1??1?2x?．令f??x??0，得x?当0?x?111时，f??x??0，f?x?单调递增；当?x?1时，f??x??0，f?x?单调递减．∴当x?时，f?x?222取最大值，即S取最大值，且最大值为
?1?33f???．
2?2??11?1??x?,x?0,?,?3?6??2??例11 已知函数f?x???3函数g?x??asinx?2a?2，其中a?0．若存在
6?2x,x??1,1?.???2???x?1x1,x2??0,1?，使得f?x1??g?x2?成立，则实数a的取值范围是 ．
答：?,?
23
?14???
4x3?6x2?1??1??1?提示：当x??0,?时，f?x???0,?；当x??,1?时，f??x???0，f?x?单调递增，∴2262???????x?1???1????f?x???,1?．综上，当x??0,1?时，f?x???0,1?．又当x??0,1?时，x??0,?，∵a?0，故g(x)为
6?6??6?单调增函数，∴g(x)?[2?2a,2?3a]． 2∵存在x1,x2??0,1?，使得f?x1??g?x2?成立，∴f(x)的值域F与g(x)的值域G满足FG??．若
F
341?14? G??，则2?a?0或2?2a?1，解得a?或a?，从而满足题意的实数a的取值范围是?,?．
23223??例12 已知f(x)?xlnx,g(x)??x?ax?3,若对一切的x?(0,??),2f(x)?g(x)恒成立，则实数a的取值范围为 ． 答：???,4?
23, x3(x?3)(x?1)设h(x)?2lnx?x?(x?0)，则h'(x)?,x?(0,1),h'(x)?0，h(x)单调递增；x?(1,??)，h'(x)?0，2xx提示：2xlnx??x2?ax?3，则a?2lnx?x?h(x)单调递减．∴h(x)min?h(1)?4．
∵对一切x?(0,??)，2f(x)?g(x)恒成立，∴a?h(x)min?4．
例13 ．若函数f(x)?x?1?alnx(a?0)对任意x1,x2?(0,1]，都有|f(x1)?f(x2)|?4|11?|，则实数x1x2a的取值范围是 ．
答：[?3,0)
提示：当a?0时，函数f(x)在?0,1?上是增函数，又函数y?则|f(x1)?f(x2)|?f(x2)?f(x1),|1在?0,1?上是减函数，不妨设0?x1?x2?1，x1111?|??， x1x2x1x2所以|f(x1)?f(x2)|?4|1144?|等价于f(x2)?f(x1)??， x1x2x1x2即f(x2)?4444?f(x1)?．设h(x)?f(x)??x?1?alnx?，
xxx2x1
则|f(x1)?f(x2)|?4|11?|等价于函数h(x)在区间?0,1?上是减函数． x1x2a4x2?ax?4∵h?(x)?1??2?，∴x2?ax?4?0在x??0,1?时恒成立， 2xxx44在x??0,1?上恒成立，即a不小于y?x?在区间?0,1?内的最大值． xx44而函数y?x?在区间?0,1?上是增函数，所以y?x?的最大值为?3．
xx即a?x?∴a??3，又a?0，所以a?[?3,0)．
例14 已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，g(x)?0,f(x)g?(x)?f?(x)g(x),
f(x)?ax?g(x)（a>0且a?1)，
k(1?k?10)，则前k项和大于
答：
?f(n)?f(1)f(?1)5??，在有穷数列??(n?1,2,???,10)中，任意取正整数g(1)g(?1)2?g(n)?15的概率是 ． 163 5提示：由题意知a?a?1???f(x)f(n)1n5110?a?1?0知，∴，?()．∴数列?得a?2或a?．又?a??222g(n)2?g(x)??f(n)?1的前k项和为，可求出k?4． 1???kg(n)2??
二、解答题
例15 设函数f?x??1?x?lnx在?1,???上是增函数． ax（1）求正实数a的取值范围；
1a?ba?b． ?ln?a?bbbax?111x?1,??x?1,??解：（1）f??x??对恒成立，∴对恒成立． 又∴a?1． ?0a??1，????2axxx1?xa?b（2）由（1）知f?x???lnx在?1,???上是增函数，∵a?1,b?0，∴?1，∴
axba?b1??a?b?b?lna?b?0，即lna?b?1． ．∴f??f1?0???a?bbba?b?b?a?b1x?1设函数G?x??x?lnx?x?1?，G??x??1???0?x?1?，∴G?x?在?1,???上是增函数，又
xx（2）设b?0,a?1，求证：
G?1??1?0，∴当x?1时，G?x??G?1??0．
a?ba?b． ?lnbb1a?ba?b综上所述，． ?ln?a?bbb∴x?lnx，即
例16 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制
定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
（1）若建立函数f?x?模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f?x?模型的基本要求； ．．．．（2）现有两个奖励函数模型：①y?x?2；②y?4lgx?3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？ 150x恒成立. 5解：（1）设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是： 当x??10,1000?时，①f?x?是增函数；②f?x??9恒成立；③f?x??（2）①对于函数模型f?x??x?2： 150100020?2??2?9. 1503当x??10,1000?时，f?x?是增函数，则f?x?max?f?1000??∴f?x??9恒成立. ∵函数
f?x??f?x??12111??在?10,1000?上是减函数，所以????． ?x150xx15055??maxx不恒成立.故该函数模型不符合公司要求. 5∴f?x??②对于函数模型f?x??4lgx?3：
当x??10,1000?时，f?x?是增函数，则f?x?max?f?1000??4lg1000?3?9. ∴f?x??9恒成立. 设g?x??4lgx?3?x4lge1，则g??x???. 5x54lge12lge?1lge2?1????0，所以g?x?在?10,1000?上是减函数，从而当x?10时，g??x??x555g?x??g?10???1?0.∴4lgx?3?求.
xxx?0，即4lgx?3?，∴f?x??恒成立.故该函数模型符合公司要555
例17 已知函数f(x)?13设曲线y?f(x)在与x轴交点处的切线为y?4x?12，f?(x)x?bx2?cx?d，
3为f(x)的导函数，满足f?(2?x)?f?(x)． （1）求f(x)； （2）设g(x)?xf?(x)，m?0，求函数g(x)在[0,m]上的最大值；
（3）设h(x)?lnf?(x)，若对一切x?[0,1]，不等式h(x?1?t)?h(2x?2)恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）f?(x)?x?2bx?c，
2f?(2?x)?f?(x)，?函数y?f?(x)的图像关于直线x?1对称，则b??1．
直线y?4x?12与x轴的交点为(3,0)，∴f(3)?0，且f?(3)?4， 即9?9b?3c?d?0，且9?6b?c?4，解得c?1，d??3．则f(x)?（2）f?(x)?x?2x?1?(x?1)，
2??x?x,x?1, g(x)?x(x?1)?xx?1??2??x?x,x?1.213x?x2?x?3． 322其图像如图所示．
y21?11?21当x2?x?时，x?，根据图像得：
24（ⅰ）当0?m?1时，g(x)最大值为m?m2； 2O 11?222x11?21（ⅱ）当?m?时，g(x)最大值为；
224（ⅲ）当m?1?2时，g(x)最大值为m2?m． 22（3）h(x)?ln(x?1)?2lnx?1，h(x?1?t)?2lnx?t，h(2x?2)?2ln2x?1，
当x?[0,1]时，2x?1?2x?1，∴不等式2lnx?t?2ln2x?1恒成立等价于x?t?2x?1且x?t恒成立．由x?t?2x?1恒成立，得?x?1?t?3x?1恒成立． 当x?[0,1]时，3x?1?[1,4]，?x?1?[?2,?1]，∴?1?t?1． 又
当x?[0,1]时，由x?t恒成立，得t?[0,1]，∴实数的取值范围是?1?t?0．
例18 已知函数f(x)??x?x?b,g(x)?alnx． （1）若f(x)在x???323?1?,1?上的最大值为，求实数b的值；
8?2?2（2）若对任意x??1,e?，都有g(x)??x?(a?2)x恒成立，求实数a的取值范围； （3）在（1）的条件下，设F(x)???f?x?,x?1，对任意给定的正实数a，曲线y?F(x)上是否存在两点P,Q，
?g?x?,x?1使得?POQ是以（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由． 解：（1）由f?x???x3?x2?b，得f??x???3x2?2x??x?3x?2?， 令f??x??0，得x?0或列表如下：
x 2． 31? 2?1???,0? ?2?? 0 0 极小值 ?2??0,? ?3?? 2 3?2??,1? ?3?? f??x? 1f(?) 20 极大值 f?x? ] Z ] 132412133由f(?)??b，f()??b，∴f(?)?f()，即最大值为f(?)??b?，∴b?0．
2832723288（2）由g?x???x2??a?2?x，得?x?lnx?a?x2?2x．
x??1,e?,?lnx?1?x，且等号不能同时取，∴lnx?x,即x?lnx?0，
x2?2xx2?2x)min． ∴a?恒成立，即a?(x?lnxx?lnx?x?1??x?2?lnx?x2?2x,x??1,e??，求导得，t??x??令t?x??， 2x?lnx?x?lnx?当x??1,e?时，x?1?0,lnx?1,x?2?lnx?0，从而t??x??0， ∴t?x?在?1,e?上为增函数，∴tmin?x??t?1???1，∴a??1． ??x3?x2,x?1（3）由条件，F?x???，
?alnx,x?1假设曲线y?F?x?上存在两点P,Q满足题意，则P,Q只能在y轴两侧，
不妨设P?t,F?t???t?0?，则Q?t,t3?t2，且t?1．
?POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，
??∴OP?OQ?0，∴?t2?f?t?t3?t2?0
???*?，
是否存在P,Q等价于方程?*?在t?0且t?1时是否有解．
①若0?t?1时，方程?*?为?t2??t3?t2t3?t2?0，化简得t4?t2?1?0， 此方程无解；
②若t?1时，?*?方程为?t2?alnt?t3?t2?0，即1设h?t???t?1?lnt?t?1?，则h??t??lnt??1，
t??????1??t?1?lnt， a显然，当t?1时，h??t??0，即h?t?在?1,???上为增函数，
∴h?t?的值域为?h?1?,???，即?0,???，∴当a?0时，方程?*?总有解．
∴对任意给定的正实数a，曲线y?F?x? 上总存在两点P,Q，使得?POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．
专题2 函数（2）
一、填空题：
例19 已知函数f(x)?x?3ax(a?R)，若直线x?y?m?0对任意的m?R都不是曲线y?f(x)的切线，则a的取值范围是 ．
设曲线y??ax?1?e在点A?x0,y1?处的切线为l1，曲线y??1?x?e在点B?x0,y2?处的切线为l2，若存在
x?x3?3?x0??0,?，使得l1?l2，则实数a的取值范围是 ．
?2?例20 已知函数y?f?x?上任一点x0,f?x0?处的切线斜率k??x0?3??x0?1?，则该函数的单调递减区
2??间为 ．
例21 已知函数f?x??sinx?2??bx?b?R?在?0,2?cosx?3??2??为增函数， ,??为减函数，则b? ．??3???例22 已知函数f?x??lnx?412． ax?2x?a?0?存在单调递减区间，则实数a的取值范围为 ．
232例23 已知函数f?x??x?ax?2x?b，其中a,b?R．若函数f?x?仅在x?0处有极值，则a的取值范围是 。
例24 若函数f(x)满足f(x)＝f(??x)，且当x?(?大小关系为 ．
例25 若函数f?x??ax?ax?2?a?0?满足f??1??1,f?1??1，则方程f?x??1的实数解的个数为
3??,)时，f(x)?x?sinx，则f(1),f(2),f(3)的
22个．
例26 如图，从点P曲线在Q11?0,0?作x轴的垂线交曲线y?e于点Q1?0,1?，
xyAD 点处的切线与x轴交于点P2．现从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P…；Pn，Qn，则1，Q1；P2，Q2；
?PQkk?1nk ? ．
B 2y例27 如图，用一块形状为半椭圆x2??1(y?0)的铁皮截取一个以短轴BC4为底的等腰梯形ABCD，记所得等腰梯形ABCD的面积为S，则S的最大值是 ．
oC x
?11?1??x?,x?0,?,?3?6??2??例28 已知函数f?x???3函数g?x??asinx?2a?2，其中a?0．若存在
6?2x,x??1,1?.???2???x?1x1,x2??0,1?，使得f?x1??g?x2?成立，则实数a的取值范围是 ．
例29 已知f(x)?xlnx,g(x)??x?ax?3,若对一切的x?(0,??),2f(x)?g(x)恒成立，则实数a的取值范围为 ．
例30 ．若函数f(x)?x?1?alnx(a?0)对任意x1,x2?(0,1]，都有|f(x1)?f(x2)|?4|211?|，则实数x1x2a的取值范围是 ．
例31 已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，g(x)?0,f(x)g?(x)?f?(x)g(x),
f(x)?ax?g(x)（a>0且a?1)，
k(1?k?10)，则前k项和大于
?f(n)?f(1)f(?1)5??，在有穷数列??(n?1,2,???,10)中，任意取正整数g(1)g(?1)2?g(n)?15的概率是 ． 16二、解答题
例32 设函数f?x??1?x?lnx在?1,???上是增函数． ax1a?ba?b． ?ln?a?bbb（1）求正实数a的取值范围； （2）设b?0,a?1，求证：
例33 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制
定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
（1）若建立函数f?x?模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f?x?模型的基本要求； ．．．．（2）现有两个奖励函数模型：①y?例34 已知函数f(x)?x?2；②y?4lgx?3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？ 15013x?bx2?cx?d，设曲线y?f(x)在与x轴交点处的切线为y?4x?12，f?(x)3为f(x)的导函数，满足f?(2?x)?f?(x)． （1）求f(x)； （2）设g(x)?xf?(x)，m?0，求函数g(x)在[0,m]上的最大值；
（3）设h(x)?lnf?(x)，若对一切x?[0,1]，不等式h(x?1?t)?h(2x?2)恒成立，求实数的取值范围．
例35 已知函数f(x)??x?x?b,g(x)?alnx． （1）若f(x)在x???323?1?,1?上的最大值为，求实数b的值；
8?2?2（2）若对任意x??1,e?，都有g(x)??x?(a?2)x恒成立，求实数a的取值范围； （3）在（1）的条件下，设F(x)???f?x?,x?1，对任意给定的正实数a，曲线y?F(x)上是否存在两点P,Q，
?g?x?,x?1使得?POQ是以（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．
