2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测
数 学（理科） 2013.4
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知M?x?2?x?4,x?Z,N?x?1?x?3，则M?N? A．??1,3?
B．[?2,1)
C．?0,1,2?
D．??2,?1,0?
????2．已知复数z的实部为1，且z?2，则复数z的虚部是
A．?3 B．3i C．?3i D．?3 3．已知数列{an}是等差数列，若a3?a11?24,a4?3，则数列{an}的公差等于
A．1 B．3 C．5 D．6 4. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是 A．30 B．60
频率/组距 C．70 D．80
???1],则 5．函数f(x)?sin??x??，x?[?1，0.04 2??1]上单调递减； A．f(x)为偶函数，且在[0，1]上单调递增； B．f(x)为偶函数，且在[0，0.02 0.01 80 90 100 110 120 130 周长(cm)
0]上单调递增； C．f(x)为奇函数，且在[?1，0]上单调递减. D．f(x)为奇函数，且在[?1，6．下列命题中假命题是 ．．．
第4题图
A．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； B．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直；
C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行．
?x?0?y?0?7．直线2x?y?10?0与不等式组?表示的平面区域的公共点有
x?y??2???4x?3y?20A．0 个 B.1 个 C.2个 D.无数个 8．将边长为2的等边三角形PAB沿x轴滚动，某时刻P与坐标原点重合（如图），设顶点P(x,y)的
y 轨迹方程是y?f(x)，关于函数y?f(x)的有下列说法：
①f(x)的值域为[0,2]； ②f(x)是周期函数；
6B 9③f(?1.9)?f(?)?f(2013)； ④?f(x)dx??.
02其中正确的说法个数为:
A.0 B.1 C.2 D.3
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O P A x 第8题图
二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题) 9．命题“?x0?R，ex0?0”的否定是 .
2, ?a?b??a, 向量a与b的夹角为 .
3210. 已知向量a,b满足a?1,b?n11．若二项式?1?2x?展开式中x的系数等于x的系数的4倍，则n等于 .
12．已知圆C经过点A(0,3)和B(3,2),且圆心C在直线y?x上,则圆C的方程为 . 13．将集合{2?2|0?s?t且s,t?Z}中的元素按上小下大， 左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第i行第j列 的数记为bij（i?j?0）,则b65= . (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)
14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线C1:??2sin?与C2:??2cos? 的交点分别为A、B，则线段AB的垂直平分线的 极坐标方程为 ．
15．（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB?9，直线CE与圆O
st359??10?第13题图
612?BOAECD第15题图
相切于点C， AD?CE于D，若AD?1，设?ABC??， 则sin??______．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边，角?的终边与单位圆O的交点B在第一象限， 已知A(?1,3).
（1）若OA?OB,求tan?的值； （2）若B点横坐标为
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4,求S?AOB. 517．（本题满分12分）
市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路A、B、D上下班时间往返出现拥堵的概率都是的概率都是
1,道路C、E上下班时间往返出现拥堵10A D 1，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到. 5（1）求李生小孩按时到校的概率； （2）李生是否有七成把握能够按时上班？
乙 B 甲 第17题图
丙
E C
（3）设?表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到 拥堵的次数，求?的均值.
18．（本题满分14分）
、CD如图甲，设正方形ABCD的边长为3,点E、F分别在AB上,并且满足AE?2EB，CF?2FD,如图乙,将直角梯形AEFD沿EF折到A1EFD1的位置,使点A1在平面EBCF上的射影G恰好在BC上．
（1）证明：A1E//平面CD1F；
（2）求平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角的余弦值．
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A1A D F
E B 图甲
D1
E FB
C
第18题图
G图乙
C
19．（本题满分14分）
在平面直角坐标系内，动圆C过定点F?1,0?,且与定直线x??1相切. （1）求动圆圆心C的轨迹C2的方程；
（2）中心在O的椭圆C1的一个焦点为F,直线l过点M(4,0).若坐标原点O关于直线l的对称点
P在曲线C2上，且直线l与椭圆C1有公共点,求椭圆C1的长轴长取得最小值时的椭圆方程.
20．（本题满分14分）
某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响，环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓
x6?2????6x?3度f(x)与时间x(小时)的关系可近似地表示为：f(x)???1?x ??6道水中碱的浓度不低于
0?x?3,只有当污染河
3?x?61时,才能对污染产生有效的抑制作用. 31时,马上再投放1个单位的固3（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？ （2）第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到
体碱,设第二次投放后水中碱浓度为g(x),求g(x)的函数式及水中碱浓度的最大值.（此时水中碱浓．．．．．．度为两次投放的浓度的累加） ．．21．（本题满分14分）
设函数f0(x)?x?e21?x2，记f0(x)的导函数f0?(x)?f1(x)，f1(x)的导函数f1?(x)?f2(x)，
f2(x)的导函数f2?(x)?f3(x)，?，fn?1(x)的导函数fn??1(x)?fn(x)，n?1,2,?.
（1）求f3(0)； （2）用n表示fn(0)；
（3）设Sn?f2(0)?f3(0)???fn?1(0)，是否存在n?N使Sn最大？证明你的结论.
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*2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测
数 学（理科） 评分参考
一、填空题 CDBCABBC
二、填空题
?229．?x?R，ex?0 10． 11．8 12．?x?1???y?1??5 13．80
41??2?14．?sin?????（或?sin???cos??1） 15．
34?2?
三、解答题
16．⑴解法1、由题可知：A(?1,3)，B(cos?,sin?)， ??1分
????????OA?(?1,3)，OB?(cos?,sin?) ??2分
????????OA?OB，得OA?OB?0 ??3分
1∴?cos??3sin??0，tan?? ??4分
3解法2、由题可知：A(?1,3)，B(cos?,sin?) ??1分
kOA??3， kOB?tan? ??2分 ∵OA?OB，∴KOA?KOB??1 ??3分
1?3tan???1， 得tan?? ??4分
3解法3、 设B(x , y)，（列关于x、y的方程组2分，解方程组求得x、y的值1分，求正切1分）
?⑵解法1、由⑴OA?(?1)2?(3)2?10， 记?AOx??， ??(,?)
23310?110∴sin??，cos??（每式1分） ??6分 ???1010101043∵OB?1 cos??，得sin??1?cos2??（列式计算各1分） ??8分
553104103310sin?AOB?sin(???)?????（列式计算各1分） ??10分
10510510113103?（列式计算各1分）??12分 ∴S?AOB?AOBOsin?AOB??10?1?22210解法2、由题意得：AO的直线方程为3x?y?0 ??6分
343则sin??1?cos2?? 即B(,)（列式计算各1分） ??8分
5552013江门佛山二模第5页（共11页）
433??3555则点B到直线AO的距离为d??10（列式计算各1分） ??10分
1010又OA?(?1)2?(3)2?10，∴S?AOB?113103AO?d??10??（每式1分）?12分 22102343解法3、sin??1?cos2?? 即B(,) （每式1分） ?6分
555????43????即：OA?(?1,3)，OB?(,) ， ??7分
55?????????1?4?3?3OA?OB55?10??9分 OA?(?1)2?(3)2?10，OB?1，cos?AOB??????????1010?1OAOB（模长、角的余弦各1分）
310 ??10分 10113103则S?AOB?AOBOsin?AOB??10?1??（列式计算各1分）??12分
22102解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）
1117．⑴因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，
10511113?0.15（列式计算各1分）?2分 因此从甲到丙遇到拥堵的概率是????2102520所以李生小孩能够按时到校的概率是1?0.15?85%； ??3分
17⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是， ??4分
2017丙到甲没有遇到拥堵的概率也是， ?5分
201111112甲到乙遇到拥堵的概率是??????， ??6分
3103103515213甲到乙没有遇到拥堵的概率是1??，李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是
15151717133757????0.8，所以李生没有八成把握能够按时上班（计算结论各1分） 2020156000 ??8分
⑶依题意?可以取0,1,2. ??9分
131722121713373236?P(??0)=?,P(??1)=????,P(??2)=??,?11分 1520300152015203001520300∴sin?AOB?1?cos2?AOB?2013江门佛山二模第6页（共11页）
分布列是：
? 0 1 2 p 221 73 6 3003003002217368517?0+?1+?2=?. ??12分 3003003003006018．⑴证明：在图甲中，易知AE//DF,从而在图乙中有A1E//D1F， ??1分
E??因为A1E?平面CD1F，D1F?平面CD1F，所以A1E//平面CD1F（条件2分）??4分
⑵解法1、如图,在图乙中作GH?EF，垂足为H，连接A1H，
由于AG?平面EBCF，则AG?EF， ??5分 11所以EF?平面AGH，则EF?A1H， ??6分 1所以?A1HG平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角的平面角， ??8分 图甲中有EF?AH，又GH?EF，则A、G、H三点共线， ??9分 设CF的中点为M，则MF?1，易证?ABG??EMF，所以，BG?MF?1，AG?10；??11分（三角形全等1分）
AB?AE6?又由?ABG??AHE，得A1H?AH?， ??12分 AG104于是，HG?AG?AH?， ??13分
102HG2在Rt?AGH中，，即所求二面角的余弦值为．??14分 cos?AGH??113A1H3 z A1 A1DAD1 D1 F
H y HFEMFE TE BC GCGBC xB G 图甲
图乙
图丙 解法2、如图,在图乙中作GH?EF，垂足为H，连接A1H，由于AG?平面EBCF，1则AG?EF， ??5分 1所以EF?平面AGH，则EF?A1H，图甲中有EF?AH，又GH?EF， 1则A、G、H三点共线， ??6分
设CF的中点为M，则MF?1，易证?ABG??EMF，所以BG?MF?1， 则AG?10；
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又由?ABG??AHE，得A1H?AH?于是，HG?AG?AH?4， 10AB?AE6， ??7分 ?AG10?6??4?22AG?AH?HG?在Rt?AGH中，111??????2 ??8分
1010????作GT//BE交EF于点T，则TG?GC，以点G为原点，分别以GC、GT、GA1所在直线为x、y、z轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则G(0,0,0)、E(1,?1,0)、F(2,2,0)、
????????A1(0,0,2)，则EF?(1,3,0)，EA1?(?1,1,2)（坐标系、坐标、向量各1分）??11分
????显然，GA1?(0,0,2)是平面BEFC的一个法向量， ??12分
????????n?EF?x?3y?0,设n?(x,y,z)是平面A1EFD1的一个法向量，则??????，
??n?EA1??x?y?2z?0???x??3y,即?，不妨取y??1，则n?(3,?1,22)， ??13分 ??z??22y设平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角为?，可以看出，?为锐角，所以，
?????GA1?n|0?3?0?(?1)?2?22|2cos?????????，所以，平面BEFC与平面A1EFD1所成
2223|GA1|?|n|2?3?(?1)?(22)22二面角的余弦值为
2． ??14分 3
19．⑴由题可知，圆心C到定点F?1,0?的距离与到定直线x??1的距离相等 ??2分
由抛物线定义知,C的轨迹C2是以F?1,0?为焦点,直线x??1为准线的抛物线?4分 （确定“曲线是抛物线”1分，说明抛物线特征1分）
所以动圆圆心C的轨迹C2的方程为y2?4x. ??5分 ⑵解法1、
设P(m,n)，则OP中点为(,)， 因为O、P两点关于直线y?k(x?4)对称，所以
m?8k2?n?k(?4)m??2?k?km?n?8??221?k，即?，解之得?（中点1分，方程组2分，化简1分）?8分 ?nm?nk?08k???n???k??1???m1?k2?8k28k2将其代入抛物线方程，得：(?，所以k2?1. ??9分 )?4?221?k1?k?y?k(x?4)?联立 ?x2y2，消去y，得：(b2?a2)x2?8a2x?16a2?a2b2?0 ??11分
?2?2?1b?a2013江门佛山二模第8页（共11页）
mn22由??(?8a2)2?4(b2?a2)(16a2?a2b2)?0，得a2?b2?16， ??12分 注意到b2?a2?1，即2a2?17，所以a?34，即2a?34， ??13分 2x2y2?1. ??14分 因此，椭圆C1长轴长的最小值为34.此时椭圆的方程为+171522解法2、
?m2?,m? ，因为O、P两点关于直线l对称，则OM?MP=4， ??6分 设P?4??kAB?m2?即??4??m2?4，解之得m??4 ??7分
?4?即P(4,?4),根据对称性,不妨设点P在第四象限，且直线与抛物线交于A,B.则
1???1,于是直线l方程为y?x?4（斜率1分，方程1分） ??9分
kOP?y?x?4?联立 ?x2y2，消去y，得：(b2?a2)x2?8a2x?16a2?a2b2?0 ??11分
?2?2?1b?a2由??(?8a2)2?4(b2?a2)(16a2?a2b2)?0，得a2?b2?16， ??12分 注意到b2?a2?1，即2a2?17，所以a?34，即2a?34， ??13分 2x2y2?1.??14分 因此，椭圆C1长轴长的最小值为34. 此时椭圆的方程为+1715220?x?3??3?x?6??20．⑴由题意知?或x61?x1 ??2分
2??? 1?? ???6x?33?63解得1?x?3或3?x?4，即1?x?4 ??3分
能够维持有效的抑制作用的时间：4?1?3小时. ??4分
⑵由⑴知，x?4时第二次投入1单位固体碱，显然g(x)的定义域为4?x?10?5分 当4?x?6时，第一次投放1单位固体碱还有残留,
?11x66?x??(x?4)??故g?x?=?1? ?+?2?=; ??6分 ??6(x?4)?3?33x?1?6??当6?x?10时，第一次投放1单位固体碱已无残留,故
8x6(x?4)6?当6?x?7时， g(x)?2? =??; ??7分 6(x?4)?336x?1x?45x?? ; ??8分 当7?x?10时， g(x)?1?6362013江门佛山二模第9页（共11页）
6?11x???33x?1?6?8xg(x)????所以
?36x?1?5x?3?6 ?当4?x?6时，
4?x?66?x?7 ??9分 7?x?1011x61010x?1610x?16??=?(=?22; ?)??2?33x?133x?133x?13x?16?当且仅当时取“=”,即x?1?32?[4,6]（函数值与自变量值各1分）11分 3x?1当6?x?10时，第一次投放1单位固体碱已无残留，
61(x?5)(7?x)???0，所以g(x)为增函数; 当6?x?7时， g?(x)?22(x?1)66(x?1)1当7?x?10时，g(x)为减函数;故 g(x)max=g(7)?， ??12分
210117?122289?288又(?22)??=?0,所以当x?1?32时，水中碱浓度的
326610最大值为?22. ??13分
3答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投
10放1?32小时后, 水中碱浓度的达到最大值为?22. ??14分
31?12??2x21．⑴易得,f1?x????x?2x?e, ??1分
?2?1?12??2xf2?x???x?2x?2?e ??2分
?4?1?123??2xf3?x????x?x?3?e,所以f3(0)??3 ??3分
2?8?⑵不失一般性，设函数fn?1(x)??an?1x2?bn?1x?cn?1??e?x的导函数为
g(x)?fn(x)??anx2?bnx?cn??e?x，其中n?1,2,?，常数??0，a0?1,b0?c0?0.
对fn?1(x)求导得：fn??1(x)?[??an?1x2?(2an?1???bn?1)x?(bn?1???cn?1)]?e?x ??4分 故由fn??1(x)?fn(x)得：an???an?1 ①，
??bn?2an?1???bn?1 ②， ??5分 ??cn?bn?1???cn?1 ③ ?n由①得：an??,n?N ， ??6分
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代入②得：bn?2??n?1???bn?1，即
bnn???故得：bn?2n??n?1,n?N. ??7分 代入③得：cn?2n??n?2???cn?1，即
，其中n?1,2,?.
?n?2?n?1故得：cn?n(n?1)??n?2,n?N， ??8分 因此fn(0)?cn?n(n?1)??n?2,n?N.
11将???代入得：fn(0)?n(n?1)(?)n?2，其中n?N. ??9分
221（2）由（1）知fn?1(0)?n(n?1)(?)n?1，
21当n?2k(k?1,2,?)时，S2k?S2k?1?f2k?1(0)?2k(2k?1)?(?)2k?1?0，
2?S2k?S2k?1?0,S2k?S2k?1，故当Sn最大时，n为奇数. ??10分 当n?2k?1(k?2)时，S2k?1?S2k?1?f2k?2(0)?f2k?1(0) ??11分
11又f2k?2(0)?(2k?1)(2k?2)(?)2k，f2k?1(0)?2k(2k?1)(?)2k?1
2211?f2k?2(0)?f2k?1(0)?(2k?1)(2k?2)(?)2k?2k(2k?1)(?)2k?1221?(2k?1)(k?1)(?)2k?1?0，
2?S2k?1?S2k?1，因此数列?S2k?1?(k?1,2,?)是递减数列 ??12分
又S1?f2(0)?2，S3?f2(0)?f3(0)?f4(0)?2， ??13分 故当n?1或n?3时，Sn取最大值S1?S3?2. ??14分
cn?2n?cn?1?2?bn?1n?1，其中n?1,2,?
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代入②得：bn?2??n?1???bn?1，即
bnn???故得：bn?2n??n?1,n?N. ??7分 代入③得：cn?2n??n?2???cn?1，即
，其中n?1,2,?.
?n?2?n?1故得：cn?n(n?1)??n?2,n?N， ??8分 因此fn(0)?cn?n(n?1)??n?2,n?N.
11将???代入得：fn(0)?n(n?1)(?)n?2，其中n?N. ??9分
221（2）由（1）知fn?1(0)?n(n?1)(?)n?1，
21当n?2k(k?1,2,?)时，S2k?S2k?1?f2k?1(0)?2k(2k?1)?(?)2k?1?0，
2?S2k?S2k?1?0,S2k?S2k?1，故当Sn最大时，n为奇数. ??10分 当n?2k?1(k?2)时，S2k?1?S2k?1?f2k?2(0)?f2k?1(0) ??11分
11又f2k?2(0)?(2k?1)(2k?2)(?)2k，f2k?1(0)?2k(2k?1)(?)2k?1
2211?f2k?2(0)?f2k?1(0)?(2k?1)(2k?2)(?)2k?2k(2k?1)(?)2k?1221?(2k?1)(k?1)(?)2k?1?0，
2?S2k?1?S2k?1，因此数列?S2k?1?(k?1,2,?)是递减数列 ??12分
又S1?f2(0)?2，S3?f2(0)?f3(0)?f4(0)?2， ??13分 故当n?1或n?3时，Sn取最大值S1?S3?2. ??14分
cn?2n?cn?1?2?bn?1n?1，其中n?1,2,?
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