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2018年全国高中数学联赛河北（高二）预赛试题及详解
一、填空题：共8道小题，每小题8分，共64分.
1.已知集合A?{x,xy,x?y}，B?{0,x,y}且A?B，则x2018?y2018? ． 2.规定：?x?R，当且仅当n?x?n?1(n?N*)时，?x??n，则4?x??28?x??45?02的解集为 ．
3.在平面直角坐标系中，若与点A?2,2?的距离为1，且与点B?m,0?的距离为3的直线恰有三条，则实数m的取值集合是 ．
4.在矩形ABCD中，已知AB?3，BC?1.动点P在边CD上，设?PAB??，
?PBA??，则
PA?PB的最大值为 ．
cos(???)5.已知x?1，y?1且lg2x?lg2y?lg10x2?lg10y2，则u?lgxy的最大值为 ．
810、12，三条边的中点分别是B、C、D，将三个中6.若?A1A2A3的三边长分别为、
点两两连接得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A?BCD的表面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是 ． 7.已知sin??1，则tan?的取值范围是 ．
3cos??18.在?ABC中，AC?3，sinC?ksinA，(k?2)，则?ABC的面积的最大值为 ．
二、解答题
9.已知O是?ABC的外心，且3OA?4OB?5OC?0，求cos?BAC的值.
10.设?、???0,
????2??，证明：cos??cos??2sin?sin??32. 211.若a、b、c为正数且a?b?c?3，证明：ab?bc?ca?a?b?c?3.
12.若函数f(x)的定义域为?0,???且满足：①存在实数a?(1,??)，使得f(a)?1.②当
m?R且x??0,???时，有f(xm)?mf(x)?0恒成立.
（1）证明：f??x?； ??f?x??f?y?（其中x?0，y?0）
y??（2）判断f(x)在?0,???上的单调性，并证明你的结论；
2（3）若当t?0时，不等式ft?4?f?t??1恒成立，求实数a的取值范围.
??
13.已知数列?an?中a1?112n?1*，an?1?an?n?1(n?N). 222（1）求数列?an?的通项公式； （2）求数列?an?的前n项和Sn.
14.如图，设?ABC的外接圆为O，?BAC的角平分线与BC交于点D，M为BC的中点.若?ADM的外接圆
Z分别与AB、AC交于P、Q，N为PQ的中点.
（1）证明：BP?CQ； （2）证明：MN//AD.
试卷答案
一、填空题
1. 2 2. {x|3?x?5} 3. {2?23,2?23} 4. ?3
5. 2?22 6. 77?3 7. (??,?2)(,2) 8. 3 23二、解答题
9.【解析】设?ABC的外接圆半径r?1，由已知得3OA??4OB?5OC，两边平方得
4OB?OC??，
5同理可得OA?OC??3，OA?OB?0. 52∴AB?AC?(OB?OA)?(OC?OA)?OB?OC?OA?OC?OA?OB?OA?2∴AB?(OB?OA)?2，AC?(OC?OA)?2?2?(?)?4， 52223516， 5∴cos?BAC?AB?ACAB?AC?452?165?10. 1010.【解析】cos??cos??2sin?sin?
?2cos???2cos???2?2(cos(???)?cos(???)) 2?2cos???2?2(1?cos(???)) 2?2cos???2???????2????2cos (2?2cos2)?2?2cos22222?32???2232. ?2(cos?)?2222????cos?1??2?当且仅当?时，即????时“=”成立.
4?cos????2?0??2211.【解析】证明：a?a?a2?3a3?3a，
同理b?b?b2?3b3?3b，c?c?c2?3c3?3c，
三式相加：2(a?b?c)?a2?b2?c2?3(a?b?c)?9?(a?b?c)2， ∴2(a?b?c)?(a?b?c)2?a2?b2?c2?2(ab?bc?ac)， ∴ab?bc?ac?a?b?c；
又(a?b?c)2?(a?b?c)(1?1?1)?9，∴a?b?c?3， 综上可得ab?bc?ac?a?b?c?3.
12.【解析】（1）证明：∵x，y均为正数，故总存在实数m，n使得x?a，y?am333n ?a?1?，
xamm?n∴f()?f(n)?f(a)?(m?n)f(a)?m?n，
ya又f(x)?f(y)?f(am)?f(an)?mf(a)?nf(a)?m?n， ∴f??x???f?x??f?y?. ?y?x1x（a?1，??0）， ?1，故可令1?a?，
x2x2（2）证明：设x1,x2??0,???，且x1?x2，则
则由（1）知f?x1??f?x2??f??x1???f(a)??f(a)???0， ??x2?即f?x1??f?x2?.∴f(x)在?0,???上单调递增.
t2?4)?f(a)，又f(x)在?0,???上单调递增， （3）解：∵f(a)?1故原不等式化为f(tt2?444t2?4?a对于t?0恒成.∵?t??2t??4.∴（当且仅当t?2时“=”成立）. tttt∴a?4，又a??1,???，∴a??1,4?. 13.【解析】（1）由an?1?12n?1an?n?1(n?N*)知：2n?1an?1?2nan?2n?1(n?N*)， 22令bn?2nan，则b1?1且bn?1?bn?2n?1(n?N*).
11.【解析】证明：a?a?a2?3a3?3a，
同理b?b?b2?3b3?3b，c?c?c2?3c3?3c，
三式相加：2(a?b?c)?a2?b2?c2?3(a?b?c)?9?(a?b?c)2， ∴2(a?b?c)?(a?b?c)2?a2?b2?c2?2(ab?bc?ac)， ∴ab?bc?ac?a?b?c；
又(a?b?c)2?(a?b?c)(1?1?1)?9，∴a?b?c?3， 综上可得ab?bc?ac?a?b?c?3.
12.【解析】（1）证明：∵x，y均为正数，故总存在实数m，n使得x?a，y?am333n ?a?1?，
xamm?n∴f()?f(n)?f(a)?(m?n)f(a)?m?n，
ya又f(x)?f(y)?f(am)?f(an)?mf(a)?nf(a)?m?n， ∴f??x???f?x??f?y?. ?y?x1x（a?1，??0）， ?1，故可令1?a?，
x2x2（2）证明：设x1,x2??0,???，且x1?x2，则
则由（1）知f?x1??f?x2??f??x1???f(a)??f(a)???0， ??x2?即f?x1??f?x2?.∴f(x)在?0,???上单调递增.
t2?4)?f(a)，又f(x)在?0,???上单调递增， （3）解：∵f(a)?1故原不等式化为f(tt2?444t2?4?a对于t?0恒成.∵?t??2t??4.∴（当且仅当t?2时“=”成立）. tttt∴a?4，又a??1,???，∴a??1,4?. 13.【解析】（1）由an?1?12n?1an?n?1(n?N*)知：2n?1an?1?2nan?2n?1(n?N*)， 22令bn?2nan，则b1?1且bn?1?bn?2n?1(n?N*).
