【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，可证四边形OEBF是平行四边形，又OE?面BCC1B1，BF?面BCC1B1，可证OE∥面BCC1B1．
（2）先证明BC1⊥DC，再证BC1⊥面B1DC，而BC1∥OE，OE⊥面B1DC，又OE?面B1DE，从而可证面B1DC⊥面B1DE． 【解答】
证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，…2分 因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1=1， 从而
，即四边形OEBF是平行四边形，
，
所以OE∥BF，…6分
又OE?面BCC1B1，BF?面BCC1B1， 所以OE∥面BCC1B1．…8分
（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1?面BCC1B1， 所以BC1⊥DC，…10分
又BC1⊥B1C，且DC，B1C?面B1DC，DC∩B1C=C， 所以BC1⊥面B1DC，…12分
而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE?面B1DE， 所以面B1DC⊥面B1DE．…14分
【点评】本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查．
17．（14分）（2016?泰州模拟）如图，江的两岸可近似的看成两平行的直线，江岸的一侧有A，B两个蔬菜基地，江的另一侧点C处有一个超市．已知A、B、C中任意两点间的距离为20千米．超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A，BB两处蔬菜的差异，两处的蔬菜运抵D处后，再统一经过货轮运抵C处．由于A，这两处的运输费用也不同．如果从A处出发的运输费为每千米2元，从B处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米3元．
（1）设∠ADC=α，试将运输总费用S（单位：元）表示为α的函数S（α），并写出自变量的取值范围；
（2）问中转站D建在何处时，运输总费用S最小？并求出最小值．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（1）由题在△ACD中，由正弦定理求得CD、AD的值，即可求得运输成本S的解析式．
（2）利用导数求得cosα=﹣时，函数S取得极小值，由此可得中转点D到A的距离以及S的最小值．
【解答】解：（1）由题在△ACD中，∵∠CAD=∠ABC=∠ACB=∴∠ACD=
﹣α．
，∠CDA=α，
又AB=BC=CA=20，△ACD中， 由正弦定理知
=
=
，得
CD=
，
AD=，…（3分）
∴S=2AD+BD+3CD=AD+3CD+20==10
?
?+20 （
＜α＜
+
）．…（7分）
+20
（2）S′=10，令S′=0，得cosα=﹣．…（10分）
当cosα＜﹣时，S′＜0；当cosα＞﹣时，S′＞0，∴当cosα=﹣时S取得最小值．…（12分） 此时，sinα=
，AD=10﹣
，
∴中转站距A处10﹣千米时，运输成本S最小．…（14分）
【点评】本题主要考查正弦定理，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求极值，属于中档题．
18．（16分）（2017?广元模拟）已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且
=
．直线l与椭圆C
交于不同两点A、B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°． （1）求椭圆C的方程；
（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；
（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）设P（x，y），得
，由此能求出椭圆C的方
程．
（2）由已知条件得kBF=﹣1，BF：y=﹣1（x+1）=﹣x﹣1，代入3x2+4x=0，由此能求出直线l方程．
（3）B关于x轴的对称点B1在直线AF上．设直线AF方程：y=k（x+1），代入
，得：
2，0）．
【解答】（1）解：设P（x，y），则
，
化简得：
，
．…（4分）
，…（2分）
，由此能证明直线l总经过定点M（﹣
，得：
∴椭圆C的方程为：
（2）解：∵A（0，1），F（﹣1，0）， ∴
，∠OFA+∠OFB=180°，
∴kBF=﹣1，BF：y=﹣1（x+1）=﹣x﹣1…（6分） 代入
，得：3x2+4x=0，
∴，代入y=﹣x﹣1得，
∴…（8分）
，∴，…（10分）
（3）证明：由于∠OFA+∠OFB=180°，所以B关于x轴的对称点B1在直线AF上．
设A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，﹣y2） 设直线AF方程：y=k（x+1），代入得：
，
，…（13分）
，，，
令y=0，得：
y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），
，
=，…（15分）
∴直线l总经过定点M（﹣2，0）…（16分）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线总过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
19．（16分）（2016秋?秀屿区校级期中）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，且f（x）+f（）=0，其中a，b为常数．
（1）若函数f（x）的图象在x=1的切线经过点（2，5），求函数的解析式； （2）已知0＜a＜1，求证：f（
）＞0；
（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）利用赋值法，令x=1，得到f（1）=0，则切点为（1，0），从而可求出切线的斜率k=5，即f'（1）=5．由方程组值；
，即可求出a，b的
2016-2017学年江苏省泰州中学高三（下）期初数学试卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B= ． 2．己知i是虚数单位，则3．=已知函数f（x）件．
4．如图是某算法流程图，则算法运行后输出的结果是 ．
的虚部是 ．
，则“c=﹣1”是“函数在R上单调递增”的 条
5．将四个人（含甲、乙）分成两组，则甲、乙为同一组的概率为 ． 6．已知抛物线y2=8x的焦点恰好是椭圆为 ．
7．已知正四棱锥的底面边长为28．平面向量与的夹角为
，侧面积为8
，则它的体积为 ．
+y2=1（a＞0）的右焦点，则椭圆方程
， =（3，0），||=2，则|+2|= ．
9．若等比数列{an}的公比q≠1且满足：a1+a2+a3+…+a7=6，a12+a22+a32+…+a72=18，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7的值为 ．
10．点P为直线y=x上任一点，F1（﹣5，0），F2（5，0），则||PF1|﹣|PF2||的取值范围为 ．
11．在△OMN中，点A在OM上，点B在ON上，且AB∥MN，2OA=OM，若
=x+y，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时， 的取值范围为 ．
12．函数f（x）=cosx，对任意的实数t，记f（x）在[t，t+1]上的最大值为M
（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为 ． 13．已知A是射线x+y=0（x≤0）上的动点，B是x轴正半轴的动点，若直线AB与圆x2+y2=1相切，则|AB|的最小值是 ．
14．已知函数f（x）=x3+mx+，g（x）=﹣lnx，min{a，b}表示a，b中的最小值，若函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）恰有三个零点，则实数m的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15．（14分）△ABC中，sinA=sinB=﹣cosC （1）求A，B，C．
（2）若BC边上的中线AM的长为
，求△ABC的面积．
16．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．
（1）求证：OE∥平面BCC1B1； （2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．
17．（14分）如图，江的两岸可近似的看成两平行的直线，江岸的一侧有A，B两个蔬菜基地，江的另一侧点C处有一个超市．已知A、B、C中任意两点间的距离为20千米．超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A，B两处的蔬菜运抵D处后，再统一经过货轮运抵C处．由于A，B两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同．如果从A处出发的运输费为每千米2元，从B处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米3元．
（1）设∠ADC=α，试将运输总费用S（单位：元）表示为α的函数S（α），并写出自变量的取值范围；
（2）问中转站D建在何处时，运输总费用S最小？并求出最小值．
18．（16分）已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且
=
．直线l与椭圆C交于不同两点A、B
（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°． （1）求椭圆C的方程；
（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；
（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，且f（x）+f（）=0，其中a，b为常数．
（1）若函数f（x）的图象在x=1的切线经过点（2，5），求函数的解析式； （2）已知0＜a＜1，求证：f（
）＞0；
（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．
20．（16分）定义：从一个数列{an}中抽取若干项（不少于三项）按其在{an}中的次序排列的一列数叫做{an}的子数列，成等差（等比）的子数列叫做{an}的等差（等比）子列．
（1）记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=n2，求证：数列{a3n}是数列{an}的等差子列；
（2）设等差数列{an}的各项均为整数，公差d≠0，a5=6，若数列a3，a5，a数列{an}的等比子列，求n1的值；
（3）设数列{an}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1，若数列{an}存在无穷多项的等差子列，求公比q的所有值．
是
2016-2017学年江苏省泰州中学高三（下）期初数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B= （2，4] ． 【考点】交集及其运算．
【分析】求出关于集合A、B的不等式，求出A、B的交集即可． 【解答】解：A={x|1≤3x≤81}={x|0≤x≤4}，
B={x|log2（x2﹣x）＞1}={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＞2或x＜﹣1}， 则A∩B=（2，4]， 故答案为：（2，4]．
【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．
2．己知i是虚数单位，则
的虚部是 ﹣1 ．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，则复数的虚部可求． 【解答】解：∴
=
，
的虚部是﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．已知函数f（x）=分不必要 条件．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
，则“c=﹣1”是“函数在R上单调递增”的 充
【分析】根据f（x）=，在R上单调递增，求出c的范围，再根据
充分条件和必要条件的定义即可判断． 【解答】解：f（x）=∴log21≥1+c， ∴c≤﹣1，
∴“c=﹣1”是“函数在R上单调递增”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要
【点评】本题考查了函数的单调性、充分必要条件的判定，属于基础题．
4．如图是某算法流程图，则算法运行后输出的结果是 27 ．
，在R上单调递增，
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，即可得出结论．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得循环的结果依次为： s=1，n=2；
s=（1+2）?2=6，n=3， s=（6+3）?3=27，n=4， 结束循环，输出s=27． 故答案为27．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题．
5．将四个人（含甲、乙）分成两组，则甲、乙为同一组的概率为 【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】4人分成两组，通过讨论每2人一组以及一组一人，一组3人的情况即可求出结论．
【解答】解：4人分成两组，若一组2人， 则有
=3种分法，
．
若一组一人，一组3人， 则有
=4种分法，
∴甲、乙分别同一组的概率为+=． 故答案为：．
【点评】平均分组问题是概率中最困难的问题，解题时往往会忽略有些情况是相同的，本题是一道中档题．
6．已知抛物线y2=8x的焦点恰好是椭圆为
．
+y2=1（a＞0）的右焦点，则椭圆方程
【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
【分析】求得抛物线的焦点坐标，则c=2，a2=b2+c2=5，即可求得椭圆方程． 【解答】解：抛物线y2=8x焦点在x轴上，焦点F（2，0）， 由F（2，0）为椭圆则a2=b2+c2=5， ∴椭圆的标准方程为：
，
+y2=1（a＞0）的右焦点，即c=2，
故答案为：
【点评】本题考查抛物线的性质，椭圆的标准方程，考查转化思想，属于基础题．
7．已知正四棱锥的底面边长为2
，侧面积为8
，则它的体积为 4 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，进一步求出高，代入棱锥体积公式得答案． 【解答】解：如图，
∵P﹣ABCD为正四棱锥，且底面边长为，
过P作PG⊥BC于G，作PO⊥底面ABCD，垂足为O，连接OG． 由侧面积为
，得
，即PG=2．
．
．
在Rt△POG中，∴
故答案为：4．
【点评】本题考查棱锥体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
8．平面向量与的夹角为
， =（3，0），||=2，则|+2|= ．
【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】利用两个向量的数量积的定义求得计算求得结果．
【解答】解：∵向量与的夹角为
， =（3，0），||=2，∴||=3|，∴
的值，结合|+2|=
，
=3?2?cos则|+2|=故答案为：
=﹣3，
=．
=
=
，
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．
9．若等比数列{an}的公比q≠1且满足：a1+a2+a3+…+a7=6，a12+a22+a32+…+a72=18，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7的值为 3 ． 【考点】数列的求和；等比数列的前n项和． 【分析】由已知利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和求得a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7的值．
【解答】解：∵a1+a2+a3+…+a7=6，a12+a22+a32+…+a72=18，等比数列{an}的公比q≠1， ∴
，
，
，进一步由等比
∴，
则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=故答案为：3．
．
【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．点P为直线y=x上任一点，F1（﹣5，0），F2（5，0），则||PF1|﹣|PF2||的取值范围为 [0，8.5] ． 【考点】两点间的距离公式．
【分析】由题意，P在原点时，||PF1|﹣|PF2||=0，求出F2（5，0）关于直线y=
x对称点的坐标，可得||PF1|﹣|PF2||的最大值，即可求出||PF1|﹣|PF2||的取值范围．
【解答】解：由题意，P在原点时，||PF1|﹣|PF2||=0， F2（5，0）关于直线y=x对称点的坐标为F（a，b），则
，∴a=，
b=，
=8.5，
∴||PF1|﹣|PF2||的最大值为
∴||PF1|﹣|PF2||的取值范围为[0，8.5]． 故答案为：[0，8.5]．
【点评】本题考查||PF1|﹣|PF2||的取值范围，考查对称性的运用，属于中档题．
11．在△OMN中，点A在OM上，点B在ON上，且AB∥MN，2OA=OM，若=x
+y
，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，
的取值范围为 [，4] ．
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】利用三点共线得出1≤x+y≤2，作出平面区域，根据斜率的几何意义得出
的范围，从而得出
的取值范围．
【解答】解：∵AB∥MN，2OA=OM， ∴AB是△OMN的中位线．
∴当P在线段AB上时，x+y=1，当P在线段MN上时，x+y=2， ∵终点P落在四边形ABNM内（含边界）， ∴
．
作出平面区域如图所示：
令k=率，
，则k表示平面区域内的点C（x，y）与点Q（﹣1，﹣1）的连线的斜
由可行域可知当（x，y）与B（2，0）重合时，k取得最小值当（x，y）与A（0，2）重合时，k取得最大值∴≤k≤3． ∵∴≤
=
+1=k+1， ≤4．
=3，
=，
故答案为[，4]．
【点评】本题考查了平面向量的运算，线性规划的应用，属于中档题．
12．函数f（x）=cos
x，对任意的实数t，记f（x）在[t，t+1]上的最大值为M
．
=M（t），最小值为m（t），则函数h（t）（t）﹣m（t）的值域为 【考点】余弦函数的图象．
【分析】求出周期，画出f（x）的图象，讨论（1）当4n﹣1≤t≤4n，（2）当
4n＜t＜4n+1，（3）当4n+1≤t≤4n+2，（4）当4n+2＜t＜4n+3，分别求出最大值和最小值，再求h（t）的值域，最后求并集即可得到． 【解答】解：解：函数f（x）=cos
x的周期为T=
=4，
，
（1）当4n﹣1≤t≤4n，n∈Z，区间[t，t+1]为增区间，则有m（t）=cosM（t）=cos
=sin
，
（2）当4n＜t＜4n+1，n∈Z，①若4n＜t≤4n+， 则M（t）=1，m（t）=sin
，
，
，m（t）
②若4n+＜t＜4n+1，则M（t）=1，m（t）=sin
（3）当4n+1≤t≤4n+2，则区间[t，t+1]为减区间，则有M（t）=cos=sin
；
（4）当4n+2＜t＜4n+3，则m（t）=﹣1， ①当4n+2＜t≤4n+时，M（t）=cos②当4n+＜t＜4n+3时，M（t）=sin
，
；则有h（t）=M（t）﹣m（t）
=
当4n﹣1≤t≤4n，h（t）的值域为[1，当4n＜t≤4n+，h（t）的值域为[1﹣
]， ，1），
，1）， ]，
当4n+＜t＜4n+1，h（t）的值域为（1﹣当4n+1≤t≤4n+2，h（t）的值域为[1，
当4n+2＜t≤4n+时，h（t）的值域为[1﹣当4n+＜t＜4n+3时，h（t）的值域为[1﹣综上，h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为故答案是：
．
，1）， ，1）．
．
【点评】本题考查三角函数的性质和运用，考查函数的周期性和单调性及运用，考查运算能力，有一定的难度．
13．已知A是射线x+y=0（x≤0）上的动点，B是x轴正半轴的动点，若直线AB与圆x2+y2=1相切，则|AB|的最小值是 【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】设A（﹣a，a），B（b，0）（a，b＞0），利用直线AB与圆x2+y2=1相切，结合基本不等式，得到
，即可求出|AB|的最小值．
．
【解答】解：设A（﹣a，a），B（b，0）（a，b＞0），则直线AB的方程是ax+（a+b）y﹣ab=0．
因为直线AB与圆x2+y2=1相切，所以利用基本不等式得从而得当
，即
．
，
时，|AB|的最小值是
．
，化简得2a2+b2+2ab=a2b2，
，即，
故答案为
【点评】本题考查圆的切线，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
14．已知函数f（x）=x3+mx+，g（x）=﹣lnx，min{a，b}表示a，b中的最小值，若函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）恰有三个零点，则实数m的取值范围是 （﹣，﹣） ．
【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理． 【分析】由已知可得m＜0，进而可得若h（x）有3个零点，则＞0，f（
）＜0，解得答案．
＜1，f（1）
【解答】解：∵f（x）=x3+mx+， ∴f′（x）=3x2+m，
若m≥0，则f′（x）≥0恒成立，函数f（x）=x3+mx+至多有一个零点， 此时h（x）不可能有3个零点，故m＜0， 令f′（x）=0，则x=±∵g（1）=0，
∴若h（x）有3个零点，则
＜1，f（1）＞0，f（
）＜0，
，
即，
解得：m∈（﹣，﹣）， 故答案为：（﹣，﹣）．
【点评】本题考查的知识点是函数零点及零点个数的判断，分类讨论思想，函数和方程的思想，转化思想，难度中档．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15．（14分）（2015?陕西模拟）△ABC中，sinA=sinB=﹣cosC （1）求A，B，C．
（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；三角形的面积公式．
【分析】（1）由sinA=sinB，得到A=B，再由诱导公式得到cosC=﹣cos2A，代入sinA=﹣cosC中，变形求出sinA的值，由A为三角形内角求出A的度数，即可确定出B，C的度数；
（2）设CA=CB=x，表示出CM，在三角形ACM中，利用余弦定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出CA与CB的长，即可求出三角形ABC的面积． 【解答】解：（1）∵sinA=sinB，且A，B为△ABC的内角， ∴A=B， ∵A+B+C=π，
∴cosC=cos（π﹣2A）=﹣cos2A，
∴sinA=﹣cosC=cos2A=1﹣2sin2A，即（2sinA﹣1）（sinA+1）=0， ∴sinA=，或sinA=﹣1（舍去）， ∴A=B=
，C=
；
（2）设CA=CB=x，则CM=x，
AM2=AC2+MC2﹣2AC?CM?cosC，在△ACM中，利用余弦定理得：即7=x2+x2+x2，
解得：x=2，
则S△ABC=CA?CB?sinC=
．
【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
16．（14分）（2015?盐城一模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．
（1）求证：OE∥平面BCC1B1； （2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．
（2）将x=待入f（x）的解析式，构造函数，通过求导
）
可知g（x）在（0，1）上单调递减，则g（x）＞g（1）=1﹣ln2＞0，即f（＞0；
（3）求导，f'（x）=
，对参数a进行分类讨论，易知a≤0，或a≥时，
f（x）至多一个零点，不符题意；当0＜a＜时，f（x）存在两个极值点x1，x2，通过零点存在定理可知，此时f（x）存在三个零点，满足条件，故a的取值范围是
．
中，取x=1得f（1）=0，∴f（1）=﹣a+b=0，
【解答】解：（1）在∴a=b， ∵
，∴f'（1）=1﹣a﹣b=1﹣2a，
，
∵f（x）的图象在x=1的切线经过点（1，0），（2，5），∴k=∴1﹣2a=5，得a=﹣2， ∴（2）令则
，
；
∴x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， ∴x∈（0，1）时，故0＜a＜1时，f（（3）
）＞0；
，
①当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增，∴f（x）至多一个零点，不符题意；
②当时，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）递减，∴f（x）至多一个零
点，不符题意； ③当
时，令f′（x）=0，解得
，
，
此时，f（x）在（0，x1）上递减，在（x1，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减，
∵x1＜1＜x2，∴f（x1）＜f（1）＜f（x2），即f（x1）＜0，f（x2）＞0， ∵又∵
∴f（x）恰有三个不同的零点：综上所述，a的取值范围是
．
，∴
，
，使得f（x0）=0，
【点评】本题考查了利用导数研究切线方程，利用导数证明不等式以及利用导数判断函数零点的方法，着重考查了数学转化思想的应用，是难度较大的题目．
20．（16分）（2017春?海陵区校级月考）定义：从一个数列{an}中抽取若干项（不少于三项）按其在{an}中的次序排列的一列数叫做{an}的子数列，成等差（等比）的子数列叫做{an}的等差（等比）子列．
（1）记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=n2，求证：数列{a3n}是数列{an}的等差子列；
（2）设等差数列{an}的各项均为整数，公差d≠0，a5=6，若数列a3，a5，a数列{an}的等比子列，求n1的值；
（3）设数列{an}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1，若数列{an}存在无穷多项的等差子列，求公比q的所有值． 【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，求得an，进而得到a3n，运用等差数列的定义，即可得证； （2）求得公比q=
，运用等比数列的中项的性质，可得a
=6?
，再由
是
等差数列的通项公式，可得n1=5+（3）设数列{a
，讨论d的取值，可得所求值；
}为数列{an}的等差子列，k∈N*，nk∈N*，公差为d，运用等
|?|q
﹣
比数列的通项公式和等差数列的定义，可得|d|=|a1|?|q
1|，讨论|q|＞1，|q|＜1，运用不等式的性质，可得矛盾，进而得到q=﹣1． 【解答】解：（1）证明：当n=1时，a1=S1=1； 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1， 上式对n=1也成立． 则an=2n﹣1．
故a3n=2?3n﹣1=6n﹣1， 当n≥2时，a3（n+1）﹣a3n=6，
故数列{a3n}是数列{an}的等差子列； （2）a3=a5﹣2d=6﹣2d， 公比q=
=
，
是数列{an}的等比子列，可得a
=6?
，
数列a3，a5，a又a则6?
=a5+（n1﹣5）d=6+（n1﹣5）d， =6+（n1﹣5）d，
，
即有n1=5+
由d为非零整数，n1为正整数，
可得d=1，n1=8或d=2，n1=11或d=﹣3，n1=6， 所以n1的值为6，8，11； （3）公比q的所有取值为﹣1． 理由：设数列{aa有|a
=a1q
﹣a
，a
}为数列{an}的等差子列，k∈N*，nk∈N*，公差为d，
=a1q
， |?|q
﹣1|．
|=|a1|?|q
当|q|＞1时，|q﹣1|≥|q|﹣1，
所以|d|=|a取nk＞1+log|q|
﹣a
|≥|a1|?|q
，所以|a
|?（|q|﹣1）． ﹣a
|＞|d|，
即|d|＞|d|，矛盾； 当|q|＜1时，|d|=|a1|?|q|+1） ＜2|a1|?|q取nk＞1+log|q|
即|d|＜|d|，矛盾．
所以|q|=1，又q≠1，可得q=﹣1．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，主要考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查推理分析能力，属于难题和易错题．
|?|q
﹣1|≤|a1|?|q
|?（|q
|，
，所以|a
﹣a
|＜|d|，
