专题五 二次函数的动点问题
1如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴 交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、
E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由
分析 (1)由点B(-2,m)在直线y??2x?1上,可求得m的值及 点B的坐标,进而求得抛物线的解析式;
(2)通过分别求得CB和CE的长来说明CB=CE, 过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，过点E 作EH∥x轴，交y轴于H，由△DFB≌△DHE,证得D是BE的中点；
(3)若存在点P使得PB=PE,则点P必在线段BE的中垂线CD上,
动点P又在抛物线上,通过解直线CD和抛物线对应的函数关系式所联列的方程组,其解即为所求点的坐标.
解（1）∵ 点B(-2,m) 在直线y??2x?1上， ∴ m=-2×(-2)-1=3. ∴ B(-2,3) ∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴ 点A的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). 将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ a?1.
4∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为y?1x(x?4)，即y?1x2?x.
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（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5). 过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，则点G坐标为(2,3)
BG⊥直线x=2，BG=4.在Rt△BGC中，BC=CG2?BG2?32?42?5. ∵ CE=5，∴ CB=CE=5.
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5). 又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)， ∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴ △DFB≌△DHE （SAS），∴ BD=DE. 即D是BE的中点. (3)由于PB=PE，∴ 点P必在线段BE的中垂线CD上， 又点P在抛物线y?1x2?x上,
4∴ 符合条件的点P应是直线CD与该抛物线的交点. 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b. 将点D(0,-1) C(2,0) 代入， 得??b??1. 解得 k?1,b??1. ∴ 直线CD对应的函数关系式为y=1x-1.
22?2k?b?01x1?3?5x2?3?5x?12解方程组 得 1?51?51y1?y2?y?x2?x224y?∴ 符合条件的点P的坐标为(3?5，1?5)或(3?5，1?5).
22332.已知：如图14，抛物线y??x2?3与x轴交于点A，点B，与直线y??x?b相交
443于点B，点C，直线y??x?b与y轴交于点E．
4（1）写出直线BC的解析式． （2）求△ABC的面积．
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？
3.如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一
个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG． （2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
（3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？
4如图，抛物线y?x2?2x?3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）令y=0，解得x1??1或x2?3（1分） ∴A（-1，0）B（3，0）；（1分）
将C点的横坐标x=2代入y?x2?2x?3得y=-3，∴C（2，-3）（1分） ∴直线AC的函数解析式是y=-x-1
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分） 则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），（1分）
E（(x,x2?2x?3)（1分）
∵P点在E点的上方，PE=(?x?1)?(x2?2x?3)??x2?x?2（2分） ∴当x?19时，PE的最大值=（1分）24[来源:学科网ZXXK]
（3）存在4个这样的点F，分别是F1(1,0),F2(?3,0),F3(4?7),F4(4?7) （结论“存在”给1分，4个做对1个给1分，过程酌情给分）
245如图13，已知抛物线y??x2?x?2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
33抛物线的对称轴与x轴交于点D． 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q． （1）求点B和点C的坐标；
（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以为一腰的等腰三角形？若存在， ．BQ．．．．．求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
AODM[来源:学科网]yP CQBx图13 24解： （1）把x =0代入y??x2?x?2得点C的坐标为C（0，2） 3324把y =0代入y??x2?x?2得点B的坐标为B（3，0） 33 （2）连结OP，设点P的坐标为P（x，y） S四边形OBPC=?x2?3x?3
=S△OPC+S△OPB=?2?x??3?y = x???x2?x?2?
222?33?113?24?3?3?∵ 点M运动到B点上停止，∴0≤x≤3∴S???x???（0≤x≤3）
2?4?（3）存在． BC=OB2?OC2=13 ① 若BQ = DQ∵ BQ = DQ，BD = 2
2∴ BM = 1 ∴OM = 3?1 = 2 ∴tan?OBC? ∴QM =
2 3QMOC2?? BMOB3所以Q的坐标为Q （2，
2） ． 3BQQMBM② 若BQ=BD=2∵ △BQM∽△BCO，∴ ==
BCCOBO∴ QMBQBMBM22413= ∴ QM = ∵ = ∴ = 2BCOB3131313∴ BM =
413） 13613613613 ∴ OM = 3? 所以Q的坐标为Q （3?，131313
6． 如图12， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）． 点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ． （1）点 （填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．
OMQCyNBPAx图12
